Ubungsaufgaben mit L ¨osung

Dr. O. Wittich
S. Bleß, M.Sc.
Aachen, 05. September 2016
Aufgabe 2
Bestimmen Sie jeweils den größten gemeinsamen Teiler der gegebenen Zahlen.
a) 12, 16,
e) 84, 110,
Grundlagen der Mathematik
Übungsaufgaben mit Lösung
c) 33, 99,
g) 110, 135,
d) 91, 192,
h) 84, 110, 135.
im Vorkurs Mathematik 2016, RWTH Aachen University
Lösung:
a) Es gilt 12 = 22 · 3 und 16 = 24 , also erhält man durch Vergleich der Exponenten, dass der
größte gemeinsame Teiler gleich 22 = 4 ist.
— Teilbarkeit —
b) Da 17 eine Primzahl und 72 kein Vielfaches von 17 ist, muss der größte gemeinsame Teiler
gleich 1 sein.
c) Da 99 ein Vielfaches von 33 ist, ist 33 auch der größte gemeinsame Teiler.
Aufgabe 1
Untersuchen Sie die folgenden Zahlen darauf, ob sie Primzahlen sind. Bestimmen Sie anderenfalls deren Primfaktorzerlegung.
a) 15,
b) 17, 72,
f) 84, 135,
b) 37,
c) 61,
d) 91,
e) 192,
f) 269,
g) 445,
h) 1001.
Lösung:
a) 15 ist keine Primzahl, es gilt 15 = 3 · 5.
d) Wie in der letzten Aufgabe gesehen gilt 91 = 7 · 13 und 192 = 26 · 3. Damit gibt es außer 1
keinen gemeinsamen Teiler, so dass 1 auch der größte gemeinsame Teiler ist.
e) Es gilt 84 = 22 · 3 · 7 und 110 = 2 · 5 · 11, also ist (gemäß Exponentenvergleich) der größte
gemeinsame Teiler gleich 2.
f) Es gilt 84 = 22 · 3 · 7 und 135 = 33 · 5, also ist (gemäß Exponentenvergleich) der größte
gemeinsame Teiler gleich 3.
b) 37 ist eine Primzahl (wegen 72 = 49 > 37 genügt es, Teilbarkeit durch Primzahlen kleiner 7
(also 2, 3 und 5) zu untersuchen; wie man mit den Teilbarkeitsregeln sieht, ist keine dieser
Teilbarkeiten gegeben).
c) 61 ist eine Primzahl (wegen 82 = 64 > 61 genügt es, Teilbarkeit durch Primzahlen kleiner 8
(also 2, 3, 5 und 7) zu untersuchen; wie man mit den Teilbarkeitsregeln und einer Probedivision
durch 7 sieht, ist keine dieser Teilbarkeiten gegeben).
g) Es gilt 110 = 2 · 5 · 11 und 135 = 33 · 5, also ist (gemäß Exponentenvergleich) der größte
gemeinsame Teiler gleich 5.
h) Aus den nun bekannten Primfaktorzerlegungen (84 = 22 · 3 · 7 und 110 = 2 · 5 · 11 sowie
135 = 33 · 5) liest man durch Exponentenvergleich ab, dass der größte gemeinsame Teiler
gleich 1 sein muss.
d) 91 ist keine Primzahl, es gilt 91 = 7 · 13 (zunächst Teilbarkeitsregeln für 2, 3 und 5 anwenden,
dann (erfolgreiche) Probedivision durch 7, der sich ergebende Quotient 13 ist eine Primzahl).
e) 192 ist keine Primzahl, es gilt 192 = 26 · 3 (da Teilbarkeit durch 2 festgestellt werden kann,
zunächst Division durch 2 und dann analog weiter mit den Quotienten 96, 48, 24, 12 und 6,
zum Schluss Zusammensammeln der Faktoren).
f) 269 ist eine Primzahl (wegen 172 = 289 > 269 genügt es, Teilbarkeit durch Primzahlen
kleiner 17 (also 2, 3, 5, 7, 11 und 13) zu untersuchen; wie man mit den Teilbarkeitsregeln und
Probedivisionen durch 7 und 13 sieht, ist keine dieser Teilbarkeiten gegeben).
g) 445 ist keine Primzahl, es gilt 445 = 5 · 89 (da Teilbarkeit durch 5 festgestellt werden kann,
zunächst Division durch 5, der Quotient 89 ist eine Primzahl).
h) 1001 ist keine Primzahl, es gilt 1001 = 7 · 11 · 13 (da Teilbarkeit durch 11 festgestellt werden kann, Division durch 11, der Quotient 91 hat wie schon gesehen als 91 = 7 · 13 als
Primfaktorzerlegung).
1
— Bruchrechnung —
Aufgabe 3
Geben Sie für die folgenden Brüche jeweils die vollständig gekürzte Darstellung an.
a)
6
21
b)
60
,
12
c)
28
,
49
d)
25
,
21
e)
105
,
60
f)
17
,
34
g)
34
,
153
h)
200
,
3200
j)
315
,
255
k)
210
,
315
l)
i)
228
,
209
2
840
.
1050
Aufgabe 6
Lösung:
a)
e)
i)
2
7
b) 5,
7
,
4
f)
12
,
11
j)
c)
1
,
2
g)
21
,
17
k)
4
,
7
2
,
9
l)
7
a)
1
,
16
h)
2
,
3
Schreiben Sie die folgenden Doppelbrüche als vollständig gekürzten Bruch ganzer Zahlen:
25
,
21
d)
e)
4
.
5
,
b)
13
,
5
f)
5
6
,
c)
72
17
12
17
,
d)
13
5
15
7
,
g)
21
5
10
3
,
h)
5
21
3
10
d)
91
75 ,
h)
50
63 .
13
7
26
14
13
5
15
7
15
7
.
Lösung:
Aufgabe 4
Vergleichen Sie jeweils die beiden gegebenen Brüche, indem Sie sie auf ihren Hauptnenner
bringen. Schreiben Sie das richtige Relationszeichen (<, = oder >) zwischen die Brüche.
a)
5
14
e)
5
4
6
,
21
4
,
5
b)
27
5
f)
7
3
23
,
3
6
,
4
c)
3
13
21
,
91
g)
5
8
95
,
152
d)
1
3
h) −
a)
42
5,
b) 1,
c) 6,
e)
39
7,
f) 273,
g)
63
50 ,
c)
18 13
− ,
25 25
1
,
2
7
4
8
− .
3
Aufgabe 7
Berechnen Sie (ohne Taschenrechner!):
Lösung:
5
6
a)
> ,
14
21
e)
27
23
b)
< ,
5
3
5
4
> ,
4
5
f)
3
21
c)
= ,
13
91
7
6
> ,
3
4
g)
1
1
d) < ,
3
2
5
95
=
,
8
152
h) −
7
8
>− .
4
3
Aufgabe 5
Schreiben Sie als vollständig gekürzten Bruch ganzer Zahlen:
a)
0,3
,
0,4
b)
0,5
,
1,5
c)
0,008
,
0,02
d)
0,1
,
0,004
e)
10,5
,
6
f)
1,23
.
3,6
a)
17
5
+ ,
33 33
b)
1
1
+ ,
10 15
e)
13
2
− ,
21 14
f)
2 3
· ,
5 7
a)
0,3
3
= ,
0,4
4
e)
105
7
10,5
=
= ,
6
60
4
b)
0,5
5
1
=
= ,
1,5
15
3
f)
c)
0,008
8
2
=
= ,
0,02
20
5
1,23
123
41
=
=
.
3,6
360
120
d)
0,1
100
=
= 25,
0,004
4
12 15
14 21
· ,
h)
: ,
25 8
17 17
2
1
2
1
k)
−
: , l) 1 1 1 ,
9 10
45
2 + 3 + 4
2
17 2
3
1
15
n) :
− ·
+
+ .
9
18 9
7 14
2
16 20
3
1
: ,
j) 6 ·
+ ,
21 9
10 5
4 5
6
2
5
m)
+
·
−
· ,
3 2
5
5
2
Lösung:
2
,
3
5
6
e) − ,
i)
12
,
35
m)
3
13
2
− ,
14 21
g)
i)
a)
Lösung:
d)
21
,
2
b)
1
,
6
c)
1
,
5
d)
5
,
6
f)
6
,
35
g)
9
,
10
h)
2
,
3
k)
11
,
4
l)
12
,
13
j) 2,
n)
233
.
30
4
Aufgabe 8
a) Geben Sie Dezimaldarstellungen der folgenden Brüche an:
Hinweis: Schriftliche Division
7 3 1 5 3 2
10 , 16 , 3 , 6 , 7 , 11
und
Lösung:
a) 8 %,
123
990 .
b) Schreiben Sie die folgenden Dezimaldarstellungen als (vollständig gekürzte) Brüche: 0,1; 0,2;
0,375; 0,16; 0,2; 0,416; 0,14; 0,14 und 0,118.
Lösung:
7
a) 10
= 0,7;
b)
3
16
= 0,1875;
1
0,1 = 10
; 0,2
13
0,118 = 110
.
=
1
5;
1
3
= 0,3;
0,375 =
3
8;
5
6
3
7
= 0,83;
0,16 =
1
6;
= 0,428571;
0,2 =
2
9;
2
11
= 0,18;
0,416 =
5
12 ;
123
990
0,14 =
0,14 =
14
99 ;
Aufgabe 9 (∗)
c) 171,25 %,
d) 1,75 % (gerundet).
Aufgabe 12
Berechnen Sie jeweils den Grundwert.
a) 10 % sind 73,
= 0,124.
13
90 ;
b) 16,31 % (gerundet),
Lösung:
a) 730,
b) 7 % sind 12,
b) 171,43 (gerundet),
c) 32 % sind 5,4,
c) 16,875,
d) 5,4 % sind 2,8.
d) 51,85 (gerundet).
Aufgabe 13
Warum ist es nicht sinnvoll, eine Addition von Brüchen durch folgende Vorschrift zu definieren:
Der Zähler des Ergebnisses ist die Summe der Zähler der Summanden, und der Nenner des
Ergebnisses ist die Summe der Nenner der Summanden?
Lösung:
Der gleiche Bruchwert lässt sich auf verschiedene Weisen darstellen; so bezeichnen etwa 12 und
2
4 dieselbe Zahl. Eine Rechnenoperation ist nur dann vernünftig definiert (wohldefiniert), wenn
der Wert des Ergebnisses nicht von der konkreten Darstellung des Bruchwertes abhängig ist.
Bei den üblichen Rechenoperationen auf Brüchen ist dies der Fall; die in der Aufgabenstellung
vorschlagene Addition erfüllt diese Bedingung jedoch nicht: Obwohl 12 und 24 denselben Wert
bezeichnen, erhielte man einerseits als Summe von 12 und 13 den Wert 25 , andererseits als Summe
von 42 und 13 den Wert 37 , welcher von 25 verschieden ist.
Bei einer Vorstandswahl in einem Verein stimmten im letzten Jahr 417 von 532 Mitgliedern für
einen Kandidaten. In diesem Jahr erhielt derselbe Kandidat 486 von 599 Stimmen.
a) Berechnen Sie für beide Jahre die Zustimmungsquote für den Kandidaten in Prozent.
b) Um wieviele Prozentpunkte stieg die Zustimmungsquote zwischen diesen beiden Wahlen?
c) Um wie viel Prozent stieg die Zustimmungsquote zwischen diesen beiden Wahlen?
Lösung:
a) letztes Jahr: 417
532 ≈ 0,7838, also Zustimmungsquote gerundet 78,38 %; dieses Jahr:
0,8114, also Zustimmungsquote gerundet 81,14 %.
486
599
≈
b) 81,14 − 78,38 = 2,76, die Zustimmungsquote stieg um 2,75 Prozentpunkte (bei Rechnung mit
den gerundeten Werten aus Teil (a)).
c) 81,14 : 78,38 ≈ 1,0352, also stieg die Zustimmungsquote (gerundet) um 3,5 %.
— Prozentrechnung —
Aufgabe 14
Aufgabe 10
Rechnen Sie mit dem aktuellen Umsatzsteuersatz von 19 %.
Berechnen Sie jeweils den Prozentwert.
a) Ein Produkt kostet ohne Umsatzsteuer 120 C. Berechnen Sie den Bruttopreis (Preis mit
Einbezug der Umsatzsteuer) des Produktes.
a) 10 % von 130,
Lösung:
a) 13,
b) 4,5,
b) 6 % von 75,
c) 21,141,
c) 8,7 % von 243,
d) 153 % von 13,7.
d) 20,961.
Lösung:
a) 120 C · 1,19 = 142,80 C.
Aufgabe 11
1
b) 148,15 C · 1,19
≈ 124,50 C (nicht etwa 148,15 C · 0,81 ≈ 120,00 C, was auch im Widerspruch
zu Teil (a) stünde).
Berechnen Sie jeweils den Prozentsatz.
a) 6 von 75,
b) 23 von 141,
b) Ein Produkt kostet einschließlich Umsatzsteuer 148,15 C. Berechnen Sie den Nettopreis
(Preis ohne Einbezug der Umsatzsteuer) des Produktes.
c) 13,7 von 8,
5
d) 66,42 von 3801,2.
6
Aufgabe 15
Aufgabe 18
Ein Computer kostete ursprünglich 1795 C. Sein Preis wurde um 15 % gesenkt. Als ein neues
Modell herauskam, wurde er noch einmal um 20 % billiger.
a) Man vergleiche die Kosten für einen Kredit über 15 000 C für ein Jahr:
a) Wie viel Euro kostete der Computer zuletzt?
(2) 8,25 % Zinsen, keine Bearbeitungsgebühr,
b) Um wie viel Prozent wurde der Preis insgesamt gesenkt?
Lösung:
a) 1220,60 C,
(1) 6,5 % Zinsen, 300 C Bearbeitungsgebühr,
(3) 7 % Zinsen, 100 C Bearbeitungsgebühr,
b) 15 000 C werden jährlich mit 6 % verzinst. Man berechne das Endkapital mit Zinsen und
Zineszinsen nach fünf Jahren.
b) 32 %.
Lösung:
a) (1) 1275 C,
Aufgabe 16
(2) 1237,50 C,
(3) 1150 C,
b) 20 073,38 C.
Familie Burgner braucht einen neuen Kühlschrank.
a) Im Katalog des Großhandels Quecks ist der Preis ohne Umsatzsteuer mit 739 C angegeben.
Auf diesen Preis gibt es 30 % Rabatt, es kommen dann aber noch 19 % Umsatzsteuer hinzu.
Wie viel Euro kostet der Kühlschrank bei Quecks?
b) Frau Burgner erkundigt sich im Fachgeschäft Elektro-Jürgens. Dort soll der gleiche Kühlschrank
598 C (inklusive Umsatzsteuer) kosten. Bei Barzahlung gibt es 2 % Skonto. Wie viel Euro
kostet der Kühlschrank dort bei Barzahlung?
c) Schließlich entscheiden sie sich für einen Kühlschrank, auf den 20 % Rabatt gewährt wurden.
Da sie bar bezahlen, erhalten sie noch zusätzlich 3 % Skonto auf den ermäßigten Preis und
bezahlen am Ende 582 C.
(i) Wie viel betrug der Preis vor Abzug von Rabatt und Skonto?
(ii) Wie viel Prozent hat Familie Burgner jetzt insgesamt gespart?
Lösung:
a) 615,59 C,
b) 586,04 C,
c) (i) 750 C,
(ii) 22,4 %.
Messing ist eine Legierung (Mischung) aus Kupfer und Zink.
a) Bei der Herstellung werden 90 kg Kupfer und 60 kg Zink zusammengeschmolzen. Wie viel
Prozent Kupfer und wie viel Prozent Zink enthält die Legierung?
b) Eine andere Sorte Messing soll 65 % Kupfer enthalten. für die Legierung sollen 300 kg Kupfer
verwendet werden. Wieviele Kilogramm Zink werden benötigt?
c) Es werden 20 kg Messing mit einem Kupferanteil von 55 % mit 40 kg Messing mit einem
Kupferanteil von 70 % zusammengeschmolzen. Wie viel Kilogramm Kupfer enthält die neue
Legierung? Wie hoch ist der Anteil des Kupfers am Gesamtgewicht in Prozent?
Lösung:
a) 60 % Kupfer, 40 % Zink,
b) 161,538 kg Zink (gerundet),
c) 39 kg Kupfer,
65 %.
Aufgabe 20
Ein Rezept für 0,4 l Cocktail verlangt 0,08 l Rum mit einem Alkoholgehalt von 37,5 % (bezogen
auf das Volumen) und hat ansonsten nur nichtalkoholische Zutaten.
Aufgabe 17
Meerwasser hat einen Salzgehalt von 3,5 % (alle Prozentangaben in dieser Aufgabe beziehen
sich auf das Gewicht).
a) Der menschliche Geschmackssinn ist so empfindlich, dass Wasser mit 0,25 % Salzgehalt
gerade noch als salzig wahrgenommen wird. Wie viel reines Wasser muss man zu 1 kg
Meerwasser hinzufügen, um den Salzgehalt auf 0,25 % zu erniedrigen?
b) In Frankreich wird an manchen Orten aus Meerwasser durch Verdunsten Salz gewonnen.
Aus wie vielen Kilogramm Meerwasser erhält man 1 kg Salz?
Lösung:
a) 13 kg,
Aufgabe 19
a) Welche Menge Alkohol enthält der Cocktail?
b) Welche Menge Bier mit einem Alkoholgehalt von 4,9 % enthält die gleiche Menge Alkohol wie
der Cocktail?
Lösung:
a) 0,03 l,
b) 0,61 l (gerundet).
b) 28,571 kg (gerundet).
7
8
— Dreisatz —
b)
40
3
kg (≈ 13,3 kg),
c) Die Wandfläche beträgt 2 · (4 m · 3 m) + 2 · (5 m · 3 m) = 54 m2 . Zum Streichen dieser Wand
benötigt man 10,8 kg Farbe und 1620 cm3 Wasser.
Aufgabe 21
Eine Wasserpumpe fürdert 10 l Wasser in 50 s.
a) In wievielen Sekunden ist ein Behälter gefüllt, der 15 l Wasser fasst?
Aufgabe 24
b) Wie viel Wasser wird in 2 h gefürdert?
Eine Radtour dauert sechs Tage, wenn täglich 56 km zurückgelegt werden.
Lösung:
a) Der 15-Liter-Behälter ist in 75 s gefüllt.
a) Wie viele Tage benötigt man bei einer täglichen Fahrstrecke von 84 km?
b) In zwei Stunden fürdert die Pumpe 1440 l Wasser.
b) Wie viele Kilometer müssen am Tag gefahren werden, wenn jede Etappe gleich lang sein soll
und für die Radtour sieben Tage zur Verfügung stehen?
Lösung:
a) 4 Tage,
Aufgabe 22
b) 48 km.
Ein Tintenstrahldrucker hat eine qualitätsabhängige Druckleistung von 5–8 Seite pro Minute,
wenn ein Dokument nur schwarz-weiß gedruckt wird, bei Farbausdrucken beträgt seine Leistung
je nach Qualität 3–4 Seiten pro Minute.
Aufgabe 25
a) Wie viel Zeit muss man mindestens einplanen, um 20 Seiten zu drucken?
a) Wie lange brauchen fünf Mähdrescher für die gleiche Ernte?
b) Wie lange dauert es höchstens, bis ein Dokument, das aus 60 Seiten besteht, ausgedruckt
ist?
b) In wie vielen Stunden ist die Ernte von fünf Feldern eingefahren, wenn drei Mähdrescher zur
Verfügung stehen?
c) Wie viele Seiten werden in einer Stunde höchstens gedruckt?
c) Wie viele Felder können abgeerntet werden, wenn vier Mähdrescher jeweils 8 h im Einsatz
sind?
Lösung:
a) schnellste Druckvariante: S-W-Druck mit 8 Seiten pro Minute. Um 20 Seiten zu drucken, muss
man also mindestens zweieinhalb Minuten einplanen.
b) langsamste Druckerstufe: Farbdruck in bester Qualität, also mit 3 Seiten pro Minute. für ein
60-seitiges Dokument benötigt man höchstens 20 Minuten.
c) schnellste Druckvariante: S-W-Druck mit 8 Seiten pro Minute. Damit schafft der Drucker in
einer Stunde maximal 480 Seiten.
Aufgabe 23
Zum Streichen einer 3 m × 4 m großen Wand werden 2,4 kg Farbe benötigt. Dabei sind 5 kg
Wandfarbe mit 750 cm3 Wasser zu verdünnen.
a) Wie viel Wasser benötigt man, um die für die Wand benötigte Farbmenge zu verdünnen?
Zwei Mähdrescher bringen die Ernte eines Feldes in 12 h ein.
Lösung:
a) 4,8 h,
b) 40 h,
c)
4
3
Felder.
Aufgabe 26
Joghurt wird in 20 Becher zu je 150 g abgefüllt. Jeder Becher Joghurt kostet 0,29 C.
a) Wie viele 250-Gramm-Becher kann man mit der gleichen Menge Joghurt füllen?
b) Ein 250-Gramm-Becher kostet 0,47 C. Ist es günstiger, drei große oder fünf kleine Becher
Joghurt zu kaufen?
Lösung:
a) Mit den vorhandenen 3 kg Joghurt können 12 Becher à 250 g gefüllt werden.
b) Wie viel Farbe kann man mit 2 l Wasser höchstens verarbeiten?
b) Es ist günstiger, drei große Becher zu kaufen; diese kosten zusammen 1,41 C, während fünf
kleine Becher zusammen 1,45 C kosten.
c) Wie viel Farbe und wie viel Wasser benötigt man, um die Wände eines 3 m hohen Raumes zu
streichen, dessen Grundfläche 4 m × 5 m ist?
Aufgabe 27
Lösung:
a) 360 cm3 ,
9
In 8 h erzeugen vier Werkzeugmaschinen 960 Formteile. Wie viele Teile erzeugen drei dieser
Maschinen in 5 h?
10
Lösung:
450 Formteile
a) 6,7 · 102 ,
Lösung:
a) 670,
b) 1,54 · 10−1 ,
b) 0,154,
c) 2,3 · 106 ,
c) 2 300 000,
d) 8,11 · 10−3 ,
d) 0,00811,
e) 3,3 · 100 .
e) 3,3.
Aufgabe 28
Der Lebensmittelvorrat eines Kreuzfahrtschiffes reicht für 120 Personen für genau 18 Tage.
Nach 6 Tagen werden 24 Personen zusätzlich an Bord genommen. Wie lange reicht der Vorrat
insgesamt?
Lösung:
Nach 6 Tagen würde der Vorrat für 120 Personen noch 12 Tage reichen, für 144 Personen also
noch 10 Tage. Insgesamt reichen die Vorräte also 16 Tage.
Aufgabe 32
Berechnen Sie:
a) 33 ,
h) 4−2 ,
a) Wieviele Liter Benzin verbrauchen unter gleichen Bedingungen acht dieser PKWs auf einer
Strecke von 350 km?
b) Bei einer Testfahrt unter denselben Bedingungen verbrauchen 7 PKWs einer anderen Automarke auf einer 210 km langen Teststrecke zusammen 107,31 l Benzin. Welcher Autotyp hat
den geringeren Durchschnittsverbrauch?
Lösung:
a) 226,8 l Benzin
b) Der zweite Autotyp hat mit 7,3 l pro 100 km einen geringeren Durchschnittsverbrauch als der
erste Autotyp mit 8,1 l auf 100 km.
a) 27,
1
h) 16
,
e) 70 ,
l) (−5)−2 ,
f) 03 ,
m) (−4)3 ,
g) 00 ,
n) (−6)1 .
b) 25,
i) 13 ,
c) 512,
j) 16,
d) 1,
k) −1,
e) 1,
1
l) 25
,
f) 0,
m) −64,
g) 1,
n) −6.
Aufgabe 33
a) 49,
b) 81,
c)
Lösung:
a) 72 ,
b) 92 = 34 ,
c) 2−7 ,
1
128 ,
d) 125,
d) 53 ,
e)
1
36 ,
e) 6−2 ,
f) 1024,
g) 64 .
35
,
33 7
3
k) 4 ,
104
,
54
3
l) 3 · 33 .
e) 32 ,
k) 421 ,
f) 24 ,
k) 36 .
Aufgabe 34
Schreiben Sie als eine Potenz:
a) 34 · 32 ,
g) (77 )2 ,
a) 36 ,
g) 714 ,
a · 10z
Schreiben Sie die folgenden Zahlen in der Form
für eine ganze Zahl z und eine reelle Zahl
a, bei der genau eine Ziffer vor dem Komma steht und diese von 0 verschieden ist.
b) 0,062,
b) 6,2 · 10−2 ,
c) 100,
d) 0, 000293,
c) 1 · 102 ,
d) 2,93 · 10−4 ,
e) 14 · 106 ,
e) 1,4 · 107 ,
f) 1,8.
b) 73 · 23 ,
2
h) 77 ,
c) 24 · 43 ,
d) 64 · 2−4 ,
i) 56 · 57 ,
e)
j) 3−4 · 94 ,
b) 143 ,
h) 749 ,
c) 210 = 45 ,
i) 513 ,
d) 34 ,
j) 34 ,
f)
Aufgabe 35
Berechnen Sie:
f) 1,8 · 100 .
Aufgabe 31
Wandeln Sie die folgenden Zehnerpotenz-Darstellungen in Dezimaldarstellungen um.
11
g) 1296.
f) 210 = 45 ,
Lösung:
Aufgabe 30
Lösung:
a) 2,34 · 101 ,
d) 18 ,
k) (−1)77 ,
Schreiben Sie als eine Potenz mit einer ganzzahligen Basis zwischen 1 und 9 und ganzzahligem
Exponenten:
— Potenzrechnung —
a) 23,4,
c) 29 ,
j) (−4)2 ,
Lösung:
Aufgabe 29
Auf einer Teststrecke verbrauchen fünf P K Ws desselben Typs auf einer Strecke von 280 km bei
einer Testfahrt insgesamt 113,4 l Benzin.
b) 52 ,
i) 3−1 ,
2
1
b) 27 3 ,
a) 4 2 ,
f)
8
27
− 2
3
,
g)
−0.5
1
,
4
c) 320,2 ,
h)
√
2·
√
4
12
d)
4,
i)
√
4
√
5
256,
4·
√
5
8,
r
9
,
16
√
√
3
3
j) 9 · 3.
e)
Lösung:
Lösung:
a) 2,
b) 9,
c) 2,
d) 4,
9
,
4
g) 2,
h) 2,
i) 2,
f)
3
e) ,
4
j) 3.
a) 2x + 6,
e) 9a2 − 6ab + b2 ,
i) a3 + 3a2 + 3a + 1,
l) a3 − a2 b − ab2 + b3 .
Aufgabe 36
3
4
a) 4 ,
Lösung:
√
5
a) 4,
c) 30,3 ,
b) 2 ,
b)
√
4
8,
c)
√
10
d) 4
27,
d)
− 27
r
7
Fassen Sie zu einem Produkt zusammen:
√
2
e)
,
2
,
1
,
16
e)
r
f) √
1
,
2
f)
5
5·
√
6
2
5
g) 4 · 2
√
,
3
5
5,
g)
√
10
− 12
.
8.
a) 3a − 3b,
d) 4x2 + 12xy + 9y2 ,
b) ac + 2c − ad − 2d,
e) ab − 3a + 7b − 21,
Berechnen Sie geschickt:
√
√
5 · 53 ,
a) 3( a − b),
d) (2x + 3y)2 ,
b) ( a + 2)(c − d),
e) ( a + 7)(b − 3),
2
b) (27 8) 3 ,
2
3
2
3
√
c)
2
3
b) (27 8) = 27 ( 8) = (27
r
p
(−4)6 · 9
,
24 · 42
d)
√
3
12 ·
√
6
92 · 4,
e)
√ √ √ √
5 2 20 18.
√
1
3
)2
q
(8
1
3
)2
=
32
Vereinfachen Sie unter geeigneten Einschränkungen an die Variablen:
a) 1 −
1
3
— Termumformungen —
b) (y − 3)(y + 6),
f) (7x + yz)(yz − 7x ),
j) ( a − b)3 ,
c) ( a + 2)2 ,
g) ( a − b)( a2 + ab + b2 ),
k) ( a + 1)(b + 2)(c + 3),
13
d) (2x − 3)(4a − 2b),
h) (−4x + 2y)2 ,
l) ( a − b)2 · ( a + b).
z
x
,
z
y
e)
x−2 x−1
−
,
x−3 x−2
g)
2
x
2
x
+ 2x
,
− 2x
1
+ x+1 1
h) 1−1 x
,
1
x −1 +
n − ( n − 1)
1
= .
n
n
1
a+b
1
b) · · · =
= 2 2.
a + b a2 b2
a b
d) · · · =
e) · · · =
4z + 3x xz − y + y
4z + 3x xz
4z + 3x
·
=
·
=
.
xyz
y
xyz
y
y2
=
1
2+
x +1
a) · · · =
x2 −zy
xy
2y−zx
xy
4
3
xz − y
+
+1 ,
xy yz
y
2
2
x
y
2 2
f)
−
:
−
,
2y 2x
x y
c)
i)
Lösung:
Aufgabe 38
a) 2 · ( x + 3),
e) (3a − b)2 ,
i) ( a + 1)3 ,
1
a+b
−
c) · · · =
Multiplizieren Sie aus:
1
1
+
,
ab2 a2 b
b)
x
y
2
x
−
n−1
,
n
d)
· 8 = 9 · 2 = 18.
(−4)6 · 9
(−4)6 · 9
43 · 3
43 · 3
√
= √
= 2 = 4 · 3 = 12.
= 2
4
2
4
2
2 ·4
4
2 ·4
2 · 4
√
√
√
√
√
p
√
6
6
6 2
6 2
6
3
2
2
d) √12 · 9 · 4 = 12 · 9 · 4 = 12 · 92 · 4 = 6 (3 · 22 )2 · 34 · 22 = 32 · 24 · 34 · 22 =
6 6
6
3 · 2 = 3 · 2 = 6.
√
√
√ √ √ √
√
√
e) 5 2 20 18 = 5 · 20 · 2 · 18 = 100 · 36 = 10 · 6 = 60.
c)
c) (4x + 2y)(3a + 5b),
f) 2a(2x + 7x2 + 25ab).
Aufgabe 40
r
Lösung:
√
√
1
1
a) 5 · 53 = 54 = (54 ) 2 = 54· 2 = 52 = 25.
√
c) 12ax + 6ay + 20bx + 10by,
f) 4ax + 14ax2 + 50a2 b.
Lösung:
Aufgabe 37
a)
c) a2 + 4a + 4,
d) 8ax − 12a − 4bx + 6b,
g) a3 − b3 ,
h) 16x2 − 16xy + 4y2 ,
k) abc + 3ab + 2ac + bc + 6a + 3b + 2c + 6,
Aufgabe 39
Schreiben Sie als Wurzel einer Zahl:
1
5
b) y2 + 3y − 18,
f) y2 z2 − 49x2 ,
j) a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 ,
x2 − zy
.
2y − zx
( x − 2)2 − ( x − 1)( x − 3)
1
=
.
( x − 3)( x − 2)
( x − 3)( x − 2)
14
1
2x +
.
1
2x2
x3 − y3 2y − 2x
( x3 − y3 ) xy
x 3 − y3
x 3 − y3
x2 + xy + y2
:
=
=
=
=
.
2xy
xy
2xy(2y − 2y)
4y − 4x
4( y − x )
−4
f) · · · =
4+ x 2
2x
4− x 2
2x
g) · · · =
=
4 + x2
2x
4 + x2
·
=
.
2
2x
4−x
4 − x2
x +1+1− x
2
2
h) · · · = x+11−+xx−1 =
·
1 − x2
2
x −1
1
i) · · · =
1
2+
=
4x3 +1
2x2
c)
2x2
4x3 +1
=
1
8x3 +2+2x2
4x3 +1
=
4x3 +1
.
8x3 +2x2 +2
Es seien y > 0 und w < 0. Weiter seien m, n ganze Zahlen. Vereinfachen Sie unter geeigneten
Einschränkungen an die restlichen Variablen:
√
d)
√
x2 ,
a·
b)
√
3
a2 ·
√
4
a3 ,
e)
(2r −6 s3 )−3
g)
,
(2r5 s−2 )4
p
y2 ,
c)
r z +1 − r 1− z
,
r −z − r z
f)
(−r )3m (−s5n )
h) −
,
(−s)2m (−r )4n+3
√
b) y,
r − s − s −r
1
− r s,
sr − r s
sr
1
2
3
23
s r r s (r − s − s −r ) − ( s r − r s )
= 0,
( sr − r s ) sr r s
h) (−1)m+1 r3m−4n−3 s5n−2m ,
b·
s3 − r 2 s
,
rs + s2
q
√
a+
√
b,
√
√
a ax − x ax
√
√
,
a− x
(r − s)2 + 4rs
d)
.
(r + s )2
b)
q
c)
s3 − r 2 s
s2 − r 2
(s − r )(s + r )
s ( s2 − r 2 )
=
=
= s − r.
=
2
s (r + s )
r+s
r+s
rs + s
d)
(r − s)2 + 4rs
r2 − 2rs + s2 + 4rs
r2 + 2rs + s2
(r + s )2
=
=
=
= 1.
2
2
2
(r + s )
(r + s )
(r + s )
(r + s )2
e) . . . =
g) . . . =
1
,
27 r 2 s
i) . . . =
√
a−
r (r z − r − z )
=
r −z − r z
2−3 r18 s−9
24 r20 s−8
√
Bringen Sie die folgenden Terme durch Erweitern auf eine Form, in der im Nenner keine Wurzeln
mehr stehen. Dabei seien a und b reelle Zahlen mit a, b > 0 und a 6= b.
a) √
=
r 6 r 5 s −9
r3
= .
6
2
−
8
s
r r s
1
a−
√ ,
b
b) √
1
a+
√ ,
b
c) √
3
Lösung:
1
Aufgabe 42
Es seien a, b, r, s, x reelle Zahlen mit a > b > 0 und x > 0 sowie a 6= x, s 6= 0 und r 6= −s.
Vereinfachen Sie mit Hilfe der binomischen Formeln:
15
a2
1
√
,
√
3
3
+ ab + b2
d) √
3
1
a−
√
.
3
b
√
√
√
√
a+ b
a+ b
√ = √
√ √
√ =
.
a−b
a− b
( a − b)( a + b)
√
√
√
√
1
a− b
a− b
√ = √
√ √
√ =
b) √
.
a−b
a+ b
( a + b)( a − b)
√
√
√
√
3
3
3
3
1
a− b
a− b
√
√
√
c) √
=
=
(etwa mit A 38(g)).
√
√
√
√
3 2
3
3
3
3
a−b
a + ab + b2
( a2 + 3 ab + b2 )( 3 a − 3 b)
√
√
√
√
√
√
3 2
3 2
3
3
3
3
1
a + ab + b2
a + ab + b2
√
√
√
d) √
=
=
.
√
√
√
3 2
3 2
3
3
3
3
3
a−b
a− b
( a − b)( a + ab + b )
a) √
−r ,
f) . . . =
√
a)
2
( r 3 )2 r 5 s −3
i) −1 −6 2 −2·4 .
(r ) r s
c) −w,
d) . . . = a 2 a 3 a 4 = a 12 ,
a−
Aufgabe 43
w2 ,
Lösung:
a) | x |,
√
q
q √
q √
√
√
√
√
√
√
√
b·
a + b = ( a − b ) · ( a + b ) = ( a )2 − ( b )2 = a − b.
√
√
√
√
√ √
√ √
√
√
a ax − x ax
( a − x ) ax
( a − x )( a + x ) ax
√
√
√ =
√
√
b)
= √
= a x + x a.
a− x
a− x
a− x
Aufgabe 41
a)
q
Lösung:
x2 − 1
1
=− .
2x
x
1
2+
a)
16
— Quadratische Gleichungen und Ungleichungen —
Aufgabe 47
Aufgabe 44
Bringen Sie die folgenden Terme durch quadratische Ergänzung auf die Scheitelpunktform
a( x − b)2 + c, und lesen Sie daran Art und Lage des lokalen Extremums sowie die Anzahl der
Nullstellen der Parabel ab.
a) x2 − 4x + 5,
b) 12 x2 + x − 29 ,
c) −3x2 + 12x − 11,
d) 2x2 − 4x + 2.
Lösung:
a) ( x − 2)2 + 1, lokales Minimum in (2, 1), keine Nullstellen
b)
1
2 (x
c) −3( x − 2)2 + 1, lokales Maximum in (2, 1), zwei Nullstellen
c)
x + 5a − b
x+a+b
+1 =
.
x
x+a−b
Bringen Sie die folgenden quadratischen Terme durch Raten der richtigen Koeffizienten auf
die Form ( x − a)( x − b), und lesen Sie daran die Nullstellen der Parabel ab. Hinweis: Ist
x2 + px + q = ( x − a)( x − b), so muss q = ab gelten; in dieser Aufgabe sind a und b stets
ganzzahlig.
c) x2 + 5x + 6,
d) x2 + 3x − 4.
x+4
2x
=
x+5
x−4
⇔
⇔
⇔
Aufgabe 46
Lösen Sie die folgenden Gleichungen (sofern möglich) mit der p-q-Formel, durch quadratische
Ergänzung oder wie in der letzten Aufgabe.
c) x2 − 4x + 5 = 3x2 + 7,
f) x2 = x + 1,
i) x4 − 2x2 − 8 = 0.
Lösung:
17
⇔
x2 − 4x − 12 = 0,
c) x = −1, √
f) x = 12 (1 ± 5),
i) x = 2 oder x = −2.
⇔
( x + 4)( x − 4) = 2x ( x + 5)
⇔
x2 + 10x + 16 = 0,
x + 5a − b
x+a+b
+1 =
x
x+a−b
d) ( x − (−4))( x − 1), Nullstellen sind 1 und −4.
b) keine (reelle) Lösung,
e) x = 21 oder x = − 21 ,
h) keine (reelle) Lösung,
x + 8 = ( x − 4)( x + 1)
c) für x ∈ R mit x 6= 0 und x 6= b − a sind beide Seiten definiert.
c) ( x − (−2))( x − (−3)), Nullstellen sind −2 und −3.
a) x = 2 oder x = −3,
d) x = 0 oder x = −7,
g) x = ±2 oder x = ±3,
⇔
die Lösung ist x = −8 oder x = −2.
⇔
34
b) 13 x2 + 10
3 x + 3 = 0,
e) 4x2 − 1 = 0,
h) x4 + 2x2 + 1 = 0,
x+4
2x
=
,
x+5
x−4
b) für x ∈ R mit x 6= −5 und x 6= 4 sind beide Seiten definiert.
b) ( x − 2)( x − 3), Nullstellen sind 2 und 3.
a) x2 + x − 6 = 0,
d) x2 + 7x = 0,
g) x4 − 13x2 + 36 = 0,
b)
die Lösung ist x = −2 oder x = 6.
Aufgabe 45
Lösung:
a) ( x − 0)( x − 2), Nullstellen sind 0 und 2.
x+8
= x − 4,
x+1
x+8
= x−4
x+1
d) 2( x − 1)2 , lokales Minimum in (1, 0), eine Nullstelle
b) x2 − 5x + 6,
a)
Lösung:
a) für x ∈ R mit x 6= −1 sind beide Seiten definiert.
+ 1)2 − 5, lokales Minimum in (−1, −5), zwei Nullstellen
a) x2 − 2x,
Geben Sie für die folgenden Gleichungen an, für welche reellen Zahlen x (gegebenenfalls in
Abhängigkeit von den Parametern a und b) beide Seiten definiert sind. Lösen Sie dann die
Gleichung in x.
( x + a + b)( x + a − b) + x ( x + a − b) = x ( x + 5a − b)
(2x + a + b)( x + a − b) = x2 + 5ax − bx
2x2 + 3ax − bx + a2 − b2 = x2 + 5ax − bx
x2 − 2ax + a2 − b2 = 0,
die Lösung ist x = a + b oder x = a − b, sofern beide Seiten der Gleichung für diese Werte
definiert sind. Man hat also im Fall a = b = 0 keine Lösung, im Fall a = 0 und b 6= 0 die
Lösung x = −b, im Fall a 6= 0 und b = 0 die Lösung x = a, im Fall a, b 6= 0 und a = b
die Lösung x = 2a, im Fall a, b 6= 0 und a = −b ebenfalls die Lösung x = 2a und in allen
anderen füllen die Lösungen x = a + b und x = a − b.
Aufgabe 48
Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen.
a) x2 > 9,
c) x2 + 3x − 9 6 − x2 + 7x + 7,
e) x2 − 4x + 6 < 2x2 − 12x + 28,
b) x2 + 6x + 3 < 10,
d) 2x2 + 3 6 1 − 4x,
f) 3x4 + 4 6 2x4 + 5x2 .
18
Lösung:
a) x2 > 9
⇔
( x − 3)( x + 3) > 0
⇔
Lösung:
a) Indem man mit xy erweitert und weiter umformt, erhält man
x < −3 oder x > 3.
b) x2 + 6x + 3 < 10 ⇔ x2 + 6x − 7 < 0 ⇔ ( x − 1)( x + 7) < 0;
genau die x ∈ R mit −7 < x < 1 die Ungleichung lösen.
man erhält, dass
c) x2 + 3x − 9 6 − x2 + 7x + 7 ⇔ 2x2 − 4x − 16 6 0 ⇔ 2( x + 2)( x − 4) 6 0; man
erhält, dass genau die x ∈ R mit −2 6 x 6 4 die Ungleichung lösen.
d) 2x2 + 3 6 1 − 4x ⇔ 2x2 + 4x + 2 6 0
−1 die Ungleichung löst.
⇔
2( x + 1)2 6 0; man liest ab, dass nur
e) x2 − 4x + 6 < 2x2 − 12x + 28 ⇔ − x2 + 8x − 22 < 0
liest ab, dass die Ungleichung für alle x ∈ R erfüllt ist.
⇔
für welche x ∈ R sind die Ungleichungen definiert? Bestimmen Sie die Lösungsmengen.
x−1
2x − 1
<
,
x+1
2x + 1
b)
x2 − 5x + 4
> 0,
x2 − 8x + 15
c)
x
2x − 1
<
.
x+2
3x − 5
Lösung:
a) Der Definitionsbereich ist R \ {−1, − 21 }, die Lösungsmenge der Ungleichung lautet hier
1
L = { x ∈ R | − 1 < x < − oder x > 0}.
2
b) Der Definitionsbereich ist R \ {3, 5}, die Lösungsmenge der Ungleichung lautet hier
L = { x ∈ R | x 6 1 oder 3 < x 6 4 oder x > 5}.
c) Der Definitionsbereich ist R \ {−2, 53 }, die Lösungsmenge der Ungleichung lautet hier
L=
x ∈ R| −2 < x < 4−
Aufgabe 50
Beweisen Sie die folgenden Ungleichungen:
a)
√
14 oder
√ 5
< x < 4 + 14 .
3
⇔
x2 + y2 > 2xy
⇔
x2 − 2xy + y2 > 0
⇔
( x − y)2 > 0,
b) Die erste Ungleichung gilt nach
2xy 6 12 ( x + y)2
⇔
2xy 6 12 ( x2 + 2xy + y2 )
⇔
0 6 x2 − 2xy + y2
⇔
⇔
0 6 ( x − y )2 ,
4xy 6 x2 + 2xy + y2
da ( x − y)2 > 0 für alle x, y ∈ R eine wahre Aussage ist. Die zweite Ungleichung gilt mit
derselben Begründung wegen
1
2 (x
⇔
Aufgabe 49
xy>0
und das ist stets eine wahre Aussage, also gilt die Behauptung.
−( x − 4)2 − 6 < 0; man
f) 3x4 + 4 6 2x4 + 5x2 ⇔ x4 − 5x2 + 4 6 0 ⇔ ( x2 − 1)( x2 − 4) 6 0; die Ungleichung ist also äquivalent zu 1 6 x2 6 4, also zu 1 6 x 6 2 oder −2 6 x 6 −1.
a)
x y
+ >2
y x
+ y )2 6 x 2 + y2
2xy 6 x2 + y2
⇔
⇔
( x + y)2 6 2x2 + 2y2
0 6 x2 − 2xy + y2
⇔
⇔
x2 + 2xy + y2 6 2x2 + 2y2
0 6 ( x − y )2 .
Aufgabe 51 (∗)
Beweisen Sie die folgenden Aussagen. für den Umgang mit den Ungleichungszeichen < und
> dürfen Sie hier nur die aus der Vorlesung bekannten Anordnungsaxiome (O.1) bis (O.4)
verwenden.
a) Ist r ∈ R, so gilt r < 0 ⇔ −r > 0.
b) für alle r ∈ R mit r 6= 0 gilt r2 > 0.
c) 1 > 0.
d) Ist r ∈ R mit r > 0, so gilt auch
1
r
> 0.
Lösung:
a) Ist r < 0, so folgt mit (O.3) r + (−r ) < 0 + (−r ), also 0 < −r und damit −r > 0. Gilt
umgekehrt −r > 0, also 0 < −r, so folgt mit (O.3) 0 + r < (−r ) + r, also r < 0. Damit wurde
die Äquivalenz bewiesen.
b) Nach (O.1) verbleiben die fülle r > 0 und r < 0 zu untersuchen. Im Fall r > 0 (also 0 < r) hat
man 0 · r < r · r nach (O.4), also r2 > 0, und im Fall r < 0 hat man −r > 0 (also 0 < −r)
nach Teil (a) und damit 0 · (−r ) < (−r ) · (−r ) nach (O.4), also (−r )2 > 0 und damit wegen
(−r )2 = r2 auch r2 > 0.
c) Wähle r = 1 in Teil (b).
x y
+ > 2 für alle x, y ∈ R mit x, y > 0,
y x
b) 2xy 6 12 ( x + y)2 6 x2 + y2 für alle x, y ∈ R.
19
d) Annahme: 1r < 0. Dann folgt − 1r > 0 nach Teil (a) und damit 0 · 0 < r · (− 1r ) nach (O.4)
wegen 0 < r. Die letzte Ungleichung bedeutet aber 0 < −1 und damit nach Teil (a) 1 < 0,
was mit (O.1) und Teil (c) einen Widerspruch liefert. Daher muss nach (O.1) 1r > 0 oder 1r = 0
gelten. Letzteres ist aber ausgeschlossen. Damit ist die Behauptung bewiesen.
20
Lösung:
√
a) Definitionsbereich ist R \ {−2, 2}, Lösungsmenge ist {−4, 12 − 217 }.
Aufgabe 52
Lösen Sie die Beträge auf, das heißt, geben sie einen gleichwertigen Ausdruck ohne Betragsstriche (dafür gegebenenfalls mit Fallunterscheidung) an.
b) | x2 − 5x + 6|,
a) | x − 5|,
Lösung:
a) | x − 5| =
(
c) | x2 − 2x + 1|,
d)
| x 2 + x − 2|
.
| x + 4|
c) | x2 − 2x + 1| = |( x − 1)2 | = ( x − 1)2
 2
x +x−2



 x+4 ,
falls x > 1 oder − 4 < x 6 −2,
| x 2 + x − 2|
|( x − 1)( x + 2)|
=
=

| x + 4|
| x + 4|
2


− x + x − 2 , falls − 2 < x < 1 oder x < −4
x+4
Aufgabe 53
für welche x ∈ R sind die folgenden Ungleichungen erfüllt?
a) | x + 4| < 2,
Lösung:
a) −6 < x < −2,
b) | x − 1| > 1,
b) x > 2 oder x < 0,
c) | x − 3| > 0 und | x + 1| < 5.
c)−6 < x < 4 und x 6= 3.
Aufgabe 54
Lösen Sie die folgenden Betragsgleichungen.
a) | x + 1| = x + 2,
b) | x − 1| − 2 = − x + 1,
c) 2| x + 1| − 1 = 2x + 1,
Lösung:
a) x = − 32 ,
c) x > −1,
b) x = 2,
d) −3| x − 2| = 3x + 1.
d) Gleichung unlösbar
Aufgabe 55
für welche x ∈ R sind die folgenden Gleichungen definiert? Lösen Sie die Gleichungen.
a)
x2
− 3x − 4
= 1,
2| x 2 − 4|
2
x − 3x + 2 − 1 = 1.
b) 2
x + 3x + 2 21
√
73
2 }.
Aufgabe 56
Untersuchen Sie, welche x ∈ R die folgenden Ungleichungen erfüllen.
a) | x2 − 2x − 2| < 2x − 1,
x − 5, falls x > 5,
5 − x, falls x < 5
(
x2 − 5x + 6,
falls x 6 2 oder x > 3,
2
b) | x − 5x + 6| =
− x2 + 5x − 6, falls 2 < x < 3
d)
b) Definitionsbereich ist R \ {−2, −1}, Lösungsmenge ist {− 92 ±
Lösung:
√
√
a) 3 < x < 2 + 5,
b) | x2 + x − 1| > ( x − 2)2 + 1,
b) x > 65 ,
c) | x − 1| < |2x − 3| − 1.
c) x < 1 oder x > 3.
Aufgabe 57
für welche x ∈ R sind die folgenden Ungleichungen definiert? Lösen Sie die Ungleichungen.
a)
1
2 − | x − 1|
> ,
| x − 4|
2
b)
|x| − 1
1
> ,
2
x2 − 1
Lösung:
a) Definitionsbereich: R \ {4}, Lösungsmenge: { x ∈ R |
c)
2
3
|( x + 2)2 − 2|
> 1.
x+1
6 x 6 2}
b) Definitionsbereich: R \ {−1, 1}, Lösungsmenge: { x ∈ R | − 1 < x < 1}
c) Definitionsbereich: R \ {−1}, Lösungsmenge: { x ∈ R | − 1 < x < − 52 +
− 32 +
√
5
2 }
√
13
2
oder x >
Aufgabe 58
Lösen Sie die folgenden kubischen Gleichungen, indem Sie sie gegebenenfalls auf die Form
p( x ) = 0 bringen, eine Nullstelle d von p raten, dann p( x ) durch x − d dividieren und die
verbleibende quadratische Gleichung lösen. Hinweis: Ist p( x ) = x3 + ax2 + bx + c, so testen
Sie zunächst die ganzzahligen Teiler von c darauf, ob sie Nullstellen von p sind.
a) x3 − 7x + 6 = 0,
c) x3 + x + 6 = 4x2 − x + 2,
b) x3 − 6x2 + 5x + 12 = 0,
d) 2x3 + 8x2 + 12x + 8 = 0.
Lösung:
a) x = 1 oder x = 2 oder x = −3 (geratene Nullstelle sei 1, dann mit Polynomdivision
( x3 − 7x + 6) : ( x − 1) = x2 + x − 6 = ( x − 2)( x + 3))
b) x = −1 oder x = 3 oder x = 4 (geratene Nullstelle sei −1, dann mit Polynomdivision
( x3 − 6x2 + 5x + 12) : ( x + 1) = x2 − 7x + 12 = ( x − 3)( x − 4))
22
√
c) x = 2 oder x = 1 ± 3 (gegebene Gleichung ist äquivalent zu x3 − 4x2 + 2x + 4 = 0,
geratene Nullstelle sei 2, dann ( x3 − 4x2 + 2x + 4) : ( x − 2) = x2 − 2x − 2 = ( x − 1)2 − 3,
Lösen von ( x − 1)2 − 3 = 0 liefert weitere Lösungen der gegebenen Gleichung)
Aufgabe 60
Man beweise die folgenden Aussagen durch Vergleich der Wahrheitstafeln beider Seiten:
a) A ∧ ( B ∧ C ) ⇔ ( A ∧ B) ∧ C,
c) ¬( A ∧ B) ⇔ ¬ A ∨ ¬ B,
e) A ∨ ( B ∧ ¬ B) ⇔ A,
d) x = −2 (Gleichung äquivalent schreibbar als x3 + 4x2 + 6x + 4 = 0, geratene Nullstelle sei
−2, dann ( x3 + 4x2 + 6x + 4) : ( x + 2) = x2 + 2x + 2 = ( x + 1)2 + 1 > 0 für alle x ∈ R)
— Logik —
Aufgabe 59
Stellen Sie Wahrheitstafeln für die folgenden Formeln auf:
a) A ∧ ( B ∨ C ),
Lösung:
a) A B
F F
F F
F W
F W
W F
W F
W W
W W
b) A
F
F
F
F
W
W
W
W
c) A
F
F
W
W
C
F
W
F
W
F
W
F
W
B∨C
F
W
W
W
F
W
W
W
C
F
W
F
W
F
W
F
W
B
¬ A ¬B ¬ A ∨ ¬B
W
W
F
F
W
F
W
F
A∧C
F
F
F
F
F
W
F
W
W
W
W
F
d) A ∨ ¬ A.
C
A∧B
F
W
F
W
F
W
F
W
F
F
F
F
F
F
W
W
B∧C
F
F
F
W
F
F
F
W
A ∧ (B ∧ C)
F
F
F
F
F
F
F
W
( A ∧ B) ∧ C
F
F
F
F
F
F
F
W
Die letzte und vorletzte Spalte stimmen überein. Daher ist die Behauptung bewiesen.
F
F
F
F
F
W
W
W
F
F
W
W
F
F
W
W
F
F
F
F
F
F
W
W
c) ¬ A ∨ ¬ B,
A ∧ (B ∨ C)
B
F
W
F
W
A∧B
b) ( A ∧ B) ∨ ( A ∧ C ),
Lösung:
a) A B
F F
F F
F W
F W
W F
W F
W W
W W
b) A ∧ ( B ∨ C ) ⇔ ( A ∧ B) ∨ ( A ∧ C ),
d) ¬(¬ A) ⇔ A,
f) A ∧ (¬ A ∨ B) ⇒ B.
b) Vergleich der Tafeln aus Aufgabe 59 (a) und (b) liefert die Behauptung.
c)
A
B
F
F
W
W
F
W
F
W
A∧B
F
F
F
W
¬( A ∧ B)
W
W
W
F
Die letzte Spalte dieser Tafel stimmt mit der letzten Spalte der Tafel aus Aufgabe 59 (c)
überein. Dies zeigt die behauptete Äquivalenz.
( A ∧ B) ∨ ( A ∧ C )
d)
F
F
F
F
F
W
W
W
A
F
W
¬ A ¬(¬ A)
W
F
F
W
Die letzte Spalte dieser Tafel stimmt mit der ersten Spalte überein. Dies zeigt die behauptete
Äquivalenz.
e)
d) A
F
W
¬A
23
W
F
A ∨ ¬A
W
W
A
B
F
F
W
W
F
W
F
W
¬B
W
F
W
F
B ∧ ¬B
F
F
F
F
A ∨ ( B ∧ ¬ B)
F
F
W
W
Die letzte Spalte dieser Tafel stimmt mit der ersten Spalte überein. Dies zeigt die behauptete
Äquivalenz.
24
f)
A
B
F
F
W
W
F
W
F
W
¬A ¬A ∨ B
W
W
F
F
W
W
F
W
A ∧ (¬ A ∨ B)
(2) für m, n ∈ N gilt
F
F
F
W
(m − n)2 + 4mn = (m + n)2
2
2
2
m − 2mn + n + 4mn = m + 2mn + n
−2mn + 4mn = 2mn
Wann immer A ∧ (¬ A ∨ B) wahr ist (was nur der Fall ist, wenn A und B beide wahr sind), ist
auch B wahr. Dies zeigt die behauptete Implikation.
Geben Sie für die logischen Aussagen
⇒
3x = 9
⇒
x=3
b) 3x − 7 = 2
⇔
3x = 9
⇔
x=3
c) 3x − 7 = 2
⇐
3x = 9
⇐
x=3
⇔
⇔
⇔
2mn = 2mn,
und da 2mn = 2mn stets eine wahre Aussage ist, muss (m − n)2 + 4mn = (m + n)2 für
alle m, n ∈ N gelten.
Aufgabe 61
a) 3x − 7 = 2
2
(3) für m, n ∈ N gilt
(m − n)2 + 4mn = (m + n)2
2
2
2
m − 2mn + n + 4mn = m + 2mn + n
−2mn + 4mn = 2mn
jeweils an, für welche der folgenden Aussagen sie als Begründung dienen können:
(1) Die Lösungsmenge der Gleichung 3x − 7 = 2 für x ∈ R ist {3}.
2
⇐
⇐
⇐
2mn = 2mn,
und da 2mn = 2mn stets eine wahre Aussage ist, muss (m − n)2 + 4mn = (m + n)2 für
alle m, n ∈ N gelten.
(2) 3 ist eine Lösung der Gleichung 3x − 7 = 2 für x ∈ R.
(3) Höchstens 3 ist eine Lösung der Gleichung 3x − 7 = 2 für x ∈ R.
(4) für alle m, n ∈ N gilt
Lösung:
a) Die Folgerungskette kann nur als Begründung für (3) dienen.
(m − n)2 + 4mn = m2 − 2mn + n2 + 4mn = m2 + 2mn + n2 = (m + n)2 .
b) Die Äquivalenzkette kann (1), (2) und (3) begründen.
c) Die Rückfolgerungskette kann nur als Begründung für (2) dienen.
Aufgabe 62
Welche der folgenden Ausführungen stellen einen Beweis der Tatsache (m − n)2 + 4mn =
(m + n)2 für alle m, n ∈ N dar?
(1) für m, n ∈ N gilt
Lösung:
Mit Ausnahme von (1) stellen alle Ausführungen einen Beweis der angegebenen Tatsache dar.
Folgerungsketten, die in einer wahren Aussage enden, können kein Beweis für die Anfangsaussage sein: Es gilt 1 = −1 ⇒ 12 = (−1)2 ⇒ 1 = 1, und Letzteres ist eine wahre
Aussage; dennoch ist 1 = −1 in den reellen Zahlen falsch. Die umgekehrte Richtung, also eine
Folgerungskette, die beginnend mit einer wahren Aussage zur Behauptung führt, stellt hingegen
einen korrekten Beweis dar.
Aufgabe 63
2
(m − n) + 4mn = (m + n)
2
m2 − 2mn + n2 + 4mn = m2 + 2mn + n2
−2mn + 4mn = 2mn
⇒
⇒
⇒
2mn = 2mn,
und da 2mn = 2mn stets eine wahre Aussage ist, muss (m − n)2 + 4mn = (m + n)2 für
alle m, n ∈ N gelten.
25
Geben Sie an, welche der folgenden Rechnungen aus welchem Grund als Begründung für
( a − b)2 + ab − b2 = a
a2 − b2
a+b
für a, b ∈ R mit a 6= −b gut beziehungsweise weniger gut sind.
(1) ( a − b)2 + ab − b2 = a2 − 2ab + b2 + ab − b2 = a2 − ab = a( a − b) = a
a
a2 − b2
.
a+b
26
( a − b)( a + b)
=
a+b
(2) ( a − b)2 + ab − b2 = a2 − 2ab + b2 + ab − b2 = a2 − ab = a
a2 − b2
( a − b)( a + b)
=a
=
a+b
a+b
(3) ( a − b)2 + ab − b2 = a2 − 2ab + b2 + ab − b2 = a2 − ab und a
a2 − b2
( a − b)( a + b)
=a
=
a+b
a+b
a( a − b) = a2 − ab.
a( a − b) = a2 − ab.
Lösung:
(1) und (3) sind als Begründungen in Ordnung, während (2) nicht gut ist, da die Gleichungskette
zwar mathematisch korrekt ist, aber aus logischer Sicht nicht in der richtigen Reihenfolge
aufgeschrieben wurde: Der Schritt
Aufgabe 65
a) Geben Sie für jede der folgenden Bedingungen an, ob sie notwendig und/oder hinreichend
dafür ist, dass ein Dreieck gleichseitig ist.
(i) Alle drei Seiten sind gleich lang.
(ii) Zwei Seiten des Dreiecks sind gleich lang.
(iii) Alle drei Winkel im Dreieck sind gleich 60 °.
(iv) Zwei Winkel im Dreieck sind gleich 60 °.
(v) Alle drei Seiten habe eine Länge von 5 cm.
(vi) für eine Seite a des Dreiecks gilt ha =
Länge der Höhe auf a bezeichnet.
a2 − b2
a − ab = a
a+b
2
ist an dieser Stelle nicht offensichtlich, eine Begründung kann erst aus der weiteren Rechnung
erschlossen werden; dieser Begründungszusammenhang wird jedoch nicht dargestellt.
a
2
√
3, wobei a die Länge der Seite a und ha die
b) Geben Sie für jede der folgenden Bedingungen an, ob sie notwendig und/oder hinreichend
dafür ist, dass ein Viereck ein Parallelogramm ist.
(i) Alle vier Seiten sind gleich lang.
Aufgabe 64
(ii) Zwei Seiten sind gleich lang.
Finden Sie den Fehler in der folgenden ’ AufgabenLösung’. Lösen Sie danach die Aufgabe
korrekt.
(iii) Es gibt zwei Paare gleich langer Seiten.
Aufgabe: Man bestimme alle x ∈ R, die sowohl 1 + x2 = 0 als auch 1 + x3 = 0 erfüllen.
Lösungsversuch: Es gilt
1 + x2 = 0 und 1 + x3 = 0
1 + x2 = 1 + x3
x2 = x3
(iv) Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang.
(v) Alle vier Winkel sind gleich groß.
(vi) Zwei Winkel sind gleich groß.
⇒
(vii) Es gibt zwei Paare gleich großer Winkel.
⇒
(viii) Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
⇒
x = 0 oder 1 = x,
also erfüllen 0 und 1 gleichzeitig 1 + x2 = 0 und 1 + x3 = 0.
Lösung:
Die Folgerungskette an sich ist logisch einwandfrei, sie beweist jedoch nur, dass als Lösungen
nur 0 und 1 in Frage kommen, nicht jedoch, dass 0 und 1 tatsächlich Lösungen sind. Wann immer
in einer Gleichungsumformung nicht ausschließlich Äquivalenzen sondern auch Folgerungen
auftreten, ist am Ende eine Probe erforderlich. Eine solche Probe zeigt hier, dass weder 0
noch 1 die Gleichung 1 + x2 = 0 erfüllen, also sind weder 0 noch 1 Lösungen der Aufgabe.
Zusammen mit der bereits begründeten Tatsache, dass nur 0 und 1 überhaupt als Lösungen in
Frage kommen, hat man nun insgesamt gezeigt, dass es kein x ∈ R gibt, das sowohl 1 + x2 = 0
als auch 1 + x3 = 0 erfüllt.
(ix) Die Diagonalen halbieren sich.
Lösung:
a) Notwendig, aber nicht hinreichend sind (ii) und (vi); hinreichend, aber nicht notwendig ist (v);
notwendig und hinreichend sind (i), (iii) und (iv).
b) Notwendig, aber nicht hinreichend sind (ii), (iii), (vi) und (vii); hinreichend, aber nicht notwendig
sind (i) und (v); notwendig und hinreichend sind (iv), (viii) und (ix).
Aufgabe 66
Schreiben Sie die folgenden Aussagen mit den Quantoren ∀ und ∃, und bilden Sie dann die
formale Verneinung (ebenfalls in Quantorenschreibweise).
a) Es gibt ein x ∈ Z mit x > 0.
b) für alle x ∈ Z gilt x > 0.
27
28
c) für alle x ∈ Z gibt es ein y ∈ Z mit x > y.
d) Es gibt ein x ∈ Z, so dass für alle y ∈ Z gilt: x > y.
c) Die zweite Aussage ist keine Verneinung der ersten Aussage. Eine Verneinung der ersten
Aussage lautet: ’Es gibt eine ungerade natürliche Zahl’, eine Verneinung der zweiten Aussage
lautet: ’Es gibt eine gerade natürliche Zahl.’
Lösung:
a) ∃ x ∈ Z : x > 0; Verneinung: ∀ x ∈ Z : x 6 0.
d) Die zweite Aussage ist keine Verneinung der ersten Aussage. Eine Verneinung der ersten
Aussage lautet: ’Es gibt eine natürliche Zahl, die keine ganze Zahl ist’, eine Verneinung der
zweiten Aussage lautet: ’Es gibt eine natürliche Zahl, die eine ganze Zahl ist.’
c) ∀ x ∈ Z ∃y ∈ Z : x > y; Verneinung: ∃ x ∈ Z ∀y ∈ Z : x 6 y.
e) Die zweite Aussage ist eine Verneinung der ersten Aussage.
b) ∀ x ∈ Z : x > 0; Verneinung: ∃ x ∈ Z : x 6 0.
d) ∃ x ∈ Z ∀y ∈ Z : x > y; Verneinung: ∀ x ∈ Z ∃y ∈ Z : x 6 y.
Aufgabe 67
Entscheiden Sie jeweils, ob die zweite Aussage die formale Verneinung der ersten Aussage ist.
Falls das nicht der Fall sein sollte, geben Sie für beide Aussagen jeweils eine korrekte Verneinung
an.
a) Die Zahl 4 ist durch 2 teilbar. – Die Zahl 4 ist durch 3 teilbar.
b) Die Zahl 6 ist durch 3 teilbar. – Die Zahl 6 ist nicht durch 3 teilbar.
c) Alle natürlichen Zahlen sind gerade. – Alle natürlichen Zahlen sind ungerade.
d) Alle natürlichen Zahlen sind ganze Zahlen. – Keine natürliche Zahl ist eine ganze Zahl.
e) Jede gerade Zahl ist durch 4 teilbar. – Es gibt eine gerade Zahl, die nicht durch 4 teilbar ist.
f) Es gibt eine natürliche Zahl, die nicht durch 1 teilbar ist. – Es gibt eine natürliche Zahl, die
durch 1 teilbar ist.
g) Alle natürlichen Zahlen, die durch 6 teilbar sind, sind auch durch 3 teilbar. – Es gibt natürliche
Zahlen, die weder durch 6 noch durch 3 teilbar sind.
h) Jede gerade Zahl größer 2 Lösst sich als Summe zweier Primzahlen darstellen. – Es gibt eine
gerade Zahl n größer 2, so dass für alle Primzahlen p und q gilt: p + q 6= n.
i) Zu jeder reellen Zahl r > 0 gibt es eine natürliche Zahl N , so dass für alle n > N gilt:
0 < n1 (1 + (−1)n ) < r. – Es gibt eine reelle Zahl r > 0, so dass für alle natürlichen Zahlen
N stets ein n > N existiert mit n1 (1 + (−1)n ) > r. (Schreiben Sie zunächst beide Aussagen
in Quantorenschreibweise!)
Lösung:
a) Die zweite Aussage ist keine Verneinung der ersten Aussage. Eine Verneinung der ersten
Aussage lautet: ’Die Zahl 4 ist nicht durch 2 teilbar ’, eine Verneinung der zweiten Aussage
lautet: ’Die Zahl 4 ist nicht durch 3 teilbar.’
b) Die zweite Aussage ist eine Verneinung der ersten Aussage.
29
f) Die zweite Aussage ist keine Verneinung der ersten Aussage. Eine Verneinung der ersten
Aussage lautet: ’Alle natürlichen Zahlen sind durch 1 teilbar’, eine Verneinung der zweiten
Aussage lautet: ’Alle natürlichen Zahlen sind nicht durch 1 teilbar.’
g) Die zweite Aussage ist keine Verneinung der ersten Aussage. Eine Verneinung der ersten
Aussage lautet: ’Es gibt eine natürliche Zahl, die durch 6, aber nicht durch 3 teilbar ist’, eine
Verneinung der zweiten Aussage lautet: ’Jede natürliche Zahl ist durch 6 oder durch 3 teilbar.’
h) Die zweite Aussage ist eine Verneinung der ersten Aussage.
i) Aussagen in Quantorenschreibweise: ∀r > 0 ∃ N ∈ N ∀n > N : 0 < n1 (1 + (−1)n ) < r
beziehungsweise ∃r > 0 ∀ N ∈ N ∃n > N : n1 (1 + (−1)n ) > r. Die zweite Aussage ist
keine Verneinung der ersten Aussage. Eine Verneinung der ersten Aussage lautet: ’Es gibt
eine reelle Zahl r > 0, so dass für alle natürlichen Zahlen N stets ein n > N existiert mit
1
1
n
n
n (1 + (−1) ) > r oder n (1 + (−1) ) 6 0’, eine Verneinung der zweiten Aussage lautet:
’Zu jeder reellen Zahl r > 0 gibt es eine natürliche Zahl N , so dass für alle n > N gilt:
1
n
n (1 + (−1) ) 6 r.’
Aufgabe 68
Bestimmen Sie die Wahrheitswerte der folgenden Aussagen.
a) ∀ x ∈ Z : x > 0,
d) ∀ x ∈ Z ∃y ∈ Z : x > y,
b) ∃ x ∈ Z : x > 0,
e) ∃y ∈ Z ∀ x ∈ Z : x > y,
c) ∀ x ∈ Z ∀y ∈ Z : x > y,
f) ∃ x ∈ Z ∃y ∈ Z : x > y.
Lösung:
a) Die Verneinung der gegebenen Aussage lautet: ∃ x ∈ Z : x 6 0. Diese kann bewiesen
werden, indem man x = 0 wählt. Daher ist die zu untersuchende Aussage falsch.
b) Die gegebene Aussage kann bewiesen werden, indem man x = 1 wählt. Daher ist die zu
untersuchende Aussage wahr.
c) Die Verneinung der gegebenen Aussage lautet: ∃ x ∈ Z ∃y ∈ Z : x 6 y. Diese kann
bewiesen werden, indem man x = 0 und y = 0 wählt. Daher ist die zu untersuchende
Aussage falsch.
d) Die gegebene Aussage kann bewiesen werden: ’Sei x ∈ Z. Wähle y = x − 1. Dann ist
y ∈ Z, und es gilt x > y.’ Daher ist die zu untersuchende Aussage wahr.
30
e) Die Verneinung der gegebenen Aussage lautet: ∀y ∈ Z ∃ x ∈ Z : x 6 y. Diese kann
bewiesen werden: ’Sei y ∈ Z. Wähle x = y. Dann ist x ∈ Z, und es gilt x 6 y.’ Daher ist
die zu untersuchende Aussage falsch. (Bemerkung: Zusammen mit der letzten Teilaufgabe
zeigt dies, dass eine Änderung der Reihenfolge von Quantoren im Allgemeinen nicht zu einer
äquivalenten Formel führt.)
f) Die gegebene Aussage kann bewiesen werden, indem man x = 1 und y = 0 wählt. Daher ist
die zu untersuchende Aussage wahr.
Geben Sie jeweils an, wie viele Elemente die Menge enthält.
a) ∅,
d) {1, 2, 3},
g) {1, {2, {3}}},
j) {1, 2} ∪ {2, 4},
m) {1, 2, 3} \ {2, 3},
p) {1, {2, 3}} \ {2, 3},
b) {∅},
e) {{1, 2, 3}},
h) {∅, 1, {1}, {1, 1}},
k) {1, 2} ∩ {2, 4},
n) {1, 2, 3} \ {{2, 3}},
q) {1, 2, {3}} \ {{2}, {3}},
c) {{∅}},
f) {1, {2, 3}},
i) {{∅}, {2}, {2, {2}}},
l) {1, 2} \ {2, 4},
o) {1, 2, 3} \ {{2}, 3},
r) {1, 2, {1, 2, 3}} \ {{1, 2}}.
b) 1,
e) 1,
h) 3,
k) 1,
n) 3,
q) 2,
c) 1,
f) 2,
i) 3,
l) 1,
o) 2,
r) 3.
Lösung:
Aufgabe 69
Tragen Sie in den folgenden Sätzen für (1) und (2) eine Bedingung beziehungsweise eine
Aussage ein, so dass der erste Satz eine wahre Aussage und der zweite Satz eine falsche
Aussage ist.
’für alle n ∈ N mit (1) gilt (2).’ – ’Es gibt ein n ∈ N mit (1), das (2) erfüllt.’
Lösung:
Damit die erste Aussage wahr und die zweite Aussage falsch ist, muss die Bedingung (1) so
gewählt sein, dass sie nie erfüllt werden kann; die Aussage (2) kann dann beliebig gewählt
werden. Eine konkrete Lösung wäre etwa
’für alle n ∈ N mit n 6= n gilt n = n.’ – ’Es gibt ein n ∈ N mit n 6= n, das n = n erfüllt.’
— Mengenlehre —
Seien A = {1, 2}, B = {2, 3} und C = {1, 2, 3, 4}. Man bilde die folgenden Mengen:
b) A ∩ B,
f) ( A ∩ B) ∪ C,
j) A \ ( B \ C ),
n) P( A ∩ B),
c) ( A ∪ B) ∪ C,
g) { A B,
k) P(∅),
o) P(( A ∪ B) ∩ C ).
d) ( A ∩ B) ∩ C,
h) {B A,
l) P(P(∅)),
Aufgabe 72
Es seien A und B zwei Mengen mit A ⊆ B. Bestimmen Sie
a) A ∪ ∅,
g) {B ∅,
m) A ∩ {B ∅,
b) A ∩ ∅,
h) {∅ B,
n) A \ {B B,
c) A ∪ B,
i) {B ({B A),
o) A \ {B A.
d) A ∩ B,
j) A ∪ {B A,
e) {B B,
k) A ∩ {B A,
f) { A B,
l) A ∪ {B ∅,
a) A,
g) B,
m) A,
b) ∅,
h) ∅,
n) A,
c) B,
i) A,
o) A.
d) A,
j) B,
e) ∅,
k) ∅,
f) ∅,
l) B,
Aufgabe 73
Man beweise für beliebige Mengen A, B und C:
a) A ⊆ B ∧ B ⊆ C
Lösung:
a) {1, 2, 3},
b) {2},
c) {1, 2, 3, 4},
e) {1, 2, 3},
f) {1, 2, 3, 4},
g) {1},
i) ∅,
j) {1, 2},
k) {∅},
m) {∅, {1}, {2}, {1, 2}},
n) {∅, {2}},
o) {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.
a) 0,
d) 3,
g) 2,
j) 3,
m) 1,
p) 2,
Lösung:
Aufgabe 70
a) A ∪ B,
e) ( A ∪ B) ∩ C,
i) ( A \ B) \ C,
m) P( A),
Aufgabe 71
d) {2},
h) {3},
l) {∅, {∅}},
⇒
A ⊆ C.
b) A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B) ∩ C.
c) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ).
d) A ∩ B = B
e) A ⊆ B
⇒
⇔
B ⊆ A.
{C B ⊆ {C A .
f) Falls A ⊆ C gilt, folgt aus {C B ⊆ {C A stets A ⊆ B. Man gebe ein Beispiel dafür an, dass im
Falle A 6⊆ C aus {C B ⊆ {C A nicht notwendigerweise A ⊆ B folgen muss.
31
32
g) ( A ∩ B) × C = ( A × C ) ∩ ( B × C ).
Lösung:
a) Es gelte A ⊆ B und B ⊆ C. Sei x ∈ A. Dann gilt auch x ∈ B wegen A ⊆ B, und es folgt
x ∈ C wegen B ⊆ C. Man hat damit x ∈ A ⇒ x ∈ C gezeigt, was nach Definition äquivalent
zu A ⊆ C ist.
b) Es gilt
x ∈ A ∩ (B ∩ C)
⇔
x ∈ A ∧ x ∈ B∩C
⇔
x ∈ A ∧ (x ∈ B ∧ x ∈ C)
f) Es gelte A ⊆ C und {C B ⊆ {C A. Sei x ∈ A. Wegen A ⊆ C gilt dann auch x ∈ C. Nehme
nun an, es gelte x ∈
/ B. Zusammen mit x ∈ C erhält man x ∈ {C B, woraus sich wegen
{C B ⊆ {C A auch x ∈ {C A und somit insbesondere x ∈
/ A folgern Lösst. Dies ist jedoch ein
Widerspruch zu x ∈ A. Die Annahme x ∈
/ B kann also nicht wahr sein, es muss x ∈ B gelten.
Dies beweist x ∈ A ⇒ x ∈ B, also A ⊆ B.
für den zweiten Teil der Aufgabe wähle A = {1, 2} und B = {1, 3} sowie C = {1}. Dann ist
{C B = ∅ = {C A, also insbesondere {C B ⊆ {C A, aber es gilt nicht A ⊆ B.
g) Schreibe x = ( x1 , x2 ). Dann gilt
A 60 (a)
⇔
( x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ x ∈ C
⇔
( x ∈ A ∩ B) ∧ x ∈ C
⇔
x ∈ ( A ∩ B) ∩ C.
Diese Äquivalenzumformung beweist die behauptete Mengengleichheit.
c) Es gilt
x ∈ A ∩ (B ∪ C)
⇔
x ∈ A ∧ x ∈ B∪C
⇔
x ∈ A ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C)
A 60 (b)
⇔
( x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ ( x ∈ A ∧ x ∈ C )
⇔
x ∈ A∩B ∨ x ∈ A∩C
⇔
x ∈ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ).
Diese Äquivalenzumformung beweist die behauptete Mengengleichheit.
d) Zeige die Äquivalenz durch Nachweis von A ∩ B = B ⇒ B ⊆ A und A ∩ B = B ⇐ B ⊆ A.
’⇒’: Es gelte A ∩ B = B. Sei x ∈ B. Wegen B = A ∩ B gilt dann auch x ∈ A ∩ B, also
insbesondere x ∈ A. Dies beweist x ∈ B ⇒ x ∈ A, also B ⊆ A.
’⇐’: Es gelte B ⊆ A. Da A ∩ B ⊆ B nach Definition des Mengendurchschnitts immer gilt,
verbleibt für A ∩ B = B nur noch A ∩ B ⊇ B zu zeigen. Sei x ∈ B. Wegen B ⊆ A gilt dann
auch x ∈ A, also insgesamt x ∈ B ∩ A. Dies beweist x ∈ B ⇒ x ∈ A ∩ B, also die Inklusion
A ∩ B ⊇ B, und schließt somit den Beweis ab.
e) Es gelte A ⊆ B. Sei x ∈ {C B. Dann gilt x ∈ C und x ∈
/ B. Es sei zunächst angenommen, es
gelte x ∈ A. Wegen A ⊆ B wäre dann auch x ∈ B, was im Widerspruch zu x ∈
/ B stünde.
Daher kann x ∈ A nicht gelten. Somit hat man x ∈ C und x ∈
/ A, also x ∈ {C A. Dies beweist
x ∈ {C B ⇒ x ∈ {C A, also {C B ⊆ {C A, was die Behauptung liefert.
33
x ∈ ( A ∩ B) × C
⇔
( x1 , x2 ) ∈ ( A ∩ B ) × C
⇔
x1 ∈ ( A ∩ B ) ∧ x2 ∈ C
⇔
( x1 ∈ A ∧ x1 ∈ B ) ∧ x2 ∈ C
⇔
( x1 ∈ A ∧ x2 ∈ C ) ∧ ( x1 ∈ B ∧ x2 ∈ C )
⇔
( x1 , x2 ) ∈ A × C ∧ ( x1 , x2 ) ∈ B × C
⇔
( x1 , x2 ) ∈ ( A × C ) ∩ ( B × C )
⇔
x ∈ ( A × C ) ∩ ( B × C ).
Diese Äquivalenzumformung beweist die behauptete Mengengleichheit.
Aufgabe 74
Man beweise für beliebige Mengen X und Y :
a) X ⊆ Y
⇒
P ( X ) ⊆ P (Y ) .
b) P( X ) ∪ P(Y ) ⊆ P( X ∪ Y ). Man gebe ein Beispiel dafür an, dass im Allgemeinen nicht
P( X ) ∪ P(Y ) = P( X ∪ Y ) gilt.
Lösung:
a) Es gelte X ⊆ Y . Sei M ∈ P( X ), also M ⊆ X . Wegen X ⊆ Y folgt dann mit Aufgabe 73 (a),
dass auch M ⊆ Y , also M ∈ P(Y ) gilt. Dies beweist M ∈ P( X ) ⇒ M ∈ P(Y ), also
P ( X ) ⊆ P (Y ) .
b) Sei M ∈ P( X ) ∪ P(Y ). Dann gilt M ∈ P( X ) oder M ∈ P(Y ), also M ⊆ X oder M ⊆ Y .
Wegen X ⊆ X ∪ Y und Y ⊆ X ∪ Y folgt in beiden Fällen mit Aufgabe 73 (a), dass auch
M ⊆ X ∪ Y , also M ∈ P( X ∪ Y ) gilt. Dies beweist M ∈ P( X ) ∪ P(Y ) ⇒ x ∈ P( X ∪ Y ),
also P( X ) ∪ P(Y ) ⊆ P( X ∪ Y ).
für den zweiten Teil der Aufgabe wähle X = {1} und Y = {2}. Dann gilt P( X ) ∪ P(Y ) =
{∅, {1}} ∪ {∅, {2}} = {∅, {1}, {2}}, aber es ist P( X ∪ Y ) = P({1, 2}) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}.
34
Aufgabe 75 (\
∗)
Berechnen Sie
r ∈R
— Abbildungen —
{ x ∈ R | x > r }, und beweisen Sie Ihr Ergebnis.
Lösung:
T
T
Es gilt r∈R { x ∈ R | x > r } = ∅. Nehme r∈R { x ∈ R | x > r } 6= ∅ an, es existiere also
T
ein y ∈ r∈R { x ∈ R | x > r }. Dann gilt y ∈ { x ∈ R | x > r } für alle r ∈ R, insbesondere
y ∈ { x ∈ R | x > y + 1}, also y > y + 1. Dies ist ein Widerspruch; ein solches y kann nicht
T
existieren. Daher war die Annahme r∈R { x ∈ R | x > r } 6= ∅ falsch, was das behauptete
Ergebnis beweist.
Aufgabe 77
Welche der folgenden Ausdrücke definieren Abbildungen? Falls eine Abbildung vorliegt, untersuchen Sie diese auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.
a) f 1 : R → R, x 7→ x2 ;
b) g1 : R → R, x 7→ x3 ;
c) w1 : [0, ∞) → R, x 7→
f 2 : R → [0, ∞), x 7→ x2 ;
√
g2 : R → [0, ∞), x 7→ x3 ;
f 3 : N → N, x 7→ x2 ;
√
g 3 : Z → Z, x 7 → x 3 ;
w 2 : R → R, x 7 → ± x 2 ;
x;
d) d : N × N → Z, (m, n) 7→ m − n;
Aufgabe 76 (∗)
Es bezeichne A eine Menge. Zeigen Sie die Äquivalenz der Aussagen
e) pm : N → N, n 7→ m · n (Untersuchung in Abhängigkeit von m ∈ N);
f) FM : P( M ) → P( M ), A 7→ { M A (Untersuchung in Abhängigkeit von M 6= ∅);
(i) B \ A = B für alle Mengen B
g) H M : M → P( M ), x 7→ { x } (Untersuchung in Abhängigkeit von der Menge M 6= ∅);
(ii) ( A ∪ B) \ A = B für alle Mengen B
h) u : (0, ∞) → [2, ∞), x 7→ 1x ( x2 + 1);
(iii) A = ∅
durch einen Ringschluss, das heißt: Zeigen Sie (i) ⇒ (ii), (ii) ⇒ (iii) und (iii) ⇒ (i).
Lösung:
(i) ⇒ (ii): Es gelte B \ A = B für alle Mengen B. Sei nun B eine beliebige Menge. Dann gilt
x ∈ ( A ∪ B) \ A
⇔
x ∈ ( A ∪ B) ∧ x ∈
/A
⇔
( x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ x ∈
/A
A 60 (b)
⇔
(x ∈ A ∧ x ∈
/ A) ∨ ( x ∈ B ∧ x ∈
/ A)
⇔
x∈B ∧ x∈
/A
⇔
B\ A= B
x ∈ B\A
⇔
x ∈ B.
i) v : N0 → Z mit u(n) =
n
2
1
falls n gerade und u(n) = − n+
2 falls n ungerade;
j) hc : R \ {0} → R, x 7→ x +
c
x
(Untersuchung in Abhängigkeit von c ∈ R).
Lösung:
a) f 1 nicht injektiv ( f 1 (1) = 1 = f 1 (−1)), nicht surjektiv (es gibt kein
p x ∈ R mit f 1 ( x ) = −1),
nicht bijektiv; f 2 nicht injektiv ( f 2 (1) = 1 = f 2 (−1)), surjektiv ( f 2 ( y) p
= y für alle y ∈ [0, ∞)),
nicht bijektiv; f 3 injektiv (für jedes y in der Wertemenge von f 3 ist x = y die einzige Lösung
für f 3 ( x ) = y), nicht surjektiv (es gibt kein x ∈ N mit f 3 ( x ) = 2), nicht bijektiv
b) g1 injektiv, surjektiv, bijektiv; g2 keine Abbildung; g3 injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv
c) w1 injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv; w2 keine Abbildung (w2 (1) nicht eindeutig)
d) d nicht injektiv (d(2, 1) = 1 = d(3, 2)), surjektiv (∀i ∈ Z : d(i + |i | + 1, |i | + 1) = i), nicht
bijektiv
e) p1 injektiv, surjektiv, bijektiv; pm für m > 1 injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv
Diese Äquivalenzumformung beweist (ii).
f) FM für alle Mengen M injektiv, surjektiv, bijektiv
(ii) ⇒ (iii): Es gelte ( A ∪ B) \ A = B für alle Mengen B. Spezialisiert man dies für B = A, erhält
man A = ( A ∪ A) \ A = A \ A = ∅, also die Aussage aus (iii).
g) H M für alle Mengen M injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv
(iii) ⇒ (i): klar nach Definition der Mengendifferenz
35
h) u nicht injektiv (u( 12 ) = 52 = u(2)), surjektiv (für jedes y > 2 ist 1x (1 + x2 ) = y
1 + x2 = yx eine in (0, ∞) Lösbare quadratische Gleichung), nicht bijektiv
i) v injektiv, surjektiv, bijektiv
36
⇔
j) h0 injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv; hc für c > 0 nicht injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv
(für x ∈ R \ {0} und y ∈ R gilt x + xc = y ⇔ x2 + c = yx ⇔ x2 − yx + c = 0,
es gibt y ∈ R, so dass diese Gleichung keine Lösung hat (⇒ nicht surjektiv), ebenso gibt
es y ∈ R, so dass zwei Lösungen existieren (⇒ nicht injektiv)); hc für c < 0 nicht injektiv,
surjektiv, nicht bijektiv (Gleichung x2 − yx + c = 0 ist immer Lösbar, es gibt y ∈ R, so dass
diese Gleichung zwei Lösungen hat).
Aufgabe 78
Seien f : R → R, x 7→ 2x + 1 und g : R → R, x 7→ ( x − 1)2 zwei Abbildungen.
Lösung:
a) Sei y ∈ f ( A ∩ A0 ). Dann gibt es ein x ∈ A ∩ A0 mit y = f ( x ). Da x ∈ A und x ∈ A0 gilt, ist
damit auch y ∈ f ( A) und y ∈ f ( A0 ), also y ∈ f ( A) ∩ f ( A0 ). Dies zeigt y ∈ f ( A ∩ A0 ) ⇒
y ∈ f ( A) ∩ f ( A0 ), also f ( A ∩ A0 ) ⊆ f ( A) ∩ f ( A0 ).
für den Nachweis, dass im Allgemeinen keine Gleichheit gilt, wähle f : R → R, x 7→ x2 sowie
A = (−∞, 0) und A0 = (0, ∞). Dann gilt f ( A ∩ A0 ) = f (∅) = ∅, aber f ( A) ∩ f ( A0 ) =
(0, ∞) ∩ (0, ∞) = (0, ∞) 6= ∅.
b) für x ∈ X gilt
x ∈ f −1 ( B ∪ B 0 )
f (x) ∈ B ∪ B
a) Bestimmen Sie g ◦ f und f ◦ g.
f (x) ∈ B ∨ f (x) ∈ B
b) Bestimmen Sie den Wertebereich von f , g, f ◦ g und g ◦ f .
Lösung:
a) g ◦ f : R → R, x 7→ g( f ( x )) = 4x2 ; f ◦ g : R → R, x 7→ f ( g( x )) = 2( x − 1)2 + 1 =
2x2 − 4x + 3.
b) Wertebereich von f : R, Wertebereich von g: [0, ∞), Wertebereich von f ◦ g: [1, ∞), Wertebereich von g ◦ f : [0, ∞).
Aufgabe 79
Was ist an Sprechweisen wie ’ die Funktion x2 ’ oder ’die Funktion f ( x )’ formal gesehen falsch?
Formulieren Sie die Zitate so um, dass sie formal korrekt sind.
Lösung:
Der Begriff ’Funktion’ steht nicht für ’Term’, sondern für eine Abbildungsvorschrift zusammen mit
Definitions- und Zielbereich. Die Zitate können wie folgt korrigiert werden: ’ die Funktion R → R,
x 7→ x2 ’ und ’ die Funktion f ’.
Aufgabe 80 (∗)
Seien X und Y beliebige nichtleere Mengen und f : X → Y eine Abbildung. Man definiert für
alle Mengen A ⊆ X und B ⊆ Y die Schreibweisen f ( A) = { f ( x ) | x ∈ A} und f −1 ( B) = { x ∈
X | f ( x ) ∈ B}. Zeigen Sie für alle Mengen A, A0 ⊆ X sowie B, B0 ⊆ Y :
a) f ( A ∩ A0 ) ⊆ f ( A) ∩ f ( A0 ).
b) f −1 ( B ∪ B0 ) = f −1 ( B) ∪ f −1 ( B0 ).
c) A ⊆ f −1 ( f ( A)).
⇔
0
x∈ f
x∈ f
−1
−1
( B) ∨ x ∈ f
( B) ∪ f
−1
⇔
0
−1
⇔
0
(B )
⇔
0
( B ).
Diese Äquivalenzumformung beweist die Behauptung.
c) Sei x ∈ A. Dann ist f ( x ) ∈ f ( A), also nach Definition x ∈ f −1 ( f ( A)). Dies zeigt x ∈ A ⇒
x ∈ f −1 ( f ( A)), also A ⊆ f −1 ( f ( A)).
für den Nachweis, dass im Allgemeinen keine Gleichheit gilt, wähle f : R → R, x 7→ x2 sowie
A = [0, 1]. Dann gilt f ( A) = [0, 1] und f −1 ( f ( A)) = f −1 ([0, 1]) = [−1, 1] 6= [0, 1] = A.
— Natürliche Zahlen und vollständige Induktion —
Aufgabe 81
Geben Sie den Zahlenwert der folgenden Summen an:
a)
3
∑
j ( j + 1),
1
∑ (3n + 7),
c)
n =1
j =1
Lösung:
a) 20,
b) 10,
b)
101
∑
3,
d)
k =1
c) . . . = 101 · 3 = 303,
d) . . . = 1 −
5
∑
k =1
1
6
1
1
−
.
k k+1
= 56 .
Aufgabe 82
Geben Sie Beispiele dafür an, dass in (a) und (c) im Allgemeinen nicht Gleichheit gilt.
Schreiben Sie mit dem Summenzeichen:
a) 34 + 55 + 76 + 97 ,
c) 1 +
37
1 1 1
1
1
+ + +
+···+
,
2 4 8 16
1024
1 1 1
1
+ + +···+
,
2 3 4
n+5
d) q − q2 + q3 − q4 + · · · − q10 .
b)
38
Lösung:
a)
4
∑ (2j + 1) j+3,
n +5
∑
b)
j =1
10
1
,
j
j =2
Lösung:
a) Es gilt
10
1
c) ∑ j ,
2
j =0
d) − ∑ (−q) j .
j =1
n
∑ ( a k − a k +1 ) =
k =1
Aufgabe 83
n
∑
k =1
n
∑
ak −
k =1
n
∑
a k +1 =
ak −
k =1
n +1
∑
k =2
a k = a1 +
n
∑
k =2
ak −
n
∑
k =2
a k + a n +1
!
= a 1 − a n +1 .
Berechnen Sie:
Bemerkung: Die hier auftretende Form der Summe wird auch als ’Teleskopsumme’ bezeichnet.
7
4
1
a) ∏ ,
j
j =2
4
b) ∏ 2,
c) ∏(3j),
j =2
l =0
5
k
.
d) ∏
k
+
1
k =1
b) Es gilt
n −1
n −1
Lösung:
1
a) 24
,
b) . . . = 28 = 256,
c) 648,
∏ bk + 2
1
6.
d)
bk
n −1
∏ bk
=
k =0
k =0
n −1
∏ bk
k =0
n +1
=
∏ bk + 2
∏ bk
k =0
Aufgabe 84
a) 4 · 7 · 10 · 13,
j =1
b) n!,
c)
2·4·6·8
,
3·5·7·9
2j
,
2j
+1
j =1
d) ∏ j2 .
c) ∏
j =1
d) 9 · 16 · 25 · 36 · 49.
(a)
=
k =2
d) Es gilt
j =3
n−k+1
=
k
k =1
Ersetzen Sie jeweils ’’ durch einen Term, der dazu führt, dass die Gleichheit für den allgemeinen
Fall gültig wird. Geben Sie für (b) zwei verschiedene Lösungen an.
n
∑
j=−2
aj =
∑ a k −3 ,
n
n −1
j =1
k =0
b) ∏ a j =
k =1
∏ a .
b)
n −1
b
∏ bk+k 2
k =1
k =0
n
n
1
n
c) ∑
=
,
k
(
k
+
1
)
n
+
1
k =1
∑
k =1
1
1
−
k k+1
=
b0 b1
,
bn bn + 1
n−k+1
d) ∏
= 1.
k
k =1
39
k =1
n
∏j
=
∏k
j =1
n
= 1.
∏k
k =1
Geben Sie die Werte der folgenden Binomialkoeffizienten an:
3
,
1
Beweisen Sie für n ∈ N und a1 , . . . , an+1 ∈ R beziehungsweise b1 , . . . , bn+1 ∈ R \ {0}:
n
n
=
Aufgabe 87
Lösung:
a) 3,
b) 1,
Aufgabe 86
∏ ( n − k + 1)
k =1
a)
b) k + 1 oder n − k.
∑ ( a k − a k +1 ) = a 1 − a n +1 ,
n
n
∏
a)
k
k+1
−
k ( k + 1) k ( k + 1)
1
1
( n + 1) − 1
n
−
=
=
.
1 n+1
n+1
n+1
Aufgabe 85
a)
b0 b1
.
bn bn + 1
=
n −1
7
4
n
b) ∏ j,
n
n
1
( k + 1) − k
∑ k ( k + 1) = ∑ k ( k + 1) = ∑
k =1
k =1
k =1
n
Lösung:
a) n + 3,
∏ bk
k =2
∏ bk · bn · bn + 1
k =2
n
Lösung:
4
n −1
c) Es gilt
Schreiben Sie mit dem Produktzeichen:
a) ∏(3j + 1),
=
b0 · b1 ·
b)
5
,
0
c)
6
,
3
c) 20,
d)
50
49
d)
=
50
1
50
,
49
= 50,
e)
50
,
51
e) 0,
f)
f) 1,
Aufgabe 88
Beweisen Sie:
a) für alle k, n ∈ N0 mit k 6 n gilt (n + 1)
n
n+1
= ( n − k + 1)
.
k
k
40
0
,
0
g) 0.
g)
0
.
1
(nk)
n−k+1
=
.
k
(k−n 1)
n
n+1
n+k+2
n
c) für alle k, n ∈ N0 mit k < n gilt
+
=
.
k
k+1
n−k
k+1
b) für alle k, n ∈ N mit k 6 n gilt
Lösung:
a) Es gilt
( n + 1)
( n + 1) !
( n + 1) ! ( n − k + 1)
n
n!
=
=
= ( n + 1)
k!(n − k )!
k!(n − k)!
k!(n − k )!(n − k + 1)
k
(n − k + 1)(n + 1)!
n+1
=
= ( n − k + 1)
.
k
k!(n − k + 1)!
b) Es gilt
(nk)
(k−n 1)
=
n!
k!(n−k)!
n!
( k −1) ! ( n − k +1) !
=
( k − 1) ! ( n − k + 1) !
n−k+1
=
.
k!(n − k)!
k
c) Es gilt
n
n+1
n!
( n + 1) !
+
=
+
k
k+1
k!(n − k )! (k + 1)!(n − k)!
k+1 n+1
n+k+2
n
n!
+
=
.
=
( k + 1) ! ( n − k − 1) ! n − k n − k
n−k
k+1
Lösung:
Korrekt sind nur die Varianten (2), (3) und (8).
Aufgabe 90
Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit vollständiger Induktion:
n
∑ j · j! = (n + 1)! − 1.
a) für alle n ∈ N gilt
j =1
b) für alle n ∈ N gilt
∑ 2k
c) für alle n ∈ N gilt
n
k =1
k
=
2n +1 − n − 2
.
2n
2n−1
∑ (−1) j−1 j2 = n(2n − 1).
j =1
d) für alle n ∈ N gilt n! > 2n−1 .
e) für alle n ∈ N0 und x ∈ R mit x > −1 gilt (1 + x )n > 1 + nx.
f) für alle k, n ∈ N0 mit k 6 n gilt
n+1
k+1
m
.
k
m=k
n
=
∑
Lösung:
a) (IA) Es gilt
1
∑ j · j! = 1 · 1! = 1
und
j =1
Aufgabe 89
Eine Aussage A(n) soll mit vollständiger Induktion für alle n ∈ N bewiesen werden. Der
Induktionsanfang wurde für n = 1 durchgeführt. Entscheiden Sie jeweils, ob die Formulierung
der Induktionsvoraussetzung in diesem Beweis korrekt ist.
(1 + 1)! − 1 = 2! − 1 = 2 − 1 = 1,
also gilt die Behauptung für n = 1.
(IV) Sei n ∈ N, und es gelte die Behauptung für dieses n.
(IS) Es gilt
(1) (IV) für alle n ∈ N gelte A(n).
(2) (IV) Sei n ∈ N, und es gelte A(n).
n +1
n
j =1
j =1
IV
∑ j · j! = ∑ j · j! + (n + 1) · (n + 1)! = (n + 1)! − 1 + (n + 1)(n + 1)!
(3) (IV) Es gelte A(n) für ein n ∈ N.
= ( n + 1) ! · (1 + n + 1) − 1 = ( n + 1) ! · ( n + 2) − 1 = ( n + 2) ! − 1
(4) (IV) Es gelte A(n) für alle n ∈ N.
= ((n + 1) + 1)! − 1.
(5) (IV) Es gelte A(n) für n ∈ N.
(6) (IV) Es gelte A(n + 1) für ein n ∈ N.
(7) (IV) Es gelte A(n) und A(n + 1) für ein n ∈ N.
Dies ist die Behauptung mit n + 1 anstelle von n. Mit dem Induktionsprinzip folgt nun die
Gültigkeit der Behauptung für alle n ∈ N.
(8) (IV) Sei n ∈ N so, dass A(n) gilt.
(9) (IV) Sei n ∈ N so, dass A(n + 1) gilt.
41
42
b) (IA) Es gilt
1
k
1
1
∑ 2 k = 21 = 2
k =1
und
21 + 1 − 1 − 2
1
4−1−2
= ,
=
2
2
21
also gilt die Behauptung für n = 1.
(IV) Sei n ∈ N, und es gelte die Behauptung für dieses n.
(IS) Es gilt
n +1
∑
k =1
n
k
n + 1 IV 2n+1 − n − 2 n + 1
k
+ n +1
=∑
+ n +1 =
2n
2
2
2k k =1 2k
2 · 2n+1 − 2n − 4 + n + 1
2n +2 − n − 3
2(n+1)+1 − (n + 1) − 2
=
=
n
+
1
n
+
1
2
2
2n +1
Dies ist die Behauptung mit n + 1 anstelle von n. Mit dem Induktionsprinzip folgt nun die
Gültigkeit der Behauptung für alle n ∈ N.
=
c) (IA) Es gilt
∑
(−1) j−1 j2 =
j =1
(IV) Sei n ∈ N0 , und es gelte (1 + x )n > 1 + nx.
(IS) Es gilt
(1 + x ) n +1 = (1 + x ) n (1 + x )
IV
>
1+ x >0
(1 + nx )(1 + x ) = 1 + nx + x + nx2
= 1 + (n + 1) x + nx2 > 1 + (n + 1) x.
Dies ist die Behauptung mit n + 1 anstelle von n. Mit dem Induktionsprinzip folgt nun die
Gültigkeit der Behauptung für alle n ∈ N0 .
f) Führe Induktion nach n durch.
(IA) Sei n = 0. Ist k ∈ N0 mit k 6 n, so muss k = 0 gelten. Dann ist
0 m
m
0
0+1
n+1
=
=
=
1
=
=
.
∑ k
∑
0
0+1
k+1
m =0 0
m=k
1
∑ (−1) j−1 j2 = (−1)012 = 1 = 1 · (2 · 1 − 1),
j =1
also gilt die Behauptung für n = 1.
(IV) Sei n ∈ N, und es gelte die Behauptung für dieses n.
(IS) Es gilt
∑
(IA) Es gilt (1 + x )0 = 1 = 1 + 0 · x, also gilt die Behauptung für n = 0.
n
2·1−1
2(n+1)−1
e) Sei x ∈ R mit x > −1.
(−1) j−1 j2 =
=
(IV) Sei n ∈ N0 , und es gelte
n+1
k+1
m
für alle k ∈ N0 mit k 6 n.
k
m=k
n
=
∑
(IS) Sei k ∈ N0 mit k 6 n + 1. Betrachte zunächst den Fall k = n + 1. Dann gilt
2n+1
n +1 m
m
n+1
n+2
( n + 1) + 1
= ∑
=
=1=
=
,
k
n+1
n+1
n+2
k+1
m = n +1
m=k
n +1
∑ (−1) j−1 j2
∑
j =1
j =1
Daher gilt die Behauptung für n = 0.
2n−1
∑ (−1) j−1 j2 + (−1)2n−1 (2n)2 + (−1)2n (2n + 1)2
j =1
was die Behauptung für n + 1 anstelle von n und k = n + 1 ist. Sei nun k 6 n. Dann gilt
n m
m
n + 1 IV n + 1
n + 1 Add.th. n + 2
=
+
=
+
=
∑ k
∑ k
k
k+1
k
k+1
m=k
m=k
( n + 1) + 1
=
.
k+1
n +1
IV
= n(2n − 1) − (2n)2 + (2n + 1)2 = 2n2 − n − 4n2 + 4n2 + 4n + 1
= 2n2 + 3n + 1 = (n + 1)(2n + 1) = (n + 1)(2(n + 1) − 1).
Dies ist die Behauptung mit n + 1 anstelle von n. Mit dem Induktionsprinzip folgt nun die
Gültigkeit der Behauptung für alle n ∈ N.
d) (IA) Es gilt 1! = 1 = 20 = 21−1 , also gilt die Behauptung für n = 1.
(IV) Sei n ∈ N, und es gelte n! > 2n−1 .
Auch in diesem Fall konnte man die Behauptung für n + 1 anstelle von n bewiesen. Insgesamt
folgt nun mit dem Induktionsprinzip die Gültigkeit der Behauptung für alle n, k ∈ N0 mit k 6 n.
Bemerkung: Die oben durchgeführte Fallunterscheidung ist notwendig, da die Induktionsvoraussetzung nur für k 6 n eine Aussage liefert, nicht aber für k = n + 1.
(IS) Es gilt
n >1
IV
(n + 1)! = n!(n + 1) > 2n−1 (n + 1) > 2n−1 · 2 = 2n = 2(n+1)−1 .
Dies ist die Behauptung mit n + 1 anstelle von n. Mit dem Induktionsprinzip folgt nun die
Gültigkeit der Behauptung für alle n ∈ N.
43
Aufgabe 91
Beweisen Sie durch Anwendung der allgemeinen binomischen Formel:
44
n
= 2n .
k
k =0
n
n
b) für alle n ∈ N gilt ∑ (−1)k
= 0.
k
k =0
c) für alle n ∈ N gilt
∑
2n
1
(−1)k+1
= ∑ .
k
k
k =1
k = n +1
n
n
d) für alle n ∈ N gilt ∑ (k + 1)
= 2 n − 1 ( n + 2 ) − 1.
k
k =1
Lösung:
a) für alle n ∈ N0 gilt 2n = (1 + 1)n =
e) für alle n ∈ N gilt
√
1
√ 6 2 n − 1.
k
k =1
a) für alle n ∈ N0 gilt
n
∑
n n
n
k
n−k
·
1
·
1
=
∑ k
∑ k .
k =0
k =0
n n
n
n
b) für alle n ∈ N gilt 0 = 0n = ((−1) + 1)n = ∑
(−1)k 1n−k = ∑ (−1)k
.
k
k
k =0
k =0
n
Stellen Sie jeweils (anhand einer Wertetabelle) eine Vermutung auf, für welche n ∈ N die
Ungleichung gilt. Beweisen Sie Ihre Vermutung mit der Wertetabelle und vollständiger Induktion.
b) 2n > 41 n2 für alle n ∈ N mit n > 2,
1 3
d) 2n > 16
n für alle n ∈ N mit n > 4.
n
n
∑ k > 1 = n.
k =0
n
b) für alle n ∈ N mit n > 2 gilt
2n =
b) n! < 3n−1 ,
a) n! > 2n ,
Beweisen Sie durch Anwendung von Aufgabe 91 (a):
Lösung:
a) für alle n ∈ N gilt 2n =
n
∑
Aufgabe 94 (∗)
Aufgabe 92
a) 2n > n für alle n ∈ N,
1 3
n für alle n ∈ N mit n > 3,
c) 2n > 27
2n
n · n2
n
n
n(n − 1) n>2 n(n − n2 )
n2
>
=
=
= .
>
2
2
2
4
k
2
k =0
n
∑
n
n
n(n − 1)(n − 2) n>3 n(n − n3 )(n −
2 = ∑
>
=
>
6
6
k
3
k =0
n
2n
3 )
=
n·
2n
3
6
·
n
3
n3
= .
27
n · 3n
n
n
n(n − 1)(n − 2) n>4 n(n − n4 )(n − n2 )
4 ·
2 = ∑
>
=
>
=
k
3
6
6
6
k =0
n
Aufgabe 93 (∗)
Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit vollständiger Induktion:
n −1
an − bn
= ∑ a k b n − k −1 .
a−b
k =0
n n k n−k
b) für alle n ∈ N0 und a, b ∈ R gilt ( a + b)n = ∑
a b .
k
k =0
a) für alle n ∈ N und a, b ∈ R mit a 6= b gilt
45
— Komplexe Zahlen —
Aufgabe 95
Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form u + iv mit u, v ∈ R:
d) für alle n ∈ N mit n > 4 gilt
n
d) n! > nn .
Lösung:
Skizze zu (b): 1! = 1 6< 1 = 31−1 , 2! = 2 < 3 = 32−1 , 3! = 6 < 9 = 33−1 , 4! = 24 <
27 = 34−1 , 5! = 120 6< 81 = 35−1 , 6! = 720 6< 243 = 36−1 . Vermutung: Es gilt n! < 3n−1
genau für n ∈ {2, 3, 4}. Zeige dazu noch per vollständiger Induktion, dass n! > 3n−1 für alle
n > 5 gilt. Den Induktionsanfang für n = 5 entnimmt man obiger ’Wertetabelle’. Sei nun n ∈ N
mit n > 5, und es gelte n! > 3n−1 . Weise die Aussage mit n + 1 anstelle von n nach. Mit dem
Induktionsprinzip folgt nun n! > 3n−1 für alle n ∈ N mit n > 5. Der ’Wertetabelle’ entnimmt
man, dass n! > 3n−1 auch für n = 1 und n! < 3n−1 für n ∈ {2, 3, 4} gilt. Zusammengenommen
beweist dies die Vermutung
c) für alle n ∈ N mit n > 3 gilt
n
c) 2n > n2 ,
n
2
n3
= .
16
a) (1 + 2i ) + (4 + i ),
d) (−11 + i ) − (5 − 2i ),
g) (10 + 3i ) + (4 − 2i ),
j) (−9 + 7i ) + (−5 + 2i ),
Lösung:
a) 5 + 3i,
g) 14 + i,
b) −3 + i,
h) 6 + 5i,
b) (1 + 2i ) − (4 + i ),
e) (−11 + i ) + (5 − 2i ),
h) (10 + 3i ) − (4 − 2i ),
k) (−9 + 7i ) − (−5 + 2i ),
c) 2 + 9i,
i) 46 − 8i,
d) −16 + 3i,
j) −14 + 9i,
46
c) (1 + 2i ) · (4 + i ),
f) (−11 + i ) · (5 − 2i ),
i) (10 + 3i ) · (4 − 2i ),
l) (−9 + 7i ) · (−5 + 2i ).
e) −6 − i,
k) −4 + 5i,
f) −53 + 27i,
l) 31 − 53i.
Aufgabe 96
b)
Bestimmen Sie jeweils Re(z), Im(z), z und |z| für
a) z = 2,
e) z =
1
2
+
√
3
2 i,
b) z = 5i,
c) z = 3 + 4i ,
d) z = √1 + √1 i,
f) z = 7 − 6i,
g) z = 5 + 12i,
h) z = 2 + 2 3i.
2
√2
z · z = ( x + iy) · ( x − iy) = ( x2 − y(−y)) + i ( x (−y) + yx ) = x2 + y2 = |z|2 .
c) Es gilt zunächst
Lösung:
b)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Re z
2
0
3
5
0
5
4
2
√
z
2
|z|
2
−5i
3 − 4i
1
√2
3
2√
7
Im z
√1
2
√1
2
5
√1
2
5
− i √12
1
1
2
−
−6
3
2 i
7 + 6i
√
85
1
12
5 − 12i
13
2 3
√
2 − 2 3i
4
a)
b)
| z · w |2 = z · w · z · w = z · w · z · w = ( z · z ) · ( w · w ) = | z |2 · | w |2 .
Aus |z · w|, |z|, |w| > 0 folgt dann |zw| = |z| · |w|.
Aufgabe 99
Seien z, w ∈ C. Beweisen Sie mit Hilfe von A 98 (b) die Parallelogrammidentität:
| z + w |2 + | z − w |2 = 2| z |2 + 2| w |2 .
Aufgabe 97
Lösung:
Zeigen Sie für z ∈ C:
a) Re z =
z+z
,
2
b) Im(z) =
| z + w |2 + | z − w |2 = z + w · ( z + w ) + z − w · ( z − w )
= (z + w) · (z + w) + (z − w) · (z − w)
= zz + zw + wz + ww + zz − zw − wz + ww
= 2 · zz + 2 · ww
z−z
.
2i
Lösung:
Sei z = x + iy mit x, y ∈ R.
a)
z+z
x + iy + x − iy
2x
=
=
= x = Re z,
2
2
2
b)
x + iy − ( x − iy)
2iy
z−z
=
=
= y = Im z.
2i
2i
2i
= 2| z |2 + 2| w |2 .
Aufgabe 100
Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form u + iv mit u, v ∈ R:
1
a) ,
i
√
Aufgabe 98
Zeigen Sie für z, w ∈ C:
a) z · w = z · w,
b) |z|2 = z · z,
c) |z · w| = |z| · |w|.
Lösung:
Seien z = x + iy und w = u + iv mit x, y, u, v ∈ R.
a)
√
3 + 2 2i
√ ,
3 − 2i
e) √
i)
1
,
i + i+1 1
10 + 3i
b)
,
4 − 2i
f)
1
,
3 + 4i
g)
j)
(1 + i )5
,
(1 − i )3
k)
Lösung:
z · w = xu − yv + i ( xv + yu)
= xu − yv − i ( xv + yu)
= xu − (−y)(−v) + i ( x (−v) + (−y)u)
= ( x − iy) · (u − iv)
= z · w.
47
a) −i,
−1 3 √
+
6i,
5
5
i) 1 − i,
e)
b) 1.7 + 1.6i,
c) 2 + i,
3
4
− i,
25 25
j) 2,
2 11
i,
5
5
k) 1 + i,
f)
√ ! −1
1
3
d)
+
i
,
2
2
1+i 2
h)
,
1−i
5
c)
,
2−i
4 + 3i
,
1 − 2i
3 + 5i
,
4+i
l)
√
3
1
−
i,
2
2
h) −1,
−7 22
l)
+ i.
41
41
d)
g) − +
48
2 + 3i
.
4 − 5i
Aufgabe 101
Lösung:
a) z1 = − 12 + 12 i, z2 =
Berechnen Sie:
b) i (−i ) − i2 + i3 − i8 ,
a) i2 + i5 + i3 ,
1
e) 3 ,
i
i) i −1 − i −3 ,
1
f) 6 ,
i
j) i −2 + i2 ,
1 2
n) i −
,
i
1
i
m) i2 − ,
Lösung:
a) −1,
g) −1,
m) −1 + i,
b) 1 − i,
h) −1,
n) −4,
c) 3 + 4i,
i) −2i,
o) 1 + i,
c) 6i − 3i2 + 3i3 + i9 ,
i3
g) 5 ,
i
k) i31 ,
o) (−i )3 +
d) −3 + 4i,
j) −2,
p) 1 + i.
d) (2i − i2 )2 ,
i4
h) 2 ,
i
l) (1 + i )17 ,
1
i
1
,
i4
p) 1 − .
f) −1,
l) 256 + 256i,
e) i,
k) −i,
Bestimmen Sie die Polarkoordinatendarstellung der folgenden Zahlen. Wählen Sie dabei das
Argument ϕ im Intervall [0, 2π ).
a) −5,
√
2(1 − i )
d)
,
√ 2
3 3i
− .
h)
2
2
1+i
,
c)
2
√
g) − 3 + i,
b) −5i,
√
1+i 3
,
2
f) 3 + 3i,
b) 5 · ei
3π
2
√
i π3
1
π
c) √ ei 4 ,
,
d) ei
2
i π4
f) 3 2 · e ,
e) e ,
− 12 i
b) z1 = i 5, z2 = −i 5
q
√ 5+
−1 + 12 5 i, z2 = −z1
√
√
3 + i , z3 = − 12 − 3 + i
d) z1 = i, z2 = − 12
c) z1 =
q
1+
1
2
√
Aufgabe 105
Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen über C:
a) z2 − 2iz − 2 = 0,
d) z4 − 2z2 + 4 = 0,
g) z2 = iz,
b) z2 − 2z − i = 0,
e) z2 + 2(1 − i )z = 2i,
h) z2 + (2 − 2i )z = 4i,
g) 2 · e
i 5π
6
,
h)
7π
4
√
|w| + u + iε
q
i)
z2
= w über C
| w | − u , z2 = − z1 .
Aufgabe 104
Bestimmen Sie mit Hilfe von Aufgabe 103 a) die Lösungen der folgenden Gleichungen über C:
c) z2 = 2 + i,
49
√
−1+ 2
,
2
1+
q
√
1+ 2
2
z1 : =
q
√
1+ 2
2
√
2
√
+i
q
√ −1+ 2
,
2
o
— Knobelaufgaben —
b) Versuchen Sie eine Herleitung der obigen Lösungsformel zu finden.
b) z2 = −5,
g)
n
2
−i
o
√
√
0, −i, 12 ( 3 + i ), 12 (− 3 + i ) , h) {−2, 2i },
q
q
q √
√
√
− i −1+2 2 , −z1 , z2 := −1+2 2 − i 1+2 2 , −z2
5π
Hierbei ist ε ∈ {−1, 1} so gewählt, dass v = ε|v|.
a) z2 = − 2i ,
q
d) z1 := √1 ( 3 + i ), −z1 , z2 := √1 ( 3 − i ), −z2 ,e) {−1 + i },
3 · ei 3 .
a) Sei w = u + iv ∈ C. Zeigen Sie, dass die Lösungen der Gleichung
gegeben sind durch
q
√
1+ 2
2
c) {−1, −i, i },
n
1−
q
b)
,
Aufgabe 103 (*)
1
z1 = √
2
c) z3 + z2 + z + 1 = 0,
f) z3 − 3z2 + (3 − 2i )z = 1 − 2i,
i) z4 + 2iz2 = 2.
a) {−1 + i, 1 + i },
f) {1, −i, 2 + i },
Lösung:
a) 5 · eiπ ,
1
2
√
Lösung:
Aufgabe 102
e)
√
d) z3 = −i.
Aufgabe 106 (∗)
a) In der folgenden Addition stehen die Buchstaben für einzelne Ziffern (gleiche Buchstaben
bedeuten stets gleiche Ziffern, verschiedene Buchstaben verschiedene Ziffern): ABBC +
DADE = CEDAD. Finden Sie heraus, welche Rechnung durchgeführt wurde.
b) Untersuchen Sie wie in Teil (a) die Addition ABCB + DBBA = CEFC.
c) Warum kann die Rechnung 2962 + 1164 = 4126 nicht als Grundlage einer Aufgabe wie Teil
(a) verwendet werden?
Aufgabe 107 (∗)
Auf einem Tisch liegen 27 Streichhölzer. Zwei Spieler nehmen nun abwechselnd pro Zug mindestens ein Streichholz und höchstens vier Streichhölzer vom Tisch. Gewonnen hat derjenige, der
am Ende eine gerade Anzahl von Streichhölzern besitzt.
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a) Zeigen Sie, dass der zuerst nehmende Spieler stets gewinnen kann, indem Sie eine Gewinnstrategie für diesen Spieler angeben.
jeweils entweder eine Lösung an oder zeigen Sie, dass keine Lösung existieren kann (es wird
immer ein Springer auf einem Schachbrett der Größe 8 × 8 betrachtet).
b) Gewinnt der zuerst nehmende Spieler auch dann stets, wenn zu Beginn 28, 29, 30, 31, 32
oder 33 Streichhölzer auf dem Tisch liegen?
a) Geben Sie eine Springerzugfolge an, die auf einem beliebigen Feld startet, auf demselbem
Feld endet und jedes Feld des Schachbretts mit Ausnahme des Startfeldes genau einmal
berührt.
c) Das oben beschriebene Spiel soll nun für beliebige Anfangszahl von Streichhölzern untersucht
werden. Überlegen Sie sich eine Darstellung der auftretenden Spielpositionen, und beschreiben Sie alle Positionen, von denen aus der am Zug befindliche Spieler eine Gewinnstrategie
besitzt.
b) Geben Sie eine Springerzugfolge an, die auf dem Feld unten links beginnt, auf dem Feld oben
rechts endet und jedes Feld des Schachbretts genau einmal berührt.
d) Untersuchen Sie nun in ähnlicher Weise die Spielvariante, in der pro Zug mindestens ein
Streichholz und höchstens drei Streichhölzer vom Tisch genommen werden dürfen.
Aufgabe 108 (∗)
Die Quersumme Q(n) einer natürlichen Zahl n ist die Summe ihrer Ziffern; es gilt beispielsweise
Q(176) = 1 + 7 + 6 = 14. Bestimmen Sie ohne Zuhilfenahme eines Computers den Wert
Q( Q( Q(44444444 ))).
Aufgabe 109 (∗)
Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, das ’Haus vom Nikolaus’ ( ) ohne Absetzen des
Stiftes und ohne mehrfaches Durchlaufen derselben Strecke zu zeichnen, wenn in der Ecke links
oben unter dem Dach begonnen werden soll?
Aufgabe 110 (∗)
a) Gegeben seien die Zahlen 1, 3, 5 und 8. Mit diesen Zahlen, den vier Grundrechenarten +, −, ·
und : und Klammern bilde man alle natürlichen Zahlen zwischen 1 und 30 einschließlich, wobei
in jeder Rechnung die folgenden Einschränkungen einzuhalten sind: (i) Jede gegebene Zahl
muss genau einmal vorkommen. (ii) Das Minuszeichen darf nicht zur Bildung des Negativen
einer Zahl, sondern nur zur Bildung der Differenz zweier Zahlen verwendet werden. (iii) Das
Hintereinanderschreiben von Zahlen zur Bildung einer neuen Zahl ist nicht zulässig. (Zulässig
ist somit etwa 3 · 5 − (1 − 8) = 22, während 1 + 3 + 8 + 8 und 8 · 5 · 3 · (−1) sowie 13 + 5 − 8
nicht erlaubt sind.)
b) Nun seien die Zahlen 3, 4, 4 und 9 gegeben. Mit diesen Zahlen bilde man ebenfalls analog zu
Teil (a) alle Zahlen zwischen 1 und 30 einschließlich, wobei die doppelte Nennung der 4 hier
bedeutet, dass diese Zahl in jeder Rechnung genau zweimal auftreten muss.
c) Welches ist die kleinste natürliche Zahl, die man unter den in (a) und (b) genannten Bedingungen nicht mit genau viermaliger Verwendung der Zahl 3 darstellen lässt?
d) Finden Sie vier Zahlen (Mehrfachnennungen erlaubt), mit denen man unter den in (a) und (b)
genannten Bedingungen mehr als 70 Zahlen zwischen 1 und 99 einschließlich bilden kann.
Aufgabe 111 (∗)
Der Springer im Schachspiel zieht auf folgende Weise: zunächst ein Feld in gerader Richtung
(vorwärts, rückwärts, nach links oder nach rechts) und dann unter weiterer Entfernung vom
Startpunkt ein Feld in diagonaler Richtung. Geben Sie für die nachfolgenden Springer-Probleme
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