AB + - SUUGAKU.JP

1
平面上に同一直線上にない 3 点 A，B，C が与えられているとし，4ABC の内部の点 P が
3
実数 x に対して，f(®) = f(x) を満たす最大の ® をとり
¡!
¡
!
¡
! ¡
!
4AP + 7BP + 2CP = 0
F(x) = ® ¡ x
を満たしているとする．線分 AP を延長した直線と線分 BC との交点を Q，線分 BP を延長した
直線と線分 AC との交点を R とおく．
ア
¡!
(1) AP =
イ
(2) 点 P は線分 AQ を
キ
と定める．
エ
¡!
AB +
ウ
オ
:
ク
カ
例えば，f(x) = x2 の場合，実数 x に対して ® の方程式 f(®) = f(x) は ®2 = x2 であり，
¡!
AC である．
に内分する点であり，点 Q は線分 BC を
ケ
:
® = §x となる．したがって，その 2 つの ® のうち大きい方をとれば次を得る．
コ
x < 0 のとき ® = ¡x により F(x) = ® ¡ x = ¡2x = 2 x
に内分する点である．
x = 0 のとき ® = x により F(x) = ® ¡ x = 0
(3) 4APB の面積を S，四角形 CQPR の面積を T とおくと，
S:T=
サ
:
2 次関数や 3 次関数 y = f(x) から新しい関数 F(x) を次のように作る．
シ
以下では f(x) = x3 ¡ 3b2 x (b > 0) に対して，上の操作で定めた関数 F(x) を考える．
ス
(1) F(¡b); F(0); F(b) の値を求めよ．
(2) F(x) = 0 となる x の範囲を求めよ．また F(x) > 0 となる x の範囲を求めよ．
である．
(3) F(x) > 0 となる x に対し，f(®) = f(x) を満たす最大の ® を x の式で表せ．
（東京理科大学 2014 ）
(4) 関数 y = F(x) を求め，そのグラフの概形をかけ．また F(x) の最大値を求めよ．
（中央大学 2012 ）
2
以下の問いに答えよ．
(1) sin 3µ を sin µ を用いて表せ．
(2) sin
4
3¼
¼
¼
2¼
= sin
に着目して cos
と sin
の値を求めよ．
5
5
5
5
(3) 積 sin
h > 0; d = 0 とし，座標空間において 4 点 A(0; 0; 1)，B(0; 0; ¡1)，C(h; 0; ¡d)，
D(0; h; d) を頂点とする四面体を考える．さらに CD = 2 とする．したがって，四面体の 6 本
の辺のうち向かい合う 2 辺の長さは 3 組とも互いに等しい．つまり
¼
2¼
3¼
4¼
sin
sin
sin
の値を求めよ．
5
5
5
5
（中央大学 2012 ）
AB = CD;
AC = BD;
AD = BC
となっており，4 つの面はすべて互いに合同である．この四面体 ABCD について以下の問いに
答えよ．
(1) h を d で表し，d のとりうる値の範囲を求めよ．
点 A を通り平面 BCD に垂直な直線と平面 BCD の交点を P とおく．この点 P を点 A から平面
BCD に下ろした垂線の足とよぶ．同様に，点 B から平面 ACD に下ろした垂線の足を Q，点 C
6
次の問題文の空欄にもっとも適する答えを解答群から選び，その記号をマークせよ．ただし，同
じ記号を 2 度以上用いてもよい．
から平面 ABD へ下ろした垂線の足を R，点 D から平面 ABC へ下ろした垂線の足を S とおく．
a; b; r; k は a > b > 0，r > 0，k > 0 を満たす定数とする．
(2) 点 R，S は直線 AB 上にあることに注意して，R，S の座標を d で表せ．また，四面体 ABCD の
¡! ¡!
対称性を考慮して，点 P，Q の座標を d で表せ．さらに，計算により AP ¢ BQ = 0 を確認せよ．
(3) 辺 BD の長さのとりうる値の範囲を求めよ．
¼
; で交わっている．µ のとり
(4) 平面 ABC と平面 ACD が直線 AC に沿って角度 µ #0 5 µ 5
2
うる値の範囲を求めよ．ただし 2 平面の交わる角度とは，それぞれの平面に直交する 2 直線の
なす角度である．
（中央大学 2012 ）
座標平面の相異なる 3 点 A，B，C が円 X2 + Y2 = r2 の上を動くとき，4ABC の面積 S1 の
最大値は次のようにして求められる．まず，2 点 B，C を固定して点 A を動かすとき，その三角
形の高さに注意すれば，面積が最大となるのは，AB = AC であるような二等辺三角形のとき
である．したがって，この円に内接する二等辺三角形のうちで面積が最大のものを見つければ
¼
¼
; とす
よい．そこで，A(0; r)，B(¡r cos µ; r sin µ)，C(r cos µ; r sin µ) #¡
<µ<
2
2
れば S1 の最大値は sin µ = アのとき S1 =
イ r2 であることがわかる．
点 P(x; y) の y 座標を k 倍した点を P0 (x; ky) とおく．相異なる 3 点 A，B，C の座標を
¡! ¡!
A(x1 ; y1 )，B(x2 ; y2 )，C(x3 ; y3 ) としたとき，4ABC の面積 S は内積 AB ¢ AC を用いて計
算すると
5
1
; (0 < x 5 1) とおく．f(x) = 0 となるすべての x を，大きい順に
f(x) = sin #log
x
a0 ; a1 ; a2 ; Ý とする．以下の問いに答えよ．
(1) an (n = 0; 1; 2; Ý) を求めよ．
と表される．したがって，点 A0 (x1 ; ky1 )，B0 (x2 ; ky2 )，C0 (x3 ; ky3 ) のな
す三角形の面積を S2 とおくと，S2 は S の
エ
倍である．
y2
x2
a
+ 2 = 1 の上を動く点とする．k =
であるとき，点 P0 (x; ky)
2
b
a
b
は原点を中心とする半径オの円上を動く．したがって，相異なる 3 点 A，B，C が楕円 E
点 P(x; y) は楕円 E :
上を動くとき，4ABC の面積の最大値は a; b を用いて
(2) 正の定数 a; b に対し
と表される．
カ
² ア，イの解答群
d
(Ae¡ax cos bx + Be¡ax sin bx) = e¡ax cos bx
dx
a ¡
を満たす定数 A; B を求め，不定積分
Z
ウ
1
2
p
e¡ax cos bx dx
を求めよ．
Z an
1
(3) bn =
ff(x)g2 dx (n = 0; 1; 2; Ý) を，t = log
とおくことにより求めよ．
x
an+1
1
P
(4) (3) で得られた数列 fbn g に対し，無限級数
bn の和を求めよ．
n=0
（中央大学 2012 ）
b ¡
1
3
p
3
f ¡
2
3
g ¡
3
p
8 2
k
9
p
2+ 3
l
4
c
h
m
1
3
d
p
3
4
p
p
2(1 + 3)
3
² ウの解答群
a (x2 ¡ x1 )(x3 ¡ x1 ) + (y2 ¡ y1 )(y3 ¡ y1 )
b
1
(x2 ¡ x1 )(x3 ¡ x1 ) + (y2 ¡ y1 )(y3 ¡ y1 )
2
c (x2 ¡ x1 )(y3 ¡ y1 ) ¡ (x3 ¡ x1 )(y2 ¡ y1 )
d
1
(x2 ¡ x1 )(y3 ¡ y1 ) ¡ (x3 ¡ x1 )(y2 ¡ y1 )
2
i
1
2
e
p
p
3 3
j
4
3
2
16
9
e (x2 ¡ x1 )(y3 ¡ y1 ) + (x3 ¡ x1 )(y2 ¡ y1 )
1
(x2 ¡ x1 )(y3 ¡ y1 ) + (x3 ¡ x1 )(y2 ¡ y1 )
2
C
C
g (x2 ¡ x1 )2 + (y2 ¡ y1 )2 (x3 ¡ x1 )2 + (y3 ¡ y1 )2
f
¡f(x2 ¡ x1 )(x3 ¡ x1 ) + (y2 ¡ y1 )(y3 ¡ y1 )g
C
C
1
(x2 ¡ x1 )2 + (y2 ¡ y1 )2 (x3 ¡ x1 )2 + (y3 ¡ y1 )2
h
2
¡f(x2 ¡ x1 )(x3 ¡ x1 ) + (y2 ¡ y1 )(y3 ¡ y1 )g—
² エの解答群
a
1
k3
b
1
k2
c
1
k
d
2
k
e
k
2
f k
g k2
h k3
² オの解答群
a
2
b
f
2
a
a2
4
b2
g
4
b
c a
d a2
e ab
h b
i b2
j (ab)2
² カの解答群
a
f
p
3
ab
2
p
3 a3
2 b
p
8 2
b
ab
9
c
p
8 2 a3
9
b
h
g
p
3
ab
4
p
3 a3
4 b
16
d
ab
9
i
16 a3
9 b
p
3 3
e
ab
4
j
p
3 3 a3
4
b
（中央大学 2012 ）

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