Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI CAHIER 1 DE TEXTES 2014-2015 MARDI 14 AVRIL Cours du chapitre 26 « Arithmétique des polynômes et fractions rationnelles » : — Structure de corps de K(X ), structure d’espace vectoriel, identification des polynômes à des fractions rationnelles. — Forme irréductible d’une fraction rationnelle. Dérivée et degré. Fonction rationnelle. Zéros et pôles, multiplicité. Partie entière. — Décomposition en éléments simples sur C, sur R. Partie polaire associée à un pôle simple. Exemples sous forme d’exercices. 2 LUNDI 13 AVRIL • Distribution du cours du chapitre 26 « Arithmétique des polynômes et fractions rationnelles » et de la feuille d’exercices associée. • Cours du chapitre 26 « Arithmétique des polynômes et fractions rationnelles » : — Théorème de d’Alembert-Gauss. Polynôme irréductible. Polynômes irréductibles de C[X ], factorisation irréductible sur C. Polynômes irréductibles de R[X ], factorisation irréductible sur R. Exemple sous forme d’exercice. — Construction de l’ensemble K(X ) des fractions rationnelles à coefficients dans K. • Exercices du chapitre 25 « Probabilités sur un univers fini » : 11-3), 21–3), 26. 3 VENDREDI 10 AVRIL • Exercices du chapitre 25 « Probabilités sur un univers fini » : 8–3), 9, 11–1)2), 21–1)2), 24, 28. • Exercices du chapitre 25 « Probabilités sur un univers fini » à chercher pour lundi : 11-3), 21–3), 26. 4 JEUDI 9 AVRIL • Remise des copies du devoir à la maison « Endomorphismes nilpotents, endomorphismes cycliques ». • Cours du chapitre 25 « Probabilités sur un univers fini » : Exemple sur l’indépendance sous forme d’exercice. • Exercices du chapitre 25 « Probabilités sur un univers fini » : 7, 8–1)2). • Exercices du chapitre 25 « Probabilités sur un univers fini » à chercher pour vendredi : 8–3), 11–1)2), 24. 5 MERCREDI 8 AVRIL • Cours du chapitre 25 « Probabilités sur un univers fini » : — Formule des probabilités composées. Exemple sous forme d’exercice. — Indépendance de deux événements, d’un nombre quelconque d’événements. • Exercices du chapitre 25 « Probabilités sur un univers fini » : 5, 14, 16. • Exercices du chapitre 25 « Probabilités sur un univers fini » : 7, 8. 1 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 6 MARDI 7 AVRIL • Cours du chapitre 25 « Probabilités sur un univers fini » : Probabilités conditionnelles. Formule des probabilités totales. Exemple sous forme d’exercice. Formules de Bayes. • Exercices du chapitre 24 « Dénombrement » : 15, 20, 24. • Exercices du chapitre 25 « Probabilités sur un univers fini » : 2. • Exercices du chapitre 25 « Probabilités sur un univers fini » à chercher pour mercredi : 5, 14, 16. 7 VENDREDI 3 AVRIL • Copies du devoir à la maison « Endomorphismes nilpotents, endomorphismes cycliques » relevés. Distribution de la correction. • Cours du chapitre 25 « Probabilités sur un univers fini » : — Vocabulaire des événements. Système complet d’événements. — Probabilité sur un univers fini. Propriétés. Détermination d’une probabilité sur les événements élémentaires. • Exercices du chapitre 24 « Dénombrement » : 14, 16, 17, 19, 22–1), 23–2). • Exercices du chapitre 25 « Probabilités sur un univers fini » : 1. • Exercices à chercher pour mardi : — Chapitre 24 « Dénombrement » : 15, 20, 24. — Chapitre 25 « Probabilités sur un univers fini » : 2. 8 JEUDI 2 AVRIL • Remise des copies du devoir surveillé du samedi 28 mars. • Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » : 21–3). • Exercices du chapitre 24 « Dénombrement » : 7, 11, 13, 18, 21–2). • Exercices du chapitre 24 « Dénombrement » à chercher pour vendredi : 22–1), 23–2). 9 MERCREDI 1 AVRIL ER • Distribution du cours du chapitre « Probabilités sur un univers fini » et de la feuille d’exercices associée. • Cours du chapitre 24 « Dénombrement » : Utilisation de polynômes et fractions rationnelles pour calculer certaines sommes. Exemples sous forme d’exercices. • Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » : 52. • Exercices du chapitre 24 « Dénombrement » : 5, 9, 10. • Exercices à chercher pour jeudi : — Chapitre 23 « Applications linéaires » : 21–3). — Chapitre 24 « Dénombrement » : 11, 13. 2 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 10 MARDI 31 MARS • Cours du chapitre 24 « Dénombrement » : — Nombre de parties d’un ensemble fini. Interprétation ensembliste de la symétrie des coefficients binomiaux et de la formule de Pascal. — Indicatrice d’un ensemble, propriétés. Formule du crible. • Exercices du chapitre 23 « Dénombrement » : 51. • Exercices du chapitre 24 « Dénombrement » : 1, 2. • Exercices à chercher pour mercredi : — Chapitre 23 « Applications linéaires » : 52. — Chapitre 24 « Dénombrement » : 5, 9. 11 LUNDI 30 MARS • Cours du chapitre 24 « Dénombrement » : Nombre de k-listes strictement croissantes de ¹1, nº. Exemples sous forme d’exercices. • Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » : 28. • Exercices du chapitre 24 « Dénombrement » : 3, 4, 6–1)2). 12 SAMEDI 28 MARS Devoir surveillé sur l’analyse asymptotique et les applications linéaires. 13 VENDREDI 27 MARS • Cours du chapitre 24 « Dénombrement » : — Cardinal d’une réunion, d’une réunion disjointe, d’une différence. Principe des bergers. Exemples sous forme d’exercices. — Cardinal d’un produit cartésien. Listes et nombre de p-listes d’un ensemble fini. Arrangements et nombre de p-arrangements d’un ensemble fini . Exemples sous forme d’exercices. — Nombre d’applications entre deux ensembles finis, nombre d’applications injectives, nombre de permutations d’un ensemble fini. — Combinaisons, nombre de p-combinaisons d’un ensemble fini. Exemple sous forme d’exercice. • Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » : 33, 37, 38, 39, 45, 50. • Exercices à chercher pour lundi : — Chapitre 23 « Applications linéaires » : 28. — Chapitre 24 « Dénombrement » : 3, 4, 6–1)2). 3 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 14 JEUDI 26 MARS • Remise des copies du devoir à la maison « Développements limités ». • Cours du chapitre 24 « Dénombrement » : — Ensemble fini, cardinal. Équipotence et cardinal. Parties d’un ensemble fini. Effet d’une application sur le cardinal. Principe des tiroirs. — Analyse détaillée de deux exemples de problèmes de dénombrement. Exemples d’énumérations. • Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » : 18, 25. • Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » à chercher pour vendredi : 15 MERCREDI 25 MARS • Cours du chapitre 23 « Applications linéaires » : Somm d’un nombre fini de sous-espaces vectoriels. Somme directe, caractérisation par le vecteur nul. Dimension d’une somme finie de sous-espaces vectoriels et cas d’égalité. Construction d’une somme directe à partir d’une famille libre. Bases d’une somme directe finie de sous-espaces vectoriels. Détermination d’une application linéaire sur une somme directe. • Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » : 40, 42, 44, 46. • Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » à chercher pour jeudi : 18, 25. 16 MARDI 24 MARS • Distribution du cours du chapitre 24 « Dénombrement » et de la feuille d’exercices associée. • Cours du chapitre 23 « Applications linéaires » : Symétrie, propriétés, caractérisation sous forme d’exercice. • Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » : 24, 34, 43–1). • Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » à chercher pour mercredi : 40, 42, 44. 17 LUNDI 23 MARS • Remise des copies du devoir surveillé du samedi 14 mars. • Cours du chapitre 23 « Applications linéaires » : Projection, propriétés, caractérisation. Exemple sous forme d’exercice. • Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » à chercher pour lundi : 7, 21–1), 23, 32–4). • Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » à chercher pour mardi : 24, 34, 43–1). 18 VENDREDI 20 MARS • Copies du devoir à la maison « Développements limités » relevées. Distribution de la correction et du devoir à la maison « Endomorphismes nilpotents, endomorphismes cycliques ». • Cours du chapitre 23 « Applications linéaires » : — Formes linéaires, écriture en fonction des coordonnées. Hyperplan. Caractérisation géométrique des hyperplans. Comparaison des équations d’un hyperplan. Intersection d’hyperplans. • 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : 11, 25. • Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » : 16, 19, 20. • Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » à chercher pour lundi : 7, 21–1), 23, 32–4). 4 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 19 JEUDI 19 MARS • Cours du chapitre 23 « Applications linéaires » : Forme géométrique du théorème du rang. Théorème du rang. • Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » : 8, 9. • Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » à chercher pour vendredi : 16, 19. 20 MERCREDI 18 MARS • Cours du chapitre 23 « Applications linéaires » : — Application linéaire de rang fini, rang. Inégalités sur le rang et cas d’égalité. Applications linéaires entre espces vectoriels de mêmes dimensions finies. Exemple sous forme d’exercice. Inversibilité à gauche/à droite d’une matrice. Invariance du rang par composition par un isomorphisme. — Image d’une matrice, rang d’une matrice. Lien avec l’inversibilité. Les opérations élémentaires préservent le rang. • Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » : 4, 32–1)2), 36. • Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » à chercher pour jeudi : 8, 9. 21 MARDI 17 MARS • Cours du chapitre 23 « Applications linéaires » : — Détermination d’une application linéaire sur une somme directe. — Effet d’une application linéaire sur la dimension. Dimension de L (E, F ). • Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » : 1)a), 2)b), 5, 12, 13. 22 LUNDI 16 MARS • Cours du chapitre 23 « Applications linéaires » : — Image réciproque d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire. Noyau d’une application linéaire, caractérisation de l’injectivité. Exemples sous forme d’exercices. Structure affine de l’ensemble des solutions d’une application linéaire. — Détermination d’une application linéaire sur une base. Caractérisation de l’injectivité/surjectivité/bijectivité sur une base. • Exercices du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : 16, 23–1). 23 SAMEDI 14 MARS Devoir surveillé sur les sous-espaces vectoriels supplémentaires, les limites de fonctions, la continuité et la dérivabilité. 5 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 24 VENDREDI 13 MARS • Cours du chapitre 23 « Applications linéaires » : — Classification des espaces vectoriels de dimension finie. — Opérations sur les applications linéaires. Opérations sur les isomorphismes. Anneaux d’endomorphismes, groupes linéaires. — Image d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire. Exemple sous forme d’exercice. Image d’un Vect par une application linéaire. • Exercices du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : 6–1), 8–8)9)10)11)12)13)14)15), 13–1)2), 14, 15, 20, 22–1). • Exercices du chapitre 23 « Applications linéaires » : 3. • Exercices du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » à chercher pour lundi : 16, 23–1). 25 JEUDI 12 MARS • Cours du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : Exemple de recherche d’asymptote et de position relative sous forme d’exercice. • Cours du chapitre 23 « Applications linéaires » : Application linéaire, endomorphisme, forme linéaire. Application linéaire canoniquement associée à une matrice. Formes coordonnées relativement à une base. Isomorphisme, automorphisme, espaces vectoriels isomorphes. Traduction de l’inversibilité en termes d’application linéaire canoniquement associée. 26 MERCREDI 11 MARS • Cours du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : — Domination, lien avec les petits o et les équivalents, opérations. — Constante d’Euler. — Calculs de limites sous forme d’exercices. — Position locale d’une fonction par rapport à une tangente. Exemple sous forme d’exercice. — Asymptote au voisinage de ±∞. • Exercices du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : 5. 27 MARDI 10 MARS • Cours du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : Exemples sous forme d’exercices. • Exercices du chapitre 20 « Continuité » : 36. • Exercices du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : 8–1)2)3)4)5)6)7), 12. • Exercices du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » à chercher pour mercredi : 5. Lire en outre le paragraphe « Domination » du cours du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 ». 6 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 28 LUNDI 9 MARS • Remise des copies du devoir à la maison « Les inégalités de Bernstein et Markov ». • Cours du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : Lien développement limité/équivalence. Nouveaux équivalents usuels en 0. Opérations sur les équivalents. Exemples sous forme d’exercices. • Exercices du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : 2–1), 3–1)2)3)4)5)6), 4–1)2)3). • Exercices du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » à chercher pour mardi : 8–1)2)3)4)5)6)7). 29 VENDREDI 6 MARS • Copies du devoir à la maison « Les inégalités de Bernstein et Markov » relevées. Distribution de la correction. • Cours du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : — Dérivation des développements limités. — Opérations sur les développements limités. Nombreux exemples sous forme d’exercices. — Équivalence pour les fonctions et les suites. Lien limite/équivalence, lien petit o/équivalence. • Exercices du chapitre 21 « Dérivabilité » : 14, 27, 39. • Exercices du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » à chercher pour lundi : 2–1), 3–1)2)3)4)5)6), 4– 1)2)3). 30 JEUDI 5 MARS • Cours du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : — Primitivation des développements limités. Exemples sous forme d’exercices. — Formule de Taylor-Young. Développements limités usuels. • Exercices du chapitre 21 « Dérivabilité » : 17, 34. • Pour vendredi, lire le paragraphe sur la dérivation des développements limités et les explications pratiques du paragraphe « Opérations sur les développements limités ». 31 MERCREDI 4 MARS • Cours du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : — Limites et petits o. Opérations sur les petits o. — Développements limités. On peut toujours se ramener à des développements limités au voisinage 1 de 0. Exemple de . Unicité des coefficients. Lien avec la continuité et la dérivabilité. Cas des 1− x fonctions paires/impaires. • Exercices du chapitre 21 « Dérivabilité » : 24–1), 26, 37–2). • Exercices du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : 1. • Exercices du chapitre 21 « Dérivabilité » à chercher pour jeudi : 17, 34. 7 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 32 MARDI 3 MARS • Distribution de la correction du devoir à la maison « La continuité, en veux-tu, en voilà ». • Cours du chapitre 21 « Dérivabilité » : Théorème de la limite de la dérivée. Théorème de classe C k par prolongement. • Cours du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : Négligeabilité pour les fonctions et les suites. Croissances comparées usuelles. Exemples sous forme d’exercice. • Exercices du chapitre 21 « Dérivabilité » : 12–1), 14, 19. • Exercices à chercher pour mercredi : — Chapitre 21 « Dérivabilité » : 39. — Chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » : 1. 33 LUNDI 2 MARS • Copies du devoir à la maison « La continuité, en veux-tu, en voilà » relevées. • Cours du chapitre 21 « Dérivabilité » : Application de l’inégalité des accroissements finis à l’étude des suites récurrentes et à l’approximation des points fixes. • Exercices du chapitre 20 « Continuité » : 24, 27, 30. • Exercices du chapitre 21 « Dérivabilité » : 37–1). 34 VENDREDI 13 FÉVRIER • Distribution du cours du chapitre 22 « Analyse asymptotique de niveau 1 » et de la feuille d’exercices associée. • Cours du chapitre 21 « Dérivabilité » : — Lipschitzianité. La lipschitzianité implique la continuité. Inégalité des accroissements finis. — Exemples d’utilisation du théorème de Rolle sous forme d’exercices. • Exercices du chapitre 21 « Dérivabilité » : 3, 9, 10–1)4), 18, 20, 21, 23. • Exercices à chercher pour lundi : — Chapitre 20 « Continuité » : 24, 27, 30. — Chapitre 21 « Dérivabilité » : 12–1), 14, 19, 24–1), 26, 27, 33. 35 JEUDI 12 FÉVRIER • Cours du chapitre 21 « Dérivabilité » : — Théorème des accroissements finis. — Caractérisation des fonctions dérivables constantes/monotones/strictement monotones. — Exercices du chapitre 20 « Continuité » : 5, 14. — Exercices du chapitre 21 « Dérivabilité » : 1–1)2), 5. • Exercices du chapitre 21 « Dérivabilité » : 9, 20. 8 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 36 MERCREDI 11 FÉVRIER • Distribution du devoir à la maison « Les inégalités de Bernstein et Markov ». • Cours du chapitre 21 « Dérivabilité » : — Opérations sur les dérivées successives. — Extremum local, point critique. Condition nécessaire pour un extremum local en un point intérieur. — Théorème de Rolle. • Exercices du chapitre 20 « Continuité » : 12, 31, 32. • Exercices à chercher pour jeudi : — Chapitre 20 « Continuité » : 5, 14. — Chapitre 21 « Dérivabilité » : 1–1)2), 5. 37 MARDI 10 FÉVRIER • Cours du chapitre 21 « Dérivabilité » : — Dérivabilité en un point, nombre dérivé, tangente. Dérivabilité sur une réunion finie d’intervalles. La dérivabilité implique la continuité. Caractérisation de la dérivabilité à partir des parties réelle et imaginaire. Dérivabilité à gauche/à droite en un point. Caractérisation de la dérivabilité en termes de dérivabilité à gauche et à droite. — Opérations sur la dérivabilité : combinaisons linéaires, produit, inverse, composée, réciproque. • Exercices du chapitre 20 « Continuité » : 2–4)5)6), 13, 17, 21. • Exercices du chapitre 20 « Continuité » à chercher pour mercredi : 12, 31, 32. 38 LUNDI 9 FÉVRIER • Remise des copies du devoir surveillé du samedi 31 janvier. • Exercices du chapitre 20 « Continuité » : 22, 23, 29. • Exercices du chapitre 20 « Continuité » à chercher pour mardi : 2–4)5)6), 13, 17, 21. 39 VENDREDI 6 FÉVRIER • Distribution du cours du chapitre 21 « Dérivabilité ». • Copies du devoir à la maison « Exercices d’algèbre linéaire » relevés. Distribution de la correction. • Cours du chapitre 20 « Continuité » : — TVI strictement monotone. — Théorème des bornes atteintes. — Continuité d’une réciproque. • Exercices du chapitre 19 « Limites d’une fonction » : 7, 9. • Exercices du chapitre 20 « Continuité » : 2–1)2)3), 6, 10, 19, 20, 26. • Exercices du chapitre 20 « Continuité » à chercher pour lundi : 2–4)5)6), 13, 17. 9 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 40 JEUDI 5 FÉVRIER • Distribution de la feuille d’exercices du chapitre 21 « Dérivabilité » et du devoir à la maison « La continuité, en veux-tu, en voilà ». • Cours du chapitre 20 « Continuité » : — Opérations sur la continuité. — Caractérisation séquentielle de la continuité. Équation fonctionnelle des fonctions linéaires. — Théorème des valeurs intermédiaires. Algorithme dichotomique associé. • Exercices du chapitre 19 « Limites d’une fonction » : 4. • Exercices à chercher pour vendredi : — Chapitre 19 « Limites d’une fonction » : 7. — Chapitre 20 « Continuité » : 6, 19, 20. 41 MERCREDI 4 FÉVRIER • Cours du chapitre 19 « Limites d’une fonction » : — Caractérisation séquentielle de la limite. — Théorème d’encadrement/de minoration/de majoration. — Théorème de la limite monotone. — Brève extension au cas des fonctions complexes. • Cours du chapitre 20 « Continuité » : — Continuité en un point ou sur une réunion finie d’intervalles. Caractérisation de la continuité à partir des parties réelle et imaginaire. Continuité en un point à gauche/à droite. Caractérisation de la limite en un point en fonction des limites à gauche/à droite. — Prolongement par continuité en un point. • Exercices du chapitre 19 « Limites d’une fonction » : 6–2), 8. • Exercices du chapitre 20 « Continuité » : 1. • Exercices du chapitre 19 « Limites d’une fonction » à chercher pour jeudi : 4. 42 MARDI 3 FÉVRIER • Cours du chapitre 19 « Limites d’une fonction » : — Composition de limites. — Limites et inégalités strictes/larges. • Exercices du chapitre 19 « Limites d’une fonction » : 1–2)4), 2–3)6)7), 3–2)3)5), 5. • Exercices du chapitre 19 « Limites d’une fonction » à chercher pour mercredi : 6–2), 8. 10 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 43 LUNDI 2 FÉVRIER • Cours du chapitre 19 « Limites d’une fonction » : — Exemples d’utilisation de la définition de la limite sous forme d’exercices. Toute fonction qui possède une limite finie en un point est bornée au voisinage de ce point. — Limite à gauche/à droite en un point. Caractérisation de la limite en termes de limite à gauche/à droite. Exemple sous forme d’exercice. • Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 46. • Cours du chapitre 19 « Limites d’une fonction » : 1–1)3), 2–1)2)4)5), 3–1)2). • Cours du chapitre 19 « Limites d’une fonction » à chercher pour mardi : 5. 44 SAMEDI 31 JANVIER Devoir surveillé sur les polynômes et les espaces vectoriels. 45 VENDREDI 30 JANVIER • Cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : Caractérisation de la supplémentarité en dimension finie. • Cours du chapitre 19 « Limites d’une fonction » : Adhérence d’une réunion finie d’intervalles. Propriété vraie au voisinage d’un point. Limite d’une fonction en un point. « Les neuf limites ». Travail autour de la définition sous forme d’exercices. Unicité de la limite, cas d’une limite en un point de définition. • Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 32, 41, 42, 43, 45–3)4). • Exercices à chercher pour lundi : — Chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 46. — Chapitre 19 « Limites d’une fonction » : 1, 2, 3. 46 JEUDI 29 JANVIER • Remise des copies du devoir à la maison « Le théorème de Block-Thielmann ». Distribution de la correction. • Distribution du cours du chapitre 20 « Continuité » et de la feuille d’exercices associée. • Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 38, 39, 45–2). • Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » à chercher pour vendredi : 32, 41. 47 MERCREDI 28 JANVIER • Distribution du cours du chapitre 19 « Limites d’une fonction ». • Copies du devoir à la maison « Le théorème de Block-Thielmann » relevées. • Cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : — Somme directe de deux sous-espaces vectoriels. Caractérisation par l’intersection. Dimension. Construction de deux sous-espaces vectoriels en somme directe grâce à une famille libre. Bases d’une somme directe. — Sous-espaces vectoriels supplémentaires. Exemple sous forme d’exercice. Existence d’un supplémentaire en dimension finie. • Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 37. • Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » à chercher pour jeudi : 38, 39, 45–2). 11 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 48 MARDI 27 JANVIER • Distribution de la feuille d’exercices du chapitre 19 « Limites d’une fonction » et du devoir à la maison « Exercices d’algèbre linéaire ». • Cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : Somme de deux sous-espaces vectoriels. Parties génératrices d’une somme de deux sous-espaces vectoriels. Formule de Grassmann. Condition suffisante pour que deux sousespaces affines soient concourants. • Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 28, 30–2)3). • Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 37. 49 LUNDI 26 JANVIER • Cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : — Dimension d’un espace vectoriel produit. — Matrice d’une famille de vecteurs dans une base. Caractérisation des bases. Caractérisation des matrices inversibles en termes de lignes/colonnes. Pour un système linéaire carré, l’existence et l’unicité de solutions sont équivalentes. • Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 21, 26, 30–1), 33–1), 34. • Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » à chercher pour mardi : 28, 30–2), 35. 50 VENDREDI 23 JANVIER • Cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : — Dimension d’un espace vectoriel de dimension finie. Dimensions de Kn , Kn [X ], K[X ] et Mn,p (K). En dimension n, toute partie libre possède au plus n éléments et toute partie génératrice en possède au moins n. En dimension n, une famille de n vecteurs est libre si et seulement si elle est génératrice. — Rang d’une famille finie de vecteurs, caractérisation de la liberté. — Dimension d’un sous-espace vectoriel en dimension finie. • Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 11, 14, 19, 20, 25). • Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » à chercher pour lundi : 21, 26, 30–1). 51 JEUDI 22 JANVIER • Cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : — Espace vectoriel de dimension finie. Dans un espace vectoriel engendré par n vecteurs, toute partie libre possède au plus n éléments. — Algorithme de la base incomplète. Théorème de la base incomplète/extraite. • Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 13, 15, 23–3), 24–1). • Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » à chercher pour lundi : 11, 14, 25). 12 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 52 MERCREDI 21 JANVIER • Cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : — Famille libre/liée d’un nombre quelconque de vecteurs. Propriétés : inclusion, ajout. — Bases, coordonnées. Bases canoniques de Kn , K[X ], Kn [X ] et Mn,p (K). Exemples sous forme d’exercices. • Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 10, 12, 16. • Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » à chercher pour jeudi : 13, 15, 23–3), 24–1). 53 MARDI 20 JANVIER • Cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : Famille libre/liée d’un nombre fini de vecteurs, vecteurs colinéaires. Exemples sous forme d’exercices. Toute famille échelonnée en degré de polynômes non nuls est libre. • Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 40. • Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 9. • Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » à chercher pour mercredi : 10, 12, 16. 54 LUNDI 19 JANVIER • Remise des copies du devoir à la maison « Pi carré sur six ». • Cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : Famille génératrice. Propriétés : inclusion, suppression. Exemples sous forme d’exercices. • Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 29, 31. • Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 7–2)3)4). • Exercices à chercher pour mardi : — Chapitre 17 « Polynômes » : 40. — Chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 9. 55 VENDREDI 16 JANVIER • Copies du devoir à la maison « Pi carré sur six » relevées. Distribution de la correction et du devoir à la maison « Le théorème de Block-Thielmann ». • Cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : — Caractérisation des sous-espaces affines par leur direction et un point. Intersection de sous-espaces affines. — Sous-espace vectoriel engendré par une partie, définition comme ensemble des combinaisons linéaires et caractérisation comme plus petit sous-espace vectoriel contenant cette partie. Exemples sous forme d’exercices. Propriétés des Vect : inclusion, suppression, substitution. • Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 3, 39. • Exercices du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 1–2)3)4), 3–1)2)3)4)5)6)7)8), 7, 8. • Exercices à chercher pour lundi : — Chapitre 17 « Polynômes » : 29, 31. — Chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : 7–2)3)4). 13 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 56 JEUDI 15 JANVIER • Cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : — Exemples de sous-espaces vectoriels sous forme d’exercice. Intersection de sous-espaces vectoriels. — Sous-espace affine, direction. • Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 19, 26–8), 37. • Exercices du chapitre 17 « Polynômes » à chercher pour vendredi : 3. 57 MARDI 13 JANVIER • Distribution du cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel ». • Cours du chapitre 18 « Structure d’espace vectoriel » : — Espace vectoriel. Exemples : K, espaces vectoriels produits dont Kn , Mn,p (K), K[X ], espaces vectoriels de fonctions dont R I et RN . — Combinaisons linéaires d’un nombre fini de vecteurs. Exemples sous forme d’exercice. Généralisation au cas d’un nombre infini de vecteurs. — Sous-espace vectoriel, définition et caractérisation. Exemple de l’ensemble des solution d’un système linéaire hoogène. • Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 32–2)a), 33, 20. • Exercices du chapitre 17 « Polynômes » à chercher pour jeudi : 19, 26–8), 37. 58 LUNDI 12 JANVIER • Remise des copies du devoir surveillé du samedi 10 janvier. • Cours du chapitre 17 « Polynômes » : Polynômes de Lagrange. Polynôme d’interpolation de Lagrange de degré minimal, puis cas général. • Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 17, 28, 30, 32–1). • Exercices du chapitre 17 « Polynômes » à chercher pour mardi : 32–2)a), 33. 59 SAMEDI 10 JANVIER Devoir surveillé sur l’arithmétique, les matrices, les groupes et les anneaux. 60 VENDREDI 9 JANVIER • Cours du chapitre 17 « Polynômes » : — Polynôme scindé. Relations coefficients-racines. — Polynômes annulateurs d’une matrice carrée. Utilisation pour l’inversion et le calcul des puissances. • Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 5, 15, 21–1)c)e)f), 26–4)5)6), 35, 36–1). • Exercices du chapitre 17 « Polynômes » à chercher pour lundi : 17, 28, 30. 14 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 61 JEUDI 8 JANVIER • Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 10, 11–1), 14, 21–1)a)b)d), 22, 23–1), 26–1)2). • Exercices du chapitre 17 « Polynômes » à chercher pour vendredi : 15, 21–1)c)e)f). 62 MERCREDI 7 JANVIER • Copies du devoir à la maison « Matrices, groupes et anneaux » relevées. Distribution de la correction et du devoir à la maison « Pi carré sur six ». • Cours du chapitre 17 « Polynômes » : — Racines complexes d’un polynôme réel. — Factorisation « par les racines ». Nombre maximal de racines comptées avec multiplicité. Le polynôme nul est le seul polynôme qui possède une infinité de racines. Identification polynôme/fonction polynomiale. • Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 2, 7, 9–1), 13. • Exercices du chapitre 17 « Polynômes » à chercher pour jeudi : 10, 14, 22. 63 MARDI 6 JANVIER • Cours du chapitre 17 « Polynômes » : — Intégrité de K[X ]. Composition des polynômes, degré d’une composée. Dérivées successives, degré, formule de Leibniz. Évaluation polynomiale, fonction polynomiale. — Divisibilité, propriétés. Théorème de la division euclidienne. — Reste de la division euclidienne par X − λ. Racine d’un polynôme, multiplicité. Formule de Taylor polynomiale. Utilisation des dérivées successives pour le calcul d’une multiplicité. • Exercices du chapitre 17 « Polynômes » : 2, 7, 9–1), 13. 64 LUNDI 5 JANVIER • Remise des copies du devoir à la maison « Le théorème des deux carrés ». • Cours du chapitre 17 « Polynômes » : Polynôme, identification polynomiale. Anneau K[X ]. Notation polynomiale. Formule de Vandermonde. Degré, degré d’une somme, d’un produit. • Exercices du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » : 7, 8, 18, 25. 65 VENDREDI 19 DÉCEMBRE • Distribution du cours du chapitre 17 « Polynômes » et de la feuille d’exercices associée. • Exercices du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » : 16, 17, 19, 21–1)2), 25–1)2). • Exercices du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » à chercher pour lundi : 7, 8, 18, 25. 15 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 66 JEUDI 18 DÉCEMBRE • Copies du devoir à la maison « Le théorème des deux carrés » relevées. Distribution de la correction et du devoir à la maison « Matrices, groupes et anneaux ». • Cours du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » : — Groupe produit. — Anneau. Centre de Mn (K). • Exercices du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » : 4, 6, 11, 12, 14–1). • Cours du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » : Fin du cours sur les anneaux à lire pour vendredi. 67 MERCREDI 17 DÉCEMBRE • Interrogation de cours sur l’arithmétique des entiers relatifs et les matrices. • Cours du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » : Groupe. Sous-groupe, définition et caractérisation. Exemples sous forme d’exercices. • Exercices du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » : 1. • Exercices du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » à chercher pour jeudi : 4, 6, 11. 68 MARDI 16 DÉCEMBRE • Remise des copies du devoir surveillé du samedi 6 décembre. Éléments de correction au tableau. • Cours du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » : Inversibilité, inverse, propriétés. Partie stable par une loi interne. • Exercices du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » : 1. 69 LUNDI 15 DÉCEMBRE • Cours du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » : — Loi interne, magma. Commutativité, associativité. Élément neutre. • Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » : 1, 7, 9–9), 11, 14–4). • Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » à chercher pour mardi : 16–2)3)a). 70 VENDREDI 12 DÉCEMBRE • Cours du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » : — Inversibilité et inversion d’une matrice par résolution de systèmes linéaires. Exemples sous forme d’exercices. — Matrices inversibles de taille 2, déterminant. Formules de Cramer. — Opérations sur les matrices inversibles — inverse, produit, puissances, transposée. Représentation matricielle des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes. Application à l’inversibilité et l’inversion. 16 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI — Inversibilité et inverse d’une matrice triangulaire. Systèmes triangulaires à coefficients diagonaux non nuls. • Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : 36. • Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » : 5, 6, 10, 13–2)3), 14–2)3), 16–1)a). • Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » à chercher pour lundi : 1, 7, 11, 14–4). 71 JEUDI 11 DÉCEMBRE • Cours du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » : — Rappel sur les équations de plans dans l’espace. — Opérations élémentaires sur les lignes. Algorithme du pivot. — Matrice inversible, inverse. Système de Cramer. Caractérisation des matrices inversibles en termes de systèmes linéaires. • Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » : 3, 9–3)4). • Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » à chercher pour vendredi : 5, 14–2). 72 MERCREDI 10 DÉCEMBRE • Introduction aux barycentres. • Cours du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » : — Transposition, linéarité, involutivité, effet sur un produit. Matrice symétrique/antisymétrique. — Trace d’une matrice carrée, linéarité, effet sur un produit. — Systèmes linéaires, écriture matricielle. Principe « Solution particulière + solution générale de l’équation homogène ». Notation Vect, interprétation géométrique. Rappel sur les équations de droites dans un plan. • Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : 13. • Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » : 4, 9–1)2). • Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » à chercher pour jeudi : 3, 9–3)4). • Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » à chercher pour vendredi : 36. 73 MARDI 9 DÉCEMBRE • Distribution du cours du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau » et d’un mini-cours sur les barycentres. • Cours du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » : — Matrices, coefficients, lignes, colonnes, matrices carrées. Addition et multiplication par un scalaire. — Produit matriciel. Associativité, bilinéarité, matrice identité. Calculs élémentaires sous forme d’exercices. Formule du binôme et formule « Ak − B k ». Produit par blocs. • Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : 34. • Exercices du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » : 4, 9–1)2). 17 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 74 LUNDI 8 DÉCEMBRE • Distribution du cours du chapitre 15 « Matrices et systèmes linéaires » et de la feuille d’exercices associée et de la feuille d’exercices du chapitre 16 « Structures de groupe et d’anneau ». • Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : 17, 19, 21, 23–1), 30. • Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » à chercher pour mardi : 34. • Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » à chercher pour mercredi : 13. 75 SAMEDI 6 DÉCEMBRE Devoir surveillé sur les suites. 76 VENDREDI 5 DÉCEMBRE • Cours du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : Petit théorème de Fermat. • Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : 12, 18, 20, 22, 24, 27–2), 28–3), 29. • Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » à chercher pour lundi : 19, 23–1), 30. 77 JEUDI 4 DÉCEMBRE • Remise des copies du devoir à la maison « Suites logistiques ». • Cours du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : — PPCM de deux entiers. Lien avec le PGCD. — Unicité de la factorisation première, valuations p-adiques. Propriétés des valuations p-adiques. • Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : 10–1), 27–1), 28–1)2). • Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » à chercher pour vendredi : 18, 20. 78 MERCREDI 3 DÉCEMBRE • Cours du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : — Idée fondamentale de l’algorithme d’Euclide. Algorithme d’Euclide. Existence du PGCD et relations de Bézout pour deux entiers, pour une famille d’entiers. — Couple d’entiers premiers entre eux, entiers premiers entre eux dans leur ensemble/deux à deux. Théorème de Bézout. Théorème de Gauss. Entiers premiers entre eux et produit d’entiers. Forme irréductible d’un rationnel. • Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : 2, 3–3), 4, 5, 7–1). • Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » à chercher pour jeudi : 10–1), 27–1), 28–1)2). 18 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 79 MARDI 2 DÉCEMBRE • Cours du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : — Relation de divisibilité, propriétés. Diviseur/multiple commun. — Relation de congruence modulo un entier, propriétés. — Nombre premier. Existence de la factorisation première. Infinité de l’ensemble des nombres premiers. Crible d’Ératosthène. — Théorème de la division euclidienne. — PGCD d’une famille d’entiers relatifs. « Unicité ». • Exercices du chapitre 13 « Relations binaires » : 4, 5, 6, 8. • Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » : 1. • Exercices du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » à chercher pour mercredi : 2, 3–3), 4, 5, 7–1). 80 LUNDI 1 DÉCEMBRE ER • Copies du devoir à la maison « Suites logistiques » relevées. Distribution de la correction. • Cours du chapitre 13 « Relations binaires » : — Relation d’ordre. Relation stricte associée. Majorant/minorant, maximum/minimum, borne supérieure/inférieure d’une partie. • Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » : 5. • Exercices du chapitre 13 « Relations binaires » : 1, 2. 81 VENDREDI 28 NOVEMBRE • Cours du chapitre 13 « Relations binaires » : — Relation binaire. Réflexivité, transitivité, symétrie, antisymétrie. Éléments comparables, relation totale/partielle. — Relation d’équivalence. Classes d’équivalence, ensemble quotient. • Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » : 14, 28, 37 50. • Exercices à chercher pour lundi : — Chapitre 12 « Limite d’une suite » : 5. — Chapitre 13 « Relations binaires » : 1, 2. 82 JEUDI 27 NOVEMBRE • Distribution du cours du chapitre 14 « Arithmétique des entiers relatifs » et de la feuille d’exercices associée. • Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » : 25, 34, 36, 45. 19 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 83 MERCREDI 26 NOVEMBRE • Interrogation de cours sur les suites. • Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » : 35, 39–5), 40, 46–1)b)2). • Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » à chercher pour jeudi : 25, 34, 45. • Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » à chercher pour vendredi : 14, 28, 50. 84 MARDI 25 NOVEMBRE • Cours du chapitre 12 « Limite d’une suite » : — Caractérisation séquentielle de la densité. Densité des décimaux. Développements décimaux illimités. — Brève extension aux suites complexes. — Théorème de Bolzano-Weierstrass. • Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » : 29, 32, 39–1)2). • Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » à chercher pour mercredi : 35, 39–5), 40, 46–1)b). 85 LUNDI 24 NOVEMBRE • Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » : 1–1)f), 19, 20–1), 22, 31. • Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » à chercher pour mardi : 29, 32, 39–1)2). 86 VENDREDI 21 NOVEMBRE • Cours du chapitre 12 « Limite d’une suite » : — Inverse d’une limite finie non nulle sous forme d’exercice. — Limite d’une suite récurrente « un+1 = f (un ) ». Exemples sous forme d’exercices. — Caractérisation séquentielle de la borne supérieure. • Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » : 13, 16, 17, 43–1)2), 44, 46–1)a). • Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » à chercher pour lundi : 1–1)f), 19, 20–1), 22. 87 JEUDI 20 NOVEMBRE • Remise des copies du devoir surveillé du samedi 15 novembre. • Distribution du cours du chapitre 13 « Relations binaires ». • Cours du chapitre 12 « Limite d’une suite » : — Suites adjacentes. Théorème des suites adjacentes. Exemple sous forme d’exercice. — Suites récurrentes « un+1 = f (un ) ». Monotonie d’une telle suite. Exemples sous forme d’exercice. • Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » : 8, 12. • Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » à chercher pour vendredi : 16, 17, 43–1)2), 44. 20 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 88 MERCREDI 19 NOVEMBRE • Distribution de la feuille d’exercices du chapitre 13 « Relations binaires ». • Cours du chapitre 12 « Limite d’une suite » : — Produit de deux limites finies sous forme d’exercice. — Théorème d’encadrement/de minoration/de majoration. Produit d’une suite bornée par une suite de limite nulle. Limite d’une suite géométrique. — Théorème de la limite monotone. Comparaison exponentielles/factorielles. • Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » : 1–2)b)c), 11–1)2)3). • Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » à chercher pour jeudi : 8, 12. 89 MARDI 18 NOVEMBRE • Cours du chapitre 12 « Limite d’une suite » : — Opérations sur les limites. Quelques preuves sous forme d’exercices. Composition par une fonction. — Limites et inégalités strictes. Limites et inégalités larges. — Suites extraites. Limites et suites extraites. Application à la non-existence de limites. • Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » : 2, 3, 4. • Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » à chercher pour mercredi : 1–2)b)c), 11–1)2). 90 LUNDI 17 NOVEMBRE • Remise des copies du devoir à la maison « Itérations ». Distribution du devoir à la maison « Suites logistiques ». • Cours du chapitre 12 « Limite d’une suite » : — Voisinage dans R d’un point de R. Définition générale de la limite d’une suite, cas particuliers d’une limite finie ou ±∞. Unicité de la limite. — Convergence, divergence. Toute suite convergente est bornée. • Exercices du chapitre 11 « Compléments sur les réels » : 4. • Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » : 1–1). • Exercices du chapitre 12 « Limite d’une suite » à chercher pour mardi : 2, 3, 4. 91 SAMEDI 15 NOVEMBRE Devoir surveillé sur les primitives et les intégrales, les équations différentielles et les applications. 21 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 92 VENDREDI 14 NOVEMBRE • Copies du devoir à la maison « Itérations » relevées. Distribution de la correction. • Cours du chapitre 11 « Compléments sur les réels » : Densité d’une partie de R. Exemples de Q et R \ Q. • Cours du chapitre 12 « Limite d’une suite » : — Vocabulaire usuel sur les suites, propriété vraie à partir d’un certain rang. — Suites définies explicitement, suites récurrentes « un+1 = f (un ) ». Partie stable par une fonction, utilisation pour l’existence de suites récurrentes. • Exercices du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » : 19, 21. • Exercices du chapitre 11 « Compléments sur les réels » : 1, 2, 3, 5–1)2)4), 6–1)2). • Exercices à chercher pour lundi : — Chapitre 11 « Compléments sur les réels » : 4. — Chapitre 12 « Limite d’une suite » : 1–1). 93 JEUDI 13 NOVEMBRE • Cours du chapitre 11 « Compléments sur les réels » : — Droite achevée R. — Intervalles de R, redéfinition et caractérisation. — Partie entière. • Exercices du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » : 20–2)3), 22. 94 MERCREDI 12 NOVEMBRE • Distribution du cours du chapitre 12 « Limite d’une suite » et de la feuille d’exercices associée. • Cours du chapitre 11 « Compléments sur les réels » : — Borne supérieure/inférieure d’une partie de R, unicité. Lien avec le maximum/minimum. Opérations sur les bornes supérieures/inférieures. — Propriété de la borne supérieure/inférieure. • Exercices du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » : 4–1), 8–9), 20–1). • Exercices du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » à chercher pour jeudi : 20–2)3), 22. • Exercices du chapitre 11 « Compléments sur les réels » à chercher pour vendredi : 1, 2. 95 LUNDI 10 NOVEMBRE • Distribution du cours du chapitre 11 « Compléments sur les réels » et de la feuille d’exercices associée. • Cours du chapitre 11 « Compléments sur les réels » : — Partie majorée/minorée de R, majorants/minorants. — Maximum/minimum d’une partie de R, unicité. Toute partie non vide de N possède un minimum. Toute partie non vide majorée de N possède un maximum. • Exercices du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » : 4–8), 8–1), 11, 16, 18. • Exercices du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » à chercher pour mercredi : 4–1), 8–9), 20. 22 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 96 VENDREDI 7 NOVEMBRE • Cours du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » : — Abandon de la notation f ← (B) au profit de la notation f −1 (B). — Retour sur le TVI strictement monotone. — (Hors programme) Équipotence. Nombreux exemples, présentés informellement. • Exercices du chapitre 9 « Équations différentielles linéaires » : 14. • Exercices du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » : 1, 2, 3–1), 7–1)2)3), 14. • Exercices du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » : 4–8), 8–1), 11, 16, 18. 97 JEUDI 6 NOVEMBRE • Cours du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » : — Surjection. Surjectivité et composition. — Bijection, réciproque, lien entre les deux. Bijectivité d’une composée, d’une réciproque. • Exercices du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » : 4–1)2)3)4), 15. • Exercices du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » à chercher pour vendredi : 1, 2, 3–1), 7–1)2)3). 98 MERCREDI 5 NOVEMBRE • Interrogation de cours sur les équations différentielles. • Cours du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » : Injection. Exemple sous forme d’exercice. Injectivité et composition. Injectivité et stricte monotonie. • Exercices du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » : 8, 12–2), 17–2). • Exercices du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » : 4–1)2)3)4). • Exercices du chapitre 10 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » à chercher pour vendredi : 14. 99 MARDI 4 NOVEMBRE π2 et la formule de Wallis » et du devoir à la maison « Itérations ». 6 Distribution du cours du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » et de la feuille d’exercices associée. • Distribution de la correction du devoir à la maison « • Cours du chapitre 10 « Injections, surjections, bijections » : — Fonction/application, ensemble de définition, ensemble d’arrivée, image et antécédents d’un point, image d’une fonction. Famille indexée par un ensemble. Composition, fonction identité. Restriction et prolongements. — Image directe/réciproque d’une partie. • Exercices du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » : 3, 11–1), 12–1), 16–2), 17–1). • Exercices du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » à chercher pour mercredi : 8, 12–2), 17–2). 23 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 100 LUNDI 3 NOVEMBRE • Remise des copies du devoir à la maison « Points fixes de l’exponentielle complexe et méthode de Cardan ». π2 et la formule de Wallis » relevés. 6 • Cours du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » : • Copies du devoir à la maison « — Suites arithmético-géométriques. — Suites récurrentes linéaires homogènes d’ordre 2. • Exercices du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » : 1–1)h), 2–4), 9–1)3), 10–1). • Exercices du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » à chercher pour mardi : 16–2), 17–1). 101 VENDREDI 17 OCTOBRE • Cours du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » : — Équations différentielles a y ′′ + b y ′ + c y = 0. Exemples sous forme d’exercices. — Équations différentielles a y ′′ + b y ′ + c y = d(x), existence et unicité de la solution d’un problème de Cauchy. Solution particulière d’une équation de la forme a y ′′ + b y ′ + c y = Aeλx . Exemples sous forme d’exercices. • Exercices du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » : 8–9), 11–5), 17–1)2). • Exercices du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » : 1–1)a)b)e), 2–3), 6–1), 7. • Exercices du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » à chercher pour la rentrée : 1–1)h), 2–4), 3, 9–1)3), 10–1), 11–1), 12–1). 102 JEUDI 16 OCTOBRE • Copies du devoir à la maison « Points fixes de l’exponentielle complexe et méthode de Cardan » relevés. Distribution de la correction. • Distribution du devoir à la maison facultatif « Equations différentielles ». • Cours du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » : — Équations différentielles y ′ + a(x) y = b(x). Méthode de variation de la constante. Existence et unicité de la solution d’un problème de Cauchy. Exemple sous forme d’exercice. — Solution particulière d’une équation de la forme y ′ + a y = Aeλx . • Exercices du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » : 2–1). • Exercices à chercher pour vendredi : — Chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » : 8–9), 11–5), 17–1)2). — Chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » : 1–1)a). 103 MERCREDI 15 OCTOBRE • Interrogation de cours sur la décomposition en éléments simples et le calcul intégral. • Cours du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » : — Introduction à la linéarité et aux équations linéaires. Principe « Solution particulière + solution générale de l’équation homogène ». Principe de superposition. — Équations différentielles homogènes y ′ + a(x) y = 0. • Accompagnement personnalisé (2h). 24 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 104 MARDI 14 OCTOBRE • Exercices du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » : 6, 8–4)5), 10–4), 11–3), 13, 9–1)2). • Exercices du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » à chercher pour mercredi : 9–3), 11-4), 14. 105 LUNDI 13 OCTOBRE • Distribution du cours du chapitre 9 « Équations différentielles et suites récurrentes linéaires » et de la feuille d’exercices associée. • Remise des copies du devoir sur table du mercredi 8 octobre. • Exercices du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » : 1–1)2)3)4)5)6)7)8), 7–1), 8–1)2)7), 10–1)2)3). • Exercices du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » à chercher pour mardi : 6, 8–4)5), 13. 106 VENDREDI 10 OCTOBRE • Cours du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » : — Fonction complexe continue. Intégrale d’une fonction complexe continue sur un segment. Linéarité, relation de Chasles, inégalité triangulaire, et pour les fonctions réelles, positivité, positivité stricte et croissance. — Théorème fondamental de l’analyse. — Fonction complexe de classe C 1 . Intégration par parties. — Changement de variable. • Exercices du chapitre 7 « Introduction à la décomposition en éléments simples » : 1, 2, 3–1)2)4)5). • Exercices du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » : 3–1)a)c), 4). • Exercices du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » à chercher pour lundi : 1, 8–1)7), 10–1)2). 107 JEUDI 9 OCTOBRE • Distribution du cours du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » et de la feuille d’exercices associée. • Éléments de correction du devoir sur table du mercredi 8 octobre. • Cours du chapitre 8 « Calculs de primitives et d’intégrales » : — Primitives d’une fonction complexe, unicité à constante additive près. 1 2 + bx + c a x avec discriminant négatif. Primitivation des fonction x 7−→ eax cos(bx) et x 7−→ eax sin(bx). Primitivation de fonctions trigonométriques par linéarisation. Primitivation des fractions rationnelles par utilisation de leur décomposition en éléments simples. — Primitivation des fonctions de la forme f ′ × g ′ ◦ f . Primtivation des fonctions x 7−→ 108 MERCREDI 8 OCTOBRE • Devoir surveillé sur les fonctions usuelles et les nombres complexes. • Cours du chapitre 7 « Introduction à la décomposition en éléments simples » : Exemples sous forme d’exercice. • Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » : 7, 26, 28–2)a). • Exercices du chapitre 7 « Introduction à la décomposition en éléments simples » à chercher pour jeudi : 1, 2. • Exercices du chapitre 7 « Introduction à la décomposition en éléments simples » à chercher pour vendredi : 3–1)2)4). 25 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 109 MARDI 7 OCTOBRE • Cours du chapitre 7 « Introduction à la décomposition en éléments simples » : Le point de vue est uniquement pratique, les résultats sont présentés sur des exemples. — Division euclidienne des polynômes à coefficients complexes. Racine d’un polynôme à coefficient complexe, principe de « factorisation par la racine ». Multiplicité d’une racine. — Factorisations irréductibles sur C et sur R. — Décomposition en éléments simples sur R — seulement. • Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » : 12, 15–1)2), 20–2), 28–2)b). 110 LUNDI 6 OCTOBRE • Distribution du cours du chapitre 7 « Introduction à la décomposition en éléments simples ». • Remise des copies du devoir à la maison « Hölder, Minkowski et le logarithme ». • Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » : 27–1)a), 13, 17–2)a), 31–1)2)5), 35. • Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » à chercher pour mardi : 12, 15–1)2), 20–2). 111 VENDREDI 3 OCTOBRE • Cours du chapitre 6 « Nombres complexes » : Interprétation géométrique de l’addition et de la multiplication par un nombre complexe. Expression complexe des transformations usuelles — translations, rotations et homothéties. Etude z−b des fonctions de la forme z 7−→ az + b avec a ∈ C∗ et b ∈ C. Interprétation géométrique de . z−a • Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » : 24–2)a), 18, 20–1), 28–1), 33–1)2)3). • Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » à chercher pour lundi : 27–1)a), 13, 17–2)a), 31–1)2). 112 JEUDI 2 OCTOBRE • Copies du devoir à la maison « Hölder, Minkowski et le logarithme » relevées. Distribution de la correction. • Cours du chapitre 6 « Nombres complexes » : — Exponentielle complexe, périodicité, transformation des sommes en produits. Dérivation des fonctions de la forme eϕ . — Racines nèmes . • Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » : 24–1). 113 MERCREDI 1 OCTOBRE ER • Distribution de la feuille d’exercices du chapitre 7 « Introduction à la décomposition en éléments simples ». • Interrogation de cours sur les fonctions circulaires et les nombres complexes. • Cours du chapitre 6 « Nombres complexes » : Propriétés des arguments. Lien entre la forme algébrique et les formes trigonométriques d’un nombre complexe non nul. Technique de l’angle moitié. Formules « cos x +cos y ». Simplification n X de cos(2k x) sous forme d’exercice. k=0 26 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI • Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » : 6–1), 10, 11. • Exercices du chapitre 5 « Fonctions circulaires » : 8–1), 11, 13–1), 28. • Accompagnement personnalisé (2h). 114 MARDI 30 SEPTEMBRE • Distribution du devoir à la maison « Points fixes de l’exponentielle complexe et méthode de Cardan ». • Cours du chapitre 6 « Nombres complexes » : — Ensemble U des nombres complexes de module 1. « Exponentielle iθ », formules d’Euler et Moivre, transformation des sommes en produits. Linéarisation d’expressions trigonométriques. Exemples sous forme d’exercices. Dé-linéarisation. — Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul, arguments, argument principal. • Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » : 8–1)2), 9–2). • Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » à chercher pour mercredi : 6–1), 10, 11. 115 LUNDI 29 SEPTEMBRE • Cours du chapitre 6 « Nombres complexes » : — Èquations du second degré à coefficients complexes. Systèmes somme-produit. — Dérivation des fonctions à valeurs complexes. • Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » : 1, 2, 3, 4, 5. • Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » à chercher pour mardi : 8–1)2), 9–1). 116 VENDREDI 26 SEPTEMBRE • Remise des copies du devoir à la maison « Des sommes, des produits et des inégalités ». • Cours du chapitre 6 « Nombres complexes » : — Contruction des nombres complexes. — Conjugué, module, inégalité triangulaire. — Racines carrées d’un nombre complexe. • Exercices du chapitre 5 « Fonctions circulaires » : 4–7), 9, 19–2)3), 24–5), 25–3), 27–2)3). • Exercices du chapitre 5 « Fonctions circulaires » à chercher pour mercredi : 8–1), 11, 13–1), 28. • Exercices du chapitre 6 « Nombres complexes » à chercher pour lundi : 1, 2, 3, 4, 5. 117 JEUDI 25 SEPTEMBRE • Distribution de la feuille d’exercices du chapitre 6 « Nombres complexes ». • Exercices du chapitre 5 « Fonctions circulaires » : 23, 24–2)3), 25–1), 27–1). • Exercices du chapitre 5 « Fonctions circulaires » à chercher pour vendredi : 25–3), 27–2)3). 27 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 118 MERCREDI 24 SEPTEMBRE • Interrogation de cours sur les fonctions usuelles, dont sin, cos et tan. • Cours du chapitre 5 « Fonctions circulaires » : Fonction arctangente. Exemples sous forme d’exercices. • Exercices du chapitre 5 « Fonctions circulaires » : 4–5), 18. • Exercices du chapitre 5 « Fonctions circulaires » à chercher pour jeudi : 23. 119 MARDI 23 SEPTEMBRE • Distribution du cours du chapitre 6 « Nombres complexes ». • Remise des copies du devoir surveillé du samedi 20 septembre. • Cours du chapitre 5 « Fonctions circulaires » : Fonctions arccosinus et arcsinus. • Exercices du chapitre 5 « Fonctions circulaires » : 1, 2, 4–1)2)3)4). • Exercices du chapitre 5 « Fonctions circulaires » à chercher pour mercredi : 4–5), 18, 23–2)c). 120 LUNDI 22 SEPTEMNBRE • Copies du devoir à la maison « Des sommes, des produits et des inégalités » relevées. Distribution de la correction. • Cours du chapitre 5 « Fonctions circulaires » : — Relations sin(x + y). . . , sin x sin y. . . , relations de duplication. — Fonction tangente, lien avec le cercle trigonométrique. Equations tan x = tan y, relation tan(x + y), relation de duplication. — Transformation des expressions de la forme a cos θ + b sin θ . • Exercices du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » : 22, 23–1)2), 24. 121 SAMEDI 20 SEPTEMBRE Devoir surveillé sur les chapitres « Rappels et compléments calculatoires », « Sommes, produits, coefficients binomiaux », « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste », « Raisonner, rédiger » et le début du chapitre « Rappels et compléments sur les fonctions ». 122 VENDREDI 19 SEPTEMBRE • Distribution du devoir à la maison « Hölder, Minkowski et le logarithme ». • Cours du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » : Continuité et dérivabilité d’une réciproque. • Cours du chapitre 5 « Fonctions circulaires » : — Relation de congruence. — Fonctions sinus et cosinus, lien avec le cercle trigonométrique. Equations sin x = sin y. . . , relations π ... sin x + 2 • Exercices du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » : 6, 7, 13, 15, 18–1)2), 19–1), 20. • Exercices du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » à chercher pour lundi : 22, 23–1)2), 24. • Exercices du chapitre 5 « Fonctions circulaires » à chercher pour mardi : 1, 2, 4–1)2)3)4). 28 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 123 JEUDI 18 SEPTEMBRE • Distribution du colloscope et des groupes de colles. • Cours du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » : — Lien bijection-réciproque. Graphe d’une réciproque. Réciproque d’une fonction bijective monotone/impaire. — Continuité, lien avec la dérivabilité. TVI, TVI strictement monotone. Application à la recherche de points fixes. • Exercices du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » : 9–1)2), 11. 124 MERCREDI 17 SEPTEMBRE • Interrogation de cours sur les fonctions usuelles. • Distribution du cours du chapitre 5 « Fonctions circulaires » et de la feuille d’exercices associée. • Cours du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » : Bijection, identité, réciproque. • Exercices du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » : 3, 5–2), 8, 17. • Exercices du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » : — à chercher pour jeudi : 9–1)2), 11. — à chercher pour vendredi : 13, 18–1)2), 19–1). 125 MARDI 16 SEPTEMBRE • Cours du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » : — Fonctions et bonne rédaction. — Fonctions exponentielle et logarithme. Fonctions puissances. Croissances comparées. — Fonctions sinus, cosinus et tangente hyperboliques. • Exercices du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » : 1, 2, 5–1)3). • Exercices du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » à chercher pour mercredi : 3, 5–2), 8, 17. 126 LUNDI 15 SEPTEMBRE • Cours du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » : Caractérisation des fonctions constantes/monotones dérivables. Dérivées successives. Exemples de démonstrations d’inégalités sous forme d’exercices. • Exercices du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » : 6, 8–1)2)3), 14–3)a), 23–1). • Exercices du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » à chercher pour mardi : 1, 2, 5–1)3). 29 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 127 VENDREDI 12 SEPTEMBRE • Distribution de la feuille d’exercices du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions ». • Cours du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions » : — Ensemble de définition, image et antécédents d’un point, image d’une fonction, expression « à valeurs dans. . . ». Composée de deux fonctions. Associativité de la composition. — Fonction (strictement) croissante/décroissante/monotone. Somme de fonctions croissantes/décroissantes, composée de fonctions monotones. Fonction majorée/minorée/bornée, maximum/minimum. — Transformations affines du graphe d’une fonction. Fonction paire/impaire/périodique. Opérations sur les fonctions périodiques. — Dérivabilité, nombre dérivé, dérivée. Opérations sur les fonctions dérivables. • Exercices du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » : 3, 4, 14–1)2), 15, 19, 21. • Exercices du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » à chercher pour lundi : 6, 8–1)2)3), 14–3)a), 23–1). 128 JEUDI 11 SEPTEMBRE • Cours du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » : Egalité d’ensembles, inclusion. Ensemble des parties d’un ensemble. Réunion, intersection, ensembles disjoints, différence, complémentaire. Produit cartésien. • Cours du chapitre p transversal « Raisonner, rédiger » : Egalités d’ensembles, inclusions. Raisonnement par l’absurde. Irrationalité de 2. Raisonnement par analyse-synthèse. • Exercices du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » : 5, 11, 12. • Exercices du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » à chercher pour vendredi : 14–1)2). 129 MERCREDI 10 SEPTEMBRE • Distribution du cours du chapitre 4 « Rappels et compléments sur les fonctions ». • Interrogation de cours sur les chapitres « Rappels et compléments calculatoires » et « Sommes, produits, coefficients binomiaux ». • Cours du chapitre transversal « Raisonner, rédiger » : — Bilan de la lecture exigée pour ce jour. — Raisonnement par récurrence — simple, double, forte. Exemples sous forme d’exercices. • Exercices du chapitre 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux » : 9–2), 18. • Exercices du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » à chercher pour jeudi : 3, 4, 5, 11, 12. 130 MARDI 9 SEPTEMBRE • Cours du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » : — Propositions, valeur de vérité, connecteurs logiques non, et, ou, =⇒ et ⇐⇒. Contraposée, réciproque, condition nécessaire/suffisante. Règles élémentaires du calcul propositionnel. — Quantificateurs universel et existentiel. Négation, permutation. Pseudo-quantificateur ∃ !. — Ensemble, appartenance, élément. Définition en extension/compréhension. • Exercices du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » : 1. • Cours du chapitre transversal « Raisonner, rédiger » à lire jusqu’au paragraphe « Montrer l’unicité d’un objet » inclus. 30 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 131 LUNDI 8 SEPTEMBRE • Distribution de la feuille d’exercices du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste ». • Exercices du chapitre 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux » : 2–1)7)9), 10, 11–4)5), 12, 14, 15–1), 19–1). • Exercices du chapitre 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux » à chercher pour mercredi : 9–2), 18. 132 VENDREDI 5 SEPTEMBRE • Distribution du cours du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » et du chapitre transversal « Raisonner, rédiger ». • Cours du chapitre 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux » : — Sommes géométriques. Formule « a n − b n ». Y X — Adaptation au symbole du paragraphe sur le symbole . Factorielle. n n−1 n = — Coefficients binomiaux, triangle de Pascal. Symétrie, formule « », formule de k k k−1 Pascal, intégrité. Formule du binôme. Lien avec la présentation des coefficients binomiaux du programme de Première S. • Exercices du chapitre 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux » : 1–2)3)4), 2–4)5)6), 3–1), 5, 6, 9–1), 11– 1)2)3). • Exercices du chapitre 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux » à chercher pour lundi : 2–1)7)9), 10, 11–4)5), 12, 14. 133 JEUDI 4 SEPTEMBRE • Distribution du cours du chapitre 3 « Rudiments de logique et vocabulaire ensembliste » et du chapitre transversal « Raisonner, rédiger ». • Cours du chapitre 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux » : X X — Symbole . Produits de deux . Changements d’indice. Simplifications télescopiques. Permutan n X X X X tion des . Carré d’un . Calcul de k et k2 . k=1 k=1 • Exercices du chapitre 1 « Rappels et compléments calculatoires » à chercher pour jeudi : 3, 4, 6, 8, 9–8). • Exercices du chapitre 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux » : 1–1), 2–2)3). • Exercices du chapitre 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux » à chercher pour vendredi : 2–4)5), 3–1), 6, 9–1). 134 MERCREDI 3 SEPTEMBRE • Cours du chapitre 1 « Rappels et compléments calculatoires » : En entier. • Exercices du chapitre 1 « Rappels et compléments calculatoires » : 1, 2, 7–1)2)3)4)5), 9–1)2)3)4). • Exercices du chapitre 1 « Rappels et compléments calculatoires » à chercher pour jeudi : 3, 4, 6, 8, 9–8). 31 Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI 135 MARDI 2 SEPTEMBRE • Distribution du cours du chapitre 1 « Rappels et compléments calculatoires » et de la feuille d’exercices associée, et du cours du chapitre 2 « Sommes, produits, coefficients binomiaux ». • Cours du chapitre 1 « Rappels et compléments calculatoires » : En entier. • Exercices du chapitre 1 « Rappels et compléments calculatoires » à chercher pour mercredi : 1, 2, 7–1)2)3), 9–1)2). 32
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