Mathematisches Institut der Heinrich-Heine Universit¨at D¨ usseldorf PD. Dr. Axel Gr¨ unrock WS 2014/2015 17.10.2014 Blatt 1 ¨ UBUNGEN ZUR ANALYSIS II Empfehlung: Stellen Sie zu Ihrem eigenen Gebrauch eine Tabelle mit 15 bis 20 Funktionen und zugeh¨origen Stammfunktionen zusammen, die Ihnen aus der Vorlesung bekannt sind. Diese Tabelle sollte auch - als Stammfunktionen - die Umkehrfunktionen der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen umfassen. 1. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale durch (ggf. mehrfache) partielle Integration: x (a) dx (b) xa ln(x)dx cos2 (x) x2 dx (c) exp(ax) sin(x)dx (d) (ax + b)4 Hierbei sind a und b reelle Parameter. 2. Die folgenden Ausdr¨ ucke haben exakt die Gestalt f (ϕ(x)) · ϕ (x). Geben Sie die zugeh¨origen Stammfunktionen an. 2x tank (x) (a) (b) , k∈Z 1 + x4 cos2 (x) (c) 1 x ln x (d) cot x (e) xx (1 + ln x). Hinweis: In Teil (b) ist der Fall k = −1 gesondert zu behandeln. Durch die Bearbeitung von Teil (e) kann ein Zusatzpunkt erworben werden. Bitte wenden! 1 3. Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale durch geeignete Umformungen der Integranden: 3 (a) 2 π (c) 0 4 x3 + 1 dx x2 − 1 x sin 2 (b) 3 x−3 dx (x − 1)(x − 2) π 1 + cos(x)dx sin2n+1 (x)dx, n ∈ N0 (d) 0 Hinweis: In Teil (b) f¨ uhrt eine Partialbruchzerlegung zum Ziel, vgl. hierzu: Kaballo, Einf¨ uhrung in die Analysis I, Abschnitt 28. 4. Leiten Sie Rekursionsformeln der Gestalt an In+2 (x) = fn (x) + bn In (x), n ∈ N0 f¨ ur die folgenden unbestimmten Integrale her: n−1 2 (a) In (x) = (1 − x2 ) (b) In (x) = tann (x)dx dx (|x| < 1) (− π π <x< ) 2 2 Geben Sie auch Stammfunktionen f¨ ur spezielle Werte von n an, die es im Prinzip erlauben, mit Hilfe der Rekursionsformel In (x) f¨ ur alle n ∈ N0 zu berechnen. Hinweis: In Teil (a) f¨ uhrt partielle Integration zum Ziel, f¨ ur Teil (b) beachte man 2 tan (x) = 1 + tan (x) und verwende die Substitutionsregel. Abgabe: Fr., 24.10.2014, bis 10.25 Uhr Besprechung: Mi., 29.10.2014 und Do., 30.10.2014