第1回中間試験解説

1N / m 2 = 1Pa
G = 10 9
ですから、まず、左辺単位をmm2からm2に直すことから始めます。
1N
1mm 2
1N
= 206 × 10 3
1mm × 1mm
1N
= 206 × 10 3 −3
10 m × 10 −3 m
1N
= 206 × 10 3 −6 2
10 m
3
= 206 × 10 × 10 6 N / m 2
206 × 10 3 N / mm 2 = 206 × 10 3
= 206 × 10 9 N / m 2
= 206 × 10 9 Pa
= 206GPa
ここで、次の関係を使っています。これは暗記してください。
10 n × 10 m = 10 n+m
(10 )
n m
= 10 n×m
a
b = a×d
c b×c
d
1
1
1
10 − n = n → − n =
= 10 n
1
10
10
10 n
P.1
教科書に関係式が書いてありあます。PSはドイツ語のPferdestärkeの略で馬力のことです。これ以
外に英国馬力という換算率の異なる馬力がありますが、㏋で表されます。これは英語のHorse
Powerの略です。索引で馬力を検索するとP.149になっています。
1
PS
735
441× 10 3
3
441kW = 441× 10 W =
PS = 600PS
735
1PS = 735W → 1W =
180! = π rad → 1! =
π
rad
180
になることは暗記しておいてください。
70! = 70 ×
π
rad = 1.222rad
180
科学的表記法とは数値を
N × 10 n
という形で表す方法です。したがって、
0.507mm = 0.507 × 10 −3 m = 5.07 × 10 −4 m
になります。
P.2
密度と比重量、比重の関係は暗記しなくてはなりません。密度をρ、比重量をγ、比重をsで表し、
さらに水の値には添え字wをつけると、これらの関係は
s=
ρ
γ
=
ρw γ w
になります。密度は単位体積あたりの質量、比重量は単位体積あたりの重量になりますから、こ
の合金板の重量は体積非重量になります。密度と比重量の関係は
γ = ρg
です。これも暗記しなくてはいけません。わかりやすくするために、長さの単位をm、質量の単位
をkgに換算してから計算をします。
ρ = 2.68g / cm 3
1g
= 2.68
1cm 3
10 −3 kg
= 2.68
1cm × 1cm × 1cm
10 −3 kg
= 2.68 −2
10 m × 10 −2 m × 10 −2 m
10 −3
= 2.68 × −6 kg / m 3
10
= 2.68 × 10 −3+6 kg / m 3
= 2.68 × 10 3 kg / m 3
W = Vγ
= V ρg
= 0.9m × 0.45m × 0.002m × 2.68 × 10 3 kg / m 3 × 9.81m / s 2
= 21.3m × m × m × kg / m 3 × m / s 2
m × m × m × kg × m
= 21.3
m3 × s2
= 21.3kgm / s 2
= 21.3N
P.3
似たような問題が演習にありましたが、違っているのは角度が書かれていないことです。ロープ
と水平線のなす角度は三角比でもとめることができます。
a
c
θ
b
sin θ =
c
⎛ c⎞
→ θ = sin −1 ⎜ ⎟
⎝ a⎠
a
cosθ =
b
⎛ b⎞
→ θ = cos −1 ⎜ ⎟
⎝ a⎠
a
tan θ =
a
⎛ a⎞
→ θ = tan −1 ⎜ ⎟
⎝ b⎠
b
ですから角CAB、角CBAをもとめることができます。
⎛ 4⎞
∠CAB = tan −1 ⎜ ⎟ = 53.13!
⎝ 3⎠
⎛ 4⎞
∠CBA = tan −1 ⎜ ⎟ = 38.66!
⎝ 5⎠
∠ACB = 180! − ∠CAB − ∠CBA = 180! − 53.13! − 38.66! = 88.21!
となります。FACとFBCの合力が重量と同じ大きさで同一作用線上、逆向きになっていると考えま
す。したがって、下右の三角形より
90-53.13=36.87
FAC
mg
mg
53.13
FAC
FBC
38.66
FBC
90-38.66=51.34
P.4
mg
FAC
FBC
=
=
!
!
!
sin 51.34 sin 36.87!
sin 53.13 + 38.66
(
)
sin 51.34 !
FAC =
mg
sin 53.13! + 38.66!
(
)
sin 51.34 !
=
× 100 × 9.81
sin 53.13! + 38.66!
(
)
= 766N
FBC =
sin 36.87!
mg
sin 53.13! + 38.66!
(
)
sin 36.87!
=
× 100 × 9.81
sin 53.13! + 38.66!
(
)
= 589N
物体と物体の接触点に作用する力は摩擦力と垂直反力の二つでこれらの合力が反力となります。
この問題では滑らかな面に接しているので垂直反力のみが作用します。自由体図は下図のようにな
ります。
RB
RA
mg
RB
RA
RB
mg
mg
20
RB
RA
mg
90
RA
180-90-20=70
P.5
作用線は円筒の中心で交わりますから、ここに三力が作用して釣り合っています。RAとRBの合力
がmgと同じ大きさで同一作用線上、逆向きに作用していると考えられますから、この三角形に着
目すれば、
mg
RA
RB
=
=
sin 70! sin 20! sin 90!
sin 20!
RA =
mg
sin 70!
sin 20!
=
× 100 × 9.81
sin 70!
= 357N
sin 90!
RB =
mg
sin 70!
sin 90!
=
× 100 × 9.81
sin 70!
= 1040N
= 1.04kN
垂直方向の力の釣り合い式と水平方向の力の釣り合い式を考えます。Aは固定されているので垂直
方向の反力と水平方向の反力を発生しますが、Bは左右に動くことができるので、垂直方向の反力
のみになります。
−200 − 300 − 150sin 60! − 250sin 45! + RAy + RB = 0
RAx + 150 cos 60! + 250 cos 45! = 0
未知数が３つで式が二つしかありませんから、このままでは解くことができません。そこでモー
メントの釣り合い式をたてます。A点回りのモーメントの釣り合い式をたてると、
P.6
200 × 0.2 − 300 × 0.2 − ( 0.2 + 0.8 ) × 150sin 60!
+ ( 0.2 + 0.8 + 0.2 ) RB − ( 0.2 + 0.8 + 0.2 + 0.2 ) × 250sin 45! = 0
となります。したがって、
RB =
−200 × 0.2 + 300 × 0.2 + ( 0.2 + 0.8 ) × 150sin 60! + ( 0.2 + 0.8 + 0.2 + 0.2 ) × 250sin 45!
( 0.2 + 0.8 + 0.2 )
= 331N
RAx = −150 cos 60! − 250 cos 45! = −251.8N
RAy = 200 + 300 + 150sin 60! + 250sin 45! − RB = 476N
⎧ R = R 2 + R 2 = 538N
Ax
Ay
⎪⎪ A
∴⎨
RAy ⎞
−1 ⎛
= −62.1!
⎪θ = tan ⎜
⎟
⎝ RAx ⎠
⎪⎩
となります。
ひもCDに作用する張力の作用線とFの作用線の交点の方向を反力の作用線は通ることに注意すれ
ば、自由体図は下図のようになります。
P.7
A
F
T
R
C
Ry
β
Rx
R
B
ただし、この問題ではRの向きを出すことが面倒なので、Rが壁となす角をβとおき、垂直方向の
分力Ryと水平方向の分力Rxを考えて力の釣り合い式をたてます。
T − Rx = 0
−F + Ry = 0
未知数が３つで式が二つしかありませんから、このままでは解くことができません。そこで、モー
メントの釣り合い式をたてます。B点回りのモーメントの釣り合い式を考えれば、
2l sin θ × F − l cosθ × T = 0
A
2sin θ
2 × sin 30!
∴T =
F=
× 100 = 115N
cosθ
cos 30!
F
θ
l
T
したがって、
C
Rx = T = 115N
Ry = F = 100N
lcosθ
θ
R = Rx2 + Ry2 = 153N
l
B
2lsinθ
となります。
P.8

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