弧度法 ⑵

ラジオ
学習メモ
第 50 回
数学Ⅱ
第 3 章　三角関数　［加法定理］
弧度法 ⑵
講師
川﨑宣昭
弧度法は便利！
これまで，角の大きさは 30°
，60°
，90°
，…
などのように度を単位として表してきましたが，
ここでは，これとは別の角の表し方を考えます。
今回は，弧度法を使って，三角関数の値を求め
たり，おうぎ形の弧の長さや面積を求める方法
を学習します。
学習のポイント
① 弧度法による三角関数の値の求め方
② 弧度法によるおうぎ形の弧の長さと面積
③ おうぎ形の弧の長さと面積の求め方
弧度法による三角関数の値の求め方
弧度法を 60 分法（ラジアンを角度）に置き換える。
⃝ sin
7
1
π＝ sin210°＝ sin（30°＋180°）＝−sin30°＝−
← sin(θ＋180°) ＝−sinθ
6
2
※
7
7
7
180°
πラジアン＝ π× 1 ラジアン＝ π×
＝ 210°
6
6
6
π
π
1
) ＝ cos(−60°
) ＝ cos60°＝
← cos(−θ) ＝ cosθ
3
2
※−
π
π
π 180°
ラジアン＝− × 1 ラジアン＝− ×
＝− 60°
3
3
3
π
▼
⃝ cos(−
⃝ cos
1
7
π＝ cos315°＝ cos(135°＋180°) ＝− cos135°＝
← cos(θ＋180°) ＝−cosθ
2
4
※
7
7
7
180°
πラジアン＝ π× 1 ラジアン＝ π×
＝ 315°
4
4
4
π
⃝ sin(−
4
3
π) ＝ sin(−240°) ＝− sin240°＝− sin(180°＋60°) ＝− (−sin60°) ＝
3
2
← sin(−θ) ＝− sinθ，sin(θ＋180°) ＝− sinθ　※−
4
4
4
180°
πラジアン＝− π× 1 ラジアン＝− π×
＝− 240°
3
3
3
π
− 115 −
高校講座・学習メモ
数学Ⅱ
50 弧度法 ⑵
弧度法によるおうぎ形の弧の長さと面積
■弧度法で表された中心角の大きさと弧の長さ
半径が等しいおうぎ形は，中心角と弧の長さが比例する。
したがって，
おうぎ形の弧の長さ：円周の長さ＝おうぎ形の中心角： 2πラジアン (360°)
⇒ l：2πr＝θ：2π
よって，2πl ＝ 2πrθ
2πr
l
したがって，l＝rθ
θ
2π
O
O
r
r
■弧度法で表された中心角の大きさとおうぎ形の面積
半径が等しいおうぎ形の面積は，中心角の大きさに比例する。
したがって，
おうぎ形の面積：円の面積＝おうぎ形の中心角：ラジアン (360°)
▼
⇒ S:πr2 ＝θ：2π
よって，2πS ＝πr2θ
したがって，S ＝
l
1 2
rθ
2
θ
O
S
r
πr2
2πr
2π
O
r
【おうぎ形に関する公式】
半径 r のおうぎ形の中心角をθ，弧の長さを l，
θ
面積を S とするとき，
l ＝ rθ，S ＝
1
2
O
r 2θ
− 116 −
S
l
r
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数学Ⅱ
50 弧度法 ⑵
おうぎ形の弧の長さと面積の求め方
⃝半径 8cm，中心角
3
πのおうぎ形について，
4
弧の長さは，rl ＝ 8 ×
面積は，S ＝
※ S ＝
3
π＝ 6π(cm)
4
1 2
1
3
r θ＝ × 82 × π＝ 24π(cm2)
2
2
4
1 2
1
1
r θ＝
r(rθ) ＝
rl より，底辺 l が，高さが r の三角形の面積をイメージして
2
2
2
おうぎ形の面積を求めることかできるので，
S＝
1
× 8 × 6π＝ 24π(cm2) ➡ 三角形の面積を求めるような感覚！
2
⃝半径 6cm，中心角
2
πのおうぎ形について，
3
弧の長さは，rl ＝ 6 ×
面積は，S ＝
▼
※ S ＝
2
π＝ 4π(cm)
3
1 2
1
2
r θ＝ × 62 × π＝ 12π(cm2)
2
2
3
1
1
rl ＝ × 6 × 4π＝ 12π(cm2) ➡　三角形の面積を求めるような感覚！
2
2
− 117 −
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