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Etudes de fonctions
Chapitre 5 :
Eléments de symétrie
Soit f une fonction définie sur Df et (Cf) sa
courbe dans un repère orthogonal.
(Résumé)
illustration Graphiquement
∆
Axe de symétrie :
Une droite ∆ d’équation x=a est un
axe de symétrie pour (Cf) si pour
∈ f
tout x ∈ Df, on a :
f
f
En particulier si a=0 la fonction f
est dite paire.
Centre de symétrie :
O’ est un centre de symétrie
Un point O’(a,b) est un centre de ∆ est un axe de symétrie
symétrie de (Cf) si pour tout x ∈ Df,
∈ f
on a :
f
f
En particulier si a=b=0 la fonction f
est dite impaire.
Fonction périodique
La fonction f est dite périodique de
période T si pour tout x ∈ Df,
La courbe représentative d’une fonction périodique
∈ f
on a :
f
f
Asymptotes

Si lim
f
x a
illustration graphique
ou lim f

x a 
f
lim
x a
ou lim f

x a 
Alors la droite d’équation x = a est
asymptote verticale à (Cf) en a.
Si
∗∗∗∗∗∗
f
lim
x 
alors la droite :
y = b est asymptote horizontale
à (Cf) au voisinage de ±

Si lim
x 
∗∗∗∗∗∗
f
Alors la droite : y =
est
asymptote oblique à (Cf) au
voisinage de ±
(∆) :y = α x + β
Le tableau ci-dessous donne un procédé de détermination des branches infinies de la
courbe d’une fonction f ,si elles existent, dans le cas où lim f
±
x 
Branches infinies
Dans le cas où lim
f
x 
Si
±
lim
illustration graphique
lim
x 
x 
Alors (Cf) admet une branche
infinie parabolique de direction
au voisinage de ±
**********
Si
lim
x 
lim
±
x 
Alors (Cf) admet une branche
infinie parabolique de direction
au voisinage de ±
*************
O
 Si
lim
x 
( a ∈ IR* )
lim
x 
Deux cas se présentent :
Si
f
lim
x 
et lim
x 
y = ax
±
Alors la droite d’équation y = ax
est une direction asymptotique à
la courbe (Cf) au voisinage de ±
Si
(Cf )
f
lim
x 
Alors la droite d’équation y=ax+b
est une asymptotique oblique à la
courbe (Cf) au voisinage de ±
O

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