Méthode de Schaüder Soit Ω, un ouvert de RN . 1 Espace de Sobolev W −1,p (Ω) Soit 1 < p < +∞, et p′ , l’exposant conjugué de p défini par l’identité : 1 1 + ′ = 1. p p Définition. [Bre11, Paragraphe 1.1] Soit E, un espace vectoriel normé. L’espace dual E ∗ de E est l’ensemble des formes linéaires continues sur E. Il s’agit d’un espace de Banach pour la norme : { } ∀φ ∈ E ∗ , ∥φ∥E ∗ = sup |φ(x)|, x ∈ E t.q. ∥x∥E ≤ 1 . ′ Définition. L’espace de Sobolev W −1,p (Ω) est l’espace dual de l’espace W01,p (Ω). Il s’agit d’un espace de Banach pour la norme : { } ′ ∀φ ∈ W −1,p (Ω), ∥φ∥W −1,p (Ω) = sup |φ(f )|, f ∈ W01,p (Ω) t.q. ∥f ∥W 1,p′ (Ω) ≤ 1 . Théorème. [Bre11, Proposition 9.20, Paragraphe 9.4] Soit φ ∈ W −1,p (Ω). Il existe des fonctions (φj )0≤j≤N de Lp (Ω) telles que : ∀f ∈ ′ W01,p (Ω), ∫ φ(f ) = φ0 f + Ω N ∫ ∑ j=1 φj ∂j f, Ω et, de plus, ∥φ∥W −1,p (Ω) = max ∥φj ∥Lp (Ω) . 0≤j≤N La preuve repose sur les résultats suivants : Théorème (Théorème de Hahn-Banach). [Bre11, Corollaire 1.2, Paragraphe 1.1] Soit E, un espace vectoriel normé, et F , un sous-espace de E. Si ϕ est une forme linéaire continue sur F , alors, il existe une forme linéaire Φ définie et continue sur E telle que : ∀x ∈ F, Φ(x) = ϕ(x), et, de plus, ∥Φ∥E ∗ ≤ ∥ϕ∥F ∗ . Théorème (Théorème de représentation de Riesz). [Bre11, Théorème 4.11, Paragraphe ′ 4.3] L’espace dual de Lp (Ω) est isomorphe à l’espace Lp (Ω), i.e., pour chaque forme ′ linéaire φ ∈ Lp (Ω)∗ , il existe une unique fonction f ∈ Lp (Ω) telle que : ∫ p ∀g ∈ L (Ω), φ(g) = f g, Ω et, de plus, ∥φ∥Lp (Ω)∗ = ∥f ∥Lp′ (Ω) . 1 2 Méthode de Schaüder On suppose que l’ouvert Ω est borné et de classe C 2 , et l’on se donne un opérateur diﬀérentiel du second ordre L de la forme : L(u) = − N ∑ N ∑ ) ( ∂j ai,j ∂i u , i=1 j=1 où les fonctions ai,j appartiennent à l’espace L∞ (Ω). Définition. L’opérateur diﬀérentiel du second ordre L est (uniformément) elliptique si et seulement s’il existe un nombre strictement positif A tel que : ∀ξ ∈ R , N ∀x ∈ Ω, N ∑ N ∑ ai,j (x) ξi ξj ≥ A|ξ|2RN . i=1 j=1 Théorème. [Bét13, Théorème IV.1, Paragraphe B.IV] Soit 1 < p < N et 1 < q ≤ p∗ , où p∗ désigne le nombre défini par l’identité : 1 1 1 = − . ∗ p p N Il existe un nombre strictement positif ε tel que, si les fonctions ai,j satisfont l’hypothèse : ∀1 ≤ i, j ≤ N, ∥ai,j − δi,j ∥L∞ (Ω) ≤ ε, alors, pour toute fonction f ∈ Lp (Ω), il existe une unique solution faible u ∈ W01,q (Ω) de l’équation : { L(u) = f dans Ω, u = 0 sur ∂Ω. De plus, il existe un nombre positif C, qui ne dépend que p, q et Ω, tel que : ∥u∥W 1,q (Ω) ≤ C∥f ∥Lp (Ω) . La preuve repose sur les résultats suivants : Théorème. [GT01, Théorème 9.15 et Lemme 9.17, Paragraphe 9.6] Soit 1 < p < +∞. L’opérateur −∆ est un isomorphisme de l’espace W 2,p (Ω)∩W01,p (Ω) sur l’espace Lp (Ω). En particulier, il existe un nombre positif C tel que, pour toute fonction f ∈ Lp (Ω), l’unique solution u ∈ W 2,p (Ω) ∩ W01,p (Ω) de l’équation : { −∆u = f p.p. dans Ω, u = 0 p.p. sur ∂Ω, satisfait l’inégalité : ∥u∥W 2,p (Ω) ≤ C∥f ∥Lp (Ω) . 2 Corollaire. [Bét13, Théorème III.1, Paragraphe B.III] Soit 1 < p < +∞. L’opérateur −∆ est un isomorphisme de l’espace W01,p (Ω) sur l’espace W −1,p (Ω). En particulier, il existe un nombre positif C tel que, pour toute fonction f ∈ W −1,p (Ω), l’unique solution u ∈ W01,p (Ω) de l’équation : { −∆u = f p.p. dans Ω, u = 0 p.p. sur ∂Ω, satisfait l’inégalité : ∥u∥W 1,p (Ω) ≤ C∥f ∥W −1,p (Ω) . Théorème. [Eva10, Théorème 3, Paragraphe 5.6.1] Soit 1 < p < N et 1 < q ≤ p∗ , où p∗ désigne le nombre défini par l’identité : 1 1 1 = − . p∗ p N Il existe une constante positive C telle que : ∀f ∈ W01,p (Ω), ∥f ∥Lq (Ω) ≤ C∥f ∥W 1,p (Ω) . Lemme. [Bét13, Lemme IV.1, Paragraphe B.IV] Soit E, un espace de Banach. Si une application linéaire continue T de E dans E satisfait la condition : { } ∥T ∥ := sup ∥T (x)∥E , x ∈ E t.q. ∥x∥E ≤ 1 < 1, alors, l’opérateur IE − T est un isomorphisme continu de E dans E d’inverse donné par la formule : +∞ ( )−1 ∑ IE − T = T n. n=0 Références [Bét13] F. Béthuel. Équations elliptiques. Laboratoire Jacques-Louis Lions. Université Pierre et Marie Curie, Paris, 2013. Cours du Master 2 "Analyse numérique et équations aux dérivées partielles". [Bre11] H. Brezis. Functional analysis, Sobolev spaces and partial diﬀerential equations. Universitext. Springer, New York, 2011. [Eva10] L.C. Evans. Partial diﬀerential equations, volume 19 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, Second edition, 2010. [GT01] D. Gilbarg and N.S. Trudinger. Elliptic partial diﬀerential of second order. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2001. 3