null

工業数学
1. フーリエ級数展開
フーリエ変換の基本姿勢
信号（物理現象）は様々な事象が
混合された結果として観測される
観測信号を簡単な信号に分解して
扱えばよい？
正弦波を基本にしよう
なぜ正弦波？
無限に連続した繰り返し信号は
すべて正弦波の合成で表現が
可能である
正弦波
f t   A sin t 
1
周期：T
0.5
振幅：A
t
0
-0.5
-1
00
50
π/2
100
π
150
3π/2
  2　f
200
2π
250
5π/2
300
3π
：角周波数（角速度）
（位相）
正弦波
f t   A sin t 
T ：周期
同じ波が繰り返す時間 (t)
f ：周波数
1秒間に繰り返す頻度 (Hz)

：角周波数（角速度）
1秒間に進む角度（rad/s）
時間軸における正弦波の合成
振幅が等しく，周期が異なる
２つの正弦波の合成
1
0.5
f1 t   sin t 
0
f 2 t   sin 2t 
-0.5
-1
00
π/2
50
π
100
3π/2
150
2π
200
5π/2
250
3π
300
2
1
f c t   f1 t   f 2 t 
0
-1
-2
00
π/2
50
π
100
3π/2
150
2π
200
5π/2
250
3π
300
時間軸における正弦波の合成
振幅が異なり，周期が異なる
２つの正弦波の合成
1
0.5
f1 t   0.7  sin t 
0
f 2 t   0.3  sin 2t 
-0.5
-1
00
50
π/2
100
π
150
3π/2
200
2π
250
5π/2
300
3π
1
0.5
f c t   f1 t   f 2 t 
0
-0.5
-1
00
50
π/2
100
π
150
3π/2
200
2π
250
5π/2
300
3π
どんな信号（波形）でも表現可能？
2
1
0
-1
-2
00
π/2
50
π
100
3π/2
150
2π
200
5π/2
250
3π
300
のこぎり波でも？
とてもsin関数には見えないんだけど？
1
0.5
0
-0.5
・・・
-1
00
50
π/2
100
π
150
3π/2
200
2π
250
5π/2
2
300
3π
f cfctt sinf1 t   f 2 t 　 nf 3 1t 
  sin nt 
2 n
1
0
-1
-2
00
f1 t   sin t 
1
f 2 t   sin 2t 
2
1
f 3 t   sin 3t 
3
1
f n t   sin nt 
n
50
π/2
100
π
150
3π/2
200
2π
250
5π/2
300
3π
正弦波の合成で
振幅や周期の異なる複数の正弦波を
合成することで三角波や矩形波でも
表現が可能！
周期Tを基準にして
分解できる？
0
f1 t 
4
0
0
f1 t   f 2 t 
f 2 t 
4
正弦波で分離するために（１）
振幅・周期に加えて，位相が異なる
正弦波が混在していることもある
周期だけで単純に分離することは
できない
（ t = 0で初期位相がないとは限らない）
1
f1とf2に位相なし
0.5
f1 t   sin t 
0
-0.5
-1
00
f 2 t   sin 2t 
π/2
50
π
100
3π/2
150
2π
200
5π/2
250
3π
300
2
1
f c t   f1 t   f 2 t 
0
-1
-2
00
π/2
50
π
100
3π/2
150
2π
200
5π/2
250
3π
300
1
f1とf2に位相あり
0.5
f1 t   sin t   
0
-0.5
-1
00
f 2 t   sin 2t 
π/2
50
π
100
3π/2
150
2π
200
5π/2
250
3π
300
2
1
f c t   f1 t   f 2 t 
0
-1
-2
00
π/2
50
π
100
3π/2
150
2π
200
5π/2
250
3π
300
正弦波で分離するために（２）
振幅・周期・位相に加えて，繰り返し
のない信号が混在していることもある
直流についての考慮も必要
1
0.5
f1とf2に位相あり
かつ直流分あり
0
f1 t   sin t   
-0.5
-1
00
f 2 t   sin 2t 
50
π/2
100
π
150
3π/2
200
2π
250
5π/2
300
3π
32
21
fcc t   f11 t   f22 t 　＋f 3 t 
0
1
-1
0
-2
-1
00
f 3 t   a3
50
π/2
100
π
150
3π/2
200
2π
250
5π/2
300
3π
位相がずれた波形の分離
正弦波と余弦波で考える
（フーリエ級数展開）
フーリエ級数展開
周期 T の周期信号 f t  について
1
１周期分である周波数
および
T
2 3
n
整数倍の周波数
，，・・・，
T T
T
を考える
フーリエ級数展開

1 
1 


f t   a0   a1 cos 2 t   b1 sin  2 t 　 T 
 T 


2 
2 


  a2 cos 2 t   b2 sin  2 t 　 T 
 T 


3 
3 


  a3 cos 2 t   b3 sin  2 t 　 T 
 T 


フーリエ級数展開

n 
 n 

f t   a0    an cos 2 t   bn sin  2 t 
 T 
 T 
n 1 

：直流成分
an ， bn ：係
数
a0
・・・ ①
f t  は正弦波と余弦波の合成
として表現される
なぜsinとcosを足している？
a
a sin 

a cos 
  0 では
sin   0 ， cos   a
θ

2
では
sin   a ， cos   0
実際の信号では  は任意の値を取るため
図の通り，sinとcosの和で表現するのが簡単
1
0.5
f1 t   sin t 
0
f 2 t   cost 
-0.5
-1
00
50
π/2
100
π
150
3π/2
200
2π
250
5π/2
300
3π
1.5
1
0.5
f c t   f1 t   f 2 t 
0
-0.5
-1
-1.5
00
π/2
50
π
100
3π/2
150
2π
200
5π/2
250
3π
300
フーリエ級数展開

n 

 n 
f t   a0    an cos 2 t   bn sin  2 t 
 T 
 T 
n 1 

：直流成分
an ， bn ：係
数
a0
・・・ ①
f t  は正弦波と余弦波の合成
として表現される
フーリエ級数係数
①式を整理することで求められる
1
a0 
T

T /2
T / 2
f (t )dt
2 T /2
n 

an  
f t  cos 2 t dt
T T / 2
 T 
2 T /2
n 

bn  
f t sin  2 t dt
T T / 2
 T 
フーリエ級数展開の例
T  2 ののこぎり波
f t 
1
t
-π
0
-1
π
2π
3π
フーリエ級数展開の例

n 

 n 
f t   a0    an cos 2 t   bn sin  2 t 
 T 
 T 
n 1 


  bn sin nt 
0
 0 ， cosnt 　∵ a0 n 1
   t   の区間では
t
f t 　

フーリエ級数展開の例
n 
2 T /2

bn  
f t sin  2 t dt より
T T / 2
 T 
1 
  f t sin nt dt





sin nt dt

 
1
t

1

2

  t sinnt dt

 f t g ' t dt   f t g t    f ' t g t dt
b
b
a
a
b
a
を用いて
フーリエ級数展開の例

1  1
1

bn  2 t・ cosnt   2
  n
  
2
1

cosn   2

n




 1

 n 2 sin nt 
 

2
2
n
 1

cosn 　
n
n
2
n 1
 1

n
1
cosnt dt
n
フーリエ級数展開の例

f t    bn sin nt 
n 1
2
n 1
 1
bn 
n
2
1
1

f t    sin t   sin 2t   sin 3t   
2
3


1
2/π
0.5
00
-2/π
-1
00
2
・・・
-0.5
f1 t   sin t 
1
f 2 t    sin 2t 
2
1
f 3 t   sin 3t 
3
1
300
sin n t 
3π f n t  
n
50
π/2
100
π
150
3π/2
200
2π
250
5π/2
1
f c t   sin t 
1
00
 (1)
-1
-1
-2
00
50
π/2
100
π
150
3π/2
200
2π
250
5π/2
300
3π
n 1
n
1
2 n sin nt 
1
0.5
0
-0.5
・・・
-1
00
50
π/2
100
π
150
3π/2
200
2π
250
5π/2
2
300
3π
f cfctt sinf1 t   f 2 t 　 nf 3 1t 
  sin nt 
2 n
1
0
-1
-2
00
f1 t   sin t 
1
f 2 t   sin 2t 
2
1
f 3 t   sin 3t 
3
1
f n t   sin nt 
n
50
π/2
100
π
150
3π/2
200
2π
250
5π/2
300
3π
問題：矩形波のフーリエ級数展開
T  2 の矩形波
1
f t 
t
-π -a 0
a
π
2π
フーリエ級数展開

n 
 n 

f t   a0    an cos 2 t   bn sin  2 t 
 T 
 T 
n 1 

1 T /2
a0  
f (t )dt
T T / 2
a0
：直流成分
， bn ：係
an 数
2 T /2
n 

an  
f t  cos 2 t dt
T T / 2
 T 
2 T /2
n 

bn  
f t sin  2 t dt
T T / 2
 T 
回答：矩形波のフーリエ級数展開

n 
 n 

f t   a0    an cos 2 t   bn sin  2 t 
 T 
 T 
n 1 


 a0   an cosnt 
0
∵ sin nt 　n 1
n 
2 T /2

an  
f t  cos 2 t dt
T T / 2
 T 
1 T /2
a0  
f (t )dt
T T / 2
回答：矩形波のフーリエ級数展開
2 T /2
n 

an  
f t  cos 2 t dt
T T / 2
 T 
2 a
1 
  f t  cosnt dt   cosnt dt


2

sin na 
n
1 T /2
a0  
f (t )dt  a
T T / 2


0
回答：矩形波のフーリエ級数展開

f t   a0   an cosnt 
n 1

2
 
sin na  cosnt 
 n 1 n
1
a

  sin na  cosnt   sin 2a  cos2t 
2
2


2 1
1
   sin 3a  cos3t   sin 4a  cos4t  
4
 3

  1 sin 5a  cos5t   



 5

a
回答：フーリエ級数の導出
1.5
1
0.5
0
-0.5
0 -π 50-a
100
0
a 150
π
200
250
300
2π
（ a = π/2の例）

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