工業数学 1. フーリエ級数展開 フーリエ変換の基本姿勢 信号(物理現象)は様々な事象が 混合された結果として観測される 観測信号を簡単な信号に分解して 扱えばよい? 正弦波を基本にしよう なぜ正弦波? 無限に連続した繰り返し信号は すべて正弦波の合成で表現が 可能である 正弦波 f t A sin t 1 周期:T 0.5 振幅:A t 0 -0.5 -1 00 50 π/2 100 π 150 3π/2 2 f 200 2π 250 5π/2 300 3π : 角周波数(角速度) ( 位相 ) 正弦波 f t A sin t T : 周期 同じ波が繰り返す時間 (t) f : 周波数 1秒間に繰り返す頻度 (Hz) : 角周波数(角速度) 1秒間に進む角度 (rad/s) 時間軸における正弦波の合成 振幅が等しく,周期が異なる 2つの正弦波の合成 1 0.5 f1 t sin t 0 f 2 t sin 2t -0.5 -1 00 π/2 50 π 100 3π/2 150 2π 200 5π/2 250 3π 300 2 1 f c t f1 t f 2 t 0 -1 -2 00 π/2 50 π 100 3π/2 150 2π 200 5π/2 250 3π 300 時間軸における正弦波の合成 振幅が異なり,周期が異なる 2つの正弦波の合成 1 0.5 f1 t 0.7 sin t 0 f 2 t 0.3 sin 2t -0.5 -1 00 50 π/2 100 π 150 3π/2 200 2π 250 5π/2 300 3π 1 0.5 f c t f1 t f 2 t 0 -0.5 -1 00 50 π/2 100 π 150 3π/2 200 2π 250 5π/2 300 3π どんな信号(波形)でも表現可能? 2 1 0 -1 -2 00 π/2 50 π 100 3π/2 150 2π 200 5π/2 250 3π 300 のこぎり波でも? とてもsin関数には見えないんだけど? 1 0.5 0 -0.5 ・・・ -1 00 50 π/2 100 π 150 3π/2 200 2π 250 5π/2 2 300 3π f cfctt sinf1 t f 2 t nf 3 1t sin nt 2 n 1 0 -1 -2 00 f1 t sin t 1 f 2 t sin 2t 2 1 f 3 t sin 3t 3 1 f n t sin nt n 50 π/2 100 π 150 3π/2 200 2π 250 5π/2 300 3π 正弦波の合成で 振幅や周期の異なる複数の正弦波を 合成することで三角波や矩形波でも 表現が可能! 周期Tを基準にして 分解できる? 0 f1 t 4 0 0 f1 t f 2 t f 2 t 4 正弦波で分離するために(1) 振幅・周期に加えて,位相が異なる 正弦波が混在していることもある 周期だけで単純に分離することは できない ( t = 0で初期位相がないとは限らない ) 1 f1とf2に位相なし 0.5 f1 t sin t 0 -0.5 -1 00 f 2 t sin 2t π/2 50 π 100 3π/2 150 2π 200 5π/2 250 3π 300 2 1 f c t f1 t f 2 t 0 -1 -2 00 π/2 50 π 100 3π/2 150 2π 200 5π/2 250 3π 300 1 f1とf2に位相あり 0.5 f1 t sin t 0 -0.5 -1 00 f 2 t sin 2t π/2 50 π 100 3π/2 150 2π 200 5π/2 250 3π 300 2 1 f c t f1 t f 2 t 0 -1 -2 00 π/2 50 π 100 3π/2 150 2π 200 5π/2 250 3π 300 正弦波で分離するために(2) 振幅・周期・位相に加えて,繰り返し のない信号が混在していることもある 直流についての考慮も必要 1 0.5 f1とf2に位相あり かつ直流分あり 0 f1 t sin t -0.5 -1 00 f 2 t sin 2t 50 π/2 100 π 150 3π/2 200 2π 250 5π/2 300 3π 32 21 fcc t f11 t f22 t +f 3 t 0 1 -1 0 -2 -1 00 f 3 t a3 50 π/2 100 π 150 3π/2 200 2π 250 5π/2 300 3π 位相がずれた波形の分離 正弦波と余弦波で考える ( フーリエ級数展開 ) フーリエ級数展開 周期 T の周期信号 f t について 1 1周期分である周波数 および T 2 3 n 整数倍の周波数 , ,・・・, T T T を考える フーリエ級数展開 1 1 f t a0 a1 cos 2 t b1 sin 2 t T T 2 2 a2 cos 2 t b2 sin 2 t T T 3 3 a3 cos 2 t b3 sin 2 t T T フーリエ級数展開 n n f t a0 an cos 2 t bn sin 2 t T T n 1 : 直流成分 an , bn : 係 数 a0 ・・・ ① f t は正弦波と余弦波の合成 として表現される なぜsinとcosを足している? a a sin a cos 0 では sin 0 , cos a θ 2 では sin a , cos 0 実際の信号では は任意の値を取るため 図の通り,sinとcosの和で表現するのが簡単 1 0.5 f1 t sin t 0 f 2 t cost -0.5 -1 00 50 π/2 100 π 150 3π/2 200 2π 250 5π/2 300 3π 1.5 1 0.5 f c t f1 t f 2 t 0 -0.5 -1 -1.5 00 π/2 50 π 100 3π/2 150 2π 200 5π/2 250 3π 300 フーリエ級数展開 n n f t a0 an cos 2 t bn sin 2 t T T n 1 : 直流成分 an , bn : 係 数 a0 ・・・ ① f t は正弦波と余弦波の合成 として表現される フーリエ級数係数 ①式を整理することで求められる 1 a0 T T /2 T / 2 f (t )dt 2 T /2 n an f t cos 2 t dt T T / 2 T 2 T /2 n bn f t sin 2 t dt T T / 2 T フーリエ級数展開の例 T 2 の のこぎり波 f t 1 t -π 0 -1 π 2π 3π フーリエ級数展開の例 n n f t a0 an cos 2 t bn sin 2 t T T n 1 bn sin nt 0 0 , cosnt ∵ a0 n 1 t の区間では t f t フーリエ級数展開の例 n 2 T /2 bn f t sin 2 t dt より T T / 2 T 1 f t sin nt dt sin nt dt 1 t 1 2 t sinnt dt f t g ' t dt f t g t f ' t g t dt b b a a b a を用いて フーリエ級数展開の例 1 1 1 bn 2 t・ cosnt 2 n 2 1 cosn 2 n 1 n 2 sin nt 2 2 n 1 cosn n n 2 n 1 1 n 1 cosnt dt n フーリエ級数展開の例 f t bn sin nt n 1 2 n 1 1 bn n 2 1 1 f t sin t sin 2t sin 3t 2 3 1 2/π 0.5 00 -2/π -1 00 2 ・・・ -0.5 f1 t sin t 1 f 2 t sin 2t 2 1 f 3 t sin 3t 3 1 300 sin n t 3π f n t n 50 π/2 100 π 150 3π/2 200 2π 250 5π/2 1 f c t sin t 1 00 (1) -1 -1 -2 00 50 π/2 100 π 150 3π/2 200 2π 250 5π/2 300 3π n 1 n 1 2 n sin nt 1 0.5 0 -0.5 ・・・ -1 00 50 π/2 100 π 150 3π/2 200 2π 250 5π/2 2 300 3π f cfctt sinf1 t f 2 t nf 3 1t sin nt 2 n 1 0 -1 -2 00 f1 t sin t 1 f 2 t sin 2t 2 1 f 3 t sin 3t 3 1 f n t sin nt n 50 π/2 100 π 150 3π/2 200 2π 250 5π/2 300 3π 問題: 矩形波のフーリエ級数展開 T 2 の 矩形波 1 f t t -π -a 0 a π 2π フーリエ級数展開 n n f t a0 an cos 2 t bn sin 2 t T T n 1 1 T /2 a0 f (t )dt T T / 2 a0 : 直流成分 , bn : 係 an 数 2 T /2 n an f t cos 2 t dt T T / 2 T 2 T /2 n bn f t sin 2 t dt T T / 2 T 回答: 矩形波のフーリエ級数展開 n n f t a0 an cos 2 t bn sin 2 t T T n 1 a0 an cosnt 0 ∵ sin nt n 1 n 2 T /2 an f t cos 2 t dt T T / 2 T 1 T /2 a0 f (t )dt T T / 2 回答: 矩形波のフーリエ級数展開 2 T /2 n an f t cos 2 t dt T T / 2 T 2 a 1 f t cosnt dt cosnt dt 2 sin na n 1 T /2 a0 f (t )dt a T T / 2 0 回答: 矩形波のフーリエ級数展開 f t a0 an cosnt n 1 2 sin na cosnt n 1 n 1 a sin na cosnt sin 2a cos2t 2 2 2 1 1 sin 3a cos3t sin 4a cos4t 4 3 1 sin 5a cos5t 5 a 回答: フーリエ級数の導出 1.5 1 0.5 0 -0.5 0 -π 50-a 100 0 a 150 π 200 250 300 2π ( a = π/2の例 )
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