授業スライドの一部（フーリエ級数とスペクトルの説明など）

2016/10/26
表現２： cos と sin の和
表現２： cos と sin の和
cos と sin を足すと、どういう波形になるか？
1.5
1.5
sin
1
sin
1
0.5
0.5
時間ｔ
0
-0.5
時間ｔ
0
-0.5
cos
-1
-1.5
cos と sin を足すと、どういう波形になるか？
0
0.5
0
cos
-1
1
1.5
2
2.5
3
-1.5
0
0.5
0
cos+sin
1
1.5
2
2.5
3
cos と sin を足すと、同じ周波数の一つの正弦波
cos と sin の配合比率
ａ･cos + b･sin
1.5
1
b ａ
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1.5
1
b ａ
0.5
0
-0.5
cos と sin の
配合比率
ａ、ｂを変えると
正弦波の
位相と振幅
が変化
正弦波の３つの表現
表現１： A･sin( ωt + θ )
ｔ
表現２： a cos( ωt ) + b sin( ωt )
Ａ･sinθ
Ａ･cosθ
-1
-1.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
表現３：Ｆ･ｅｊωｔ＋Ｆ*･ｅ - ｊωｔ
1.5
1
b ａ
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
複素正弦波ｅｊωｔの定義
オイラーの公式
ｅ
ｊωｔ
虚数単位（数学ではｉ）
＝ｃｏｓ(ωｔ) ＋ｊｓｉｎ(ωｔ)
複素平面上のｅｊωｔ
I （虚数）
－１
実数部
ｊ
実数部がｃｏｓ（ωｔ）
虚数部がｓｉｎ（ωｔ）
虚数部
ｅｊωｔ
ωｔ
ｓｉｎωｔ
0
１
R（実数）
ｃｏｓωｔ
原点からの距離が１
角度が ωｔ
単位円
－ｊ
1
2016/10/26
ｅｊωｔの複素共役ｅ－ｊωｔ
オイラーの公式
ｅ
ｊωｔ
＝ｃｏｓ(ωｔ) ＋ｊｓｉｎ(ωｔ)
ｅ -ｊωｔ＝ｃｏｓ(ωｔ) －ｊｓｉｎ(ωｔ)
ｃｏｓ・ｓｉｎと複素正弦波


1 j t
e  e  j t
2
1 j t
sin( t ) 
e  e  j t
j2
cos( t ) 

ｃｏｓ・ｓｉｎと複素正弦波




＋
ｃｏｓ・ｓｉｎは，ｅｊωｔによって作られる
でも良い
（周波数スペクトル）
ｔ
時間
＝
1 j t
e  e  j t
2
1 j t
e  e  j t
sin( t ) 
j2
2j
「周波数分析」
（時間波形）
cos( t ) 

＋
＋
周波数
分析
小
大
低
高
全ての信号は
正弦波の和により
合成される
ｆ
周波数
その
配合比率
＋
周波数分析の例
前回の復習（１）：フーリエ級数
すべての周期信号ｆ (t) は、
1
f0 
基本 (角) 周波数 ω0 = 2πf0
周期
および、
その2倍、3倍･･･（2ω0 、3ω0 ･･･）の周波数の
正弦波の和として表すことができる。
（表したもの → フーリエ級数）
f (t )  a0  (a1 cos 0t  a2 cos 20t  a3 cos 30t  )
 (b1 sin 0t  b2 sin 20t  b3 sin 30t  )
周波数分析ソフト（free）
WaveSpectra
2
2016/10/26
すべての周期信号は、正弦波の和として合成できる
正弦波の「表現２」が使われている
周期信号
→ フーリエ級数
f (t )  a0  a1 cos(2 f 0t )  a2 cos(2 2 f 0t )  a3 cos(2 3 f 0t )  
 b1 sin( 2 f 0t )  b2 sin( 2 2 f 0t )  b3 sin( 2 3 f 0t )  
＋
表現２
周波数ｆ0 の
正弦波
＋
周波数 2･ｆ0 の
正弦波
＋
方形波
＋
周波数 3･ｆ0 の
正弦波
のこぎり波
＋
＋
方形波は正弦波の和として合成できる
信号の加算
ｃｏｓ( 2πｆｔ) ＋sin( 2πｆｔ)
ｘ(t) ＝ｓｉｎ(ωt) ＋1/3･ｓｉｎ(3ωt)
＋1/5･ｓｉｎ(5ωt) ＋1/7･ｓｉｎ(7ωt)
＋・・・・・
sin( 2πｆｔ)
時間
ｔ
0
＋
ｃｏｓ( 2πｆｔ)
＋
＋
＋
２つの正弦波の和
２つの正弦波の和
振幅
1
振幅
ｆ＝ 100 Hz （基本波）
1
ｆ＝ 300 Hz （３倍波）
1/3
ｆ＝ 100 Hz （基本波）
ｆ＝ 300 Hz （３倍波）
1/3
0
-1
時間
0
時間
-1
3
2016/10/26
２つの正弦波の和
振幅
１，３，５倍周波数の正弦波の和
振幅
1
ｆ＝ 100 Hz
1
ｆ＝ 300 Hz
100 Hz＋300Hz
500 Hz
時間
1/3
時間
1/5
0
00
-1
青＋緑 → 赤
-1
2
１，３，５倍周波数の正弦波の和
振幅
1
2
ω0 ＝１
sin t
1
1
0
0
-1
-1
sin t
1
sin t  sin 3t
3
100 Hz＋300Hz
-2
-2
0
500 Hz
1
sin 3t
3
20
40
60
80
0
20
40
60
80
時間
1/5
2
2
1
sin t  sin 3t
3
00
1
-1
青＋緑 → 赤
0
0
-1
-1
1
1
sin t  sin 3t  sin 5t
3
5
-2
0
20
40
60
80
ω0 ＝１
1
0.5
2
2
1
1
1
0
0
0
-1
-1
-1
-2
-2
-2
0
50
100
150
0
50
100
150
2
2
2
1
1
1
0
0
0
-1
-1
-1
-2
0
50
100
150
-2
0
50
100
150
0
-2
1
0
-1
-1.5
-2
-2
0
150
50
100
1
sin t  sin 2t
2
2
1.5
150
2
2
100
1
1
1
0
0
0
-1
-1
0
50
100
150
-2
0
50
100
150
-2
0.5
150
0
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
0
50
100
150
1
 sin 4t
4
1
1
1
sin t  sin 2t  sin 3t
2
3
0
-2
100
2
-0.5
-1
50
1
1
sin t  sin 2t  sin 3t
1
2
3
sin 3t
3
0.5
50
1
sin t  sin 2t
2
1.5
1
0
0
0
2
80
-0.5
-1.5
100
60
1
 sin 2t
2
sin t
1.5
0
-1
50
40
0.5
-0.5
0
20
2
sin t
1.5
2
1
1
1
sin t  sin 3t  sin 5t  sin 7t
3
5
7
-2
2
方形波の合成
1
1
sin t  sin 3t  sin 5t
3
5
1
sin 7t
7
1
1
sin 5t
5
150
50
100
-2
150
1
1
1
sin t  sin 2t  sin 3t  sin 4t
2
3
4
0
50
100
150
4
2016/10/26
2
信号の「（パワー）スペクトル」とは
2
方形波
sin t
1
横軸は、信号に含まれる正弦波の周波数
縦軸は、その正弦波の大きさ（パワー）を表す図
sin t
1
0
0
-1
-1
1
sin t  sin 3t
3
パワー
-2
-2
0
2
20
40
60
-2
0
20
40
1
1
1
1sin t  sin 3t  sin 5t  sin 7t
3
5
7
(1/7)2
2
ω0
2ω0 3ω0
2
4ω0 5ω0 6ω0 7ω0
2
sin t
1.5
1
1
0.5
0
・・・・・
周波数
ω
0
-1
1
0
0
0
-1
-1
-1
0
50
100
150
-2
50
100
1
sin t  sin 2t
2
2
1.5
1
150
1
sin 3t
3
0.5
0
1
sin t  sin 2t
2
50
100
1
150
-2
1
1
0
0
0
-1
-1
-1
-2
0
50
100
150
-2
0
50
100
150
-2
2
2
2
1
1
1
0
0
0
-1
-1
-1
0
50
100
150
60
80
-2
0
50
100
150
-2
0
50
100
150
0
50
100
150
0
50
100
150
のこぎり波のパワースペクトル
1
2
含まれている正弦波の大きさを表すグラフ
1 sin t 
1
1
1
sin 2t  sin 3t  sin 4t
2
3
4
(1/2)2
2
(1/3)2
2
2 (1/4)
2
・・・・・
ω0
0
100
1
1
 sin 4t
4
2
1.5
0
50
2
150
0.5
-0.5
0
2
-1
0
-2
2
-1.5
-2
40
2
パワー
-0.5
-1.5
20
1
0.5
-0.5
0
2
1
 sin 2t
2
2
のこぎり波
sin t
80
1
-2
1.5
60
80
1
1
1
1sin t  sin 3t  sin 5t  sin 7t
3
5
7
2
-2
2
-2
60
のこぎり波の合成
含まれている正弦波の大きさを表すグラフ
(1/5)2
-1
1
1
sin t  sin 3t  sin 5t
3
5
40
1
1
sin t  sin 3t  sin 5t
3
5
1
sin 7t
7
1
0
-1
2
(1/3)2
20
2
1
sin 5t
5
方形波のパワースペクトル
1
0
0
その信号に、どういう周波数の信号が、
どの位の大きさで含まれているか？を表す図
パワー
80
1
sin t  sin 3t
3
1
周波数
ｆ
1
sin 3t
3
2ω0 3ω0
4ω0 5ω0 6ω0 7ω0
周波数
ω
-0.5
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
1
1
sin t  sin 2t  sin 3t
2
3
0
50
100
-2
150
1 sin t 
1
1
1
sin 2t  sin 3t  sin 4t
2
3
4
0
50
100
150
5
2016/10/26
先週の演習問(4) の解法
信号の「分析」と「合成」
フーリエ級数と対比する
すべての信号は、正弦波の和で出来ている
信号
100Hz
正弦波
am , bm
分析（分解）
f (t )
 b1 sin( 2 f 0t )  b2 sin( 2 2 f 0t )  b3 sin( 2 3 f 0t )  
500Hz の正弦波 1
合成
200Hz
f (t )  a0  a1 cos(2 f 0t )  a2 cos(2 2 f 0t )  a3 cos(2 3 f 0t )  
ｆ(t) ＝ sin(2π100 ｔ)＋2･cos(2π200 ｔ)
1000Hzの正弦波 0.5
1500Hzの正弦波 0.3
2000Hzの正弦波 0.25
先週の演習問(4) の解法
分析の方法は？
フーリエ級数と対比する
信号ｆ(t)
100Hz
200Hz
f (t )  a00  0
a1 cos(2 f 0t )  a2・cos(2π200
a3 cos(2 3 f 0t )  
2 cos( 2 2 f ｔ)
0 t ) 0
ｔ) b2 sin( 2 2 f 0t ) 0
 b1・sin(2π100
b3 sin( 2 3 f 0t )  
1 sin( 2 f 0 t )  0
ｆ(t) ＝ sin(2π100 ｔ)＋2･cos(2π200 ｔ)
a
2
n

 bn2 / 2
分析
2
1
0
時間
-1
f 0  100 , b1  1, a 2  2, その他の ai , bi  0
パワーは、
成分
3
-2
-3
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
パワー
実際に利用できるのは、数式ではなく
この波形ｆ(t) だけ
2
パワースペクトルは、
0.5
100
200
周波数ｆ (Hz)
ａn、ｂn の求め方（＝分析方法）
f (t )  a0  (a1 cos 0t  a2 cos 20t  a3 cos 30t  )
 (b1 sin 0t  b2 sin 20t  b3 sin 30t  )
「フーリエ係数」 a0, a1 , ･･･，ｂ1 , ｂ2 , ･･･は、
同じ周波数の正弦波 sin nω0 ｔをかけて積分すれば得られる。
2 T
bn   f t sin n 0t dt
T 0
100Hz の sin の大きさ（成分）
2 T
f t  sin(2 100t) dt  1
T 0
200Hz の cos の大きさ（成分）
2 T
f t  cos( 2 200t) dt  2
T 0
信号ｆ(t)：録音した音、受信した電波
ただし、ディジタル信号として記録されている（携帯の音楽と同じ）
前回：複素正弦波を用いたフーリエ級数
任意の周期信号ｆ(t) は、複素正弦波ｅｊω0ｔの和として、
次式で表される。
f (t )  F0  F1  e j 0 t  F2  e j 2 0 t  F3  e j 30 t  
 F1  e  j 0 t  F 2  e  j 2 0 t  F 3  e  j 30 t  


F
n  
n
 e jn 0 t
表現がシンプル
実は、実際の計算はコンピュータがやってくれる
6
2016/10/26
正弦波の3つの表現とフーリエ級数
フーリエ係数Ｆn の求め方

f (t )  F0  F1  e j 0 t  F2  e j 2 0 t  F3  e j 30 t  

 F1  e
 j 0 t
 F 2  e
 j 2 0 t
 F3  e
 j 3 0 t



ｅｊｎω0ｔの係数Ｆn を求めるには、
このｆ(t) に、複素共役ｅ - ｊｎω0ｔを乗じて積分
1
Fn 
T

T
0
f (t )  e
 jn  0 t
dt
表現１：
A  sin  t   
表現２：
a  cos( t )  b  sin( t )
表現３：
F  e j  t  F *  e  j t
f (t )  a0  ( a1 cos 0t  a2 cos 20t  a3 cos 30t  )
表現２
 (b1 sin 0t  b2 sin 20t  b3 sin 30t  )

 F
f (t )  F0  F1  e j 0 t  F2  e j 2 0 t  F3  e j 3 0 t  
表現３
表現１は？
1
e
 j 0 t
 F 2  e
 j 2 0 t
A  sin  t   
表現１：
a  cos( t )  b  sin( t )
A  sin  t   
表現２：
表現２：
a  cos( t )  b  sin( t )
表現３：
F  e j  t  F *  e  j t
F e
j t
 F e
*
 j t
f (t )  A0  A1 sin 0t  1   A2 sin 20t   2 
 A3 sin 30t   3   
表現１
書くことは出来るが
【問題点】ａ，ｂや、Ｆと違って、
パラメータＡ，θを求める式が無い、
ので、使われない
A  sin  t   
表現２：
a  cos( t )  b  sin( t )
表現３：
F  e j  t  F *  e  j t
表現２
f (t ) 
 (b1 sin 0t  b2 sin 20t  b3 sin 30t  )

F
n  
n
 e jn 0 t

 (b1 sin 0t  b2 sin 20t  b3 sin 30t  )

 F
f (t )  F0  F1  e j 0 t  F2  e j 2 0 t  F3  e j 3 0 t  
表現３
1
e
 j 0 t
 F 2  e
 j 2 0 t
 F3  e
 j 3 0 t



信号とスペクトル
信号とは，
大きい
大きい
量の時間的変化の様子
（電圧や音圧）
初等関数では
表せないので
（文字式）
大きい
f (t )
f (t )  a0  ( a1 cos 0t  a2 cos 20t  a3 cos 30t  )
表現２

f (t )  a0  ( a1 cos 0t  a2 cos 20t  a3 cos 30t  )
正弦波の3つの表現とフーリエ級数
表現１：

正弦波の3つの表現とフーリエ級数
表現１：
表現３：
表現３
 F3  e
 j 3 0 t
0
時間
ｔ
0.5
小さい
1秒
小さい
小さい
7
2016/10/26
「スペクトル」は、成分のグラフ化
フーリエの理論
すべての信号は、正弦波の和で出来ている
信号
大きさ（振幅）
正弦波（成分）
am , bm
分析（分解）
f (t )
スペクトル
正弦波（成分）
am , bm
500Hz の正弦波 1
500Hz の正弦波 1
1000Hzの正弦波 0.5
1000Hzの正弦波 0.5
1500Hzの正弦波 0.3
1500Hzの正弦波 0.3
2000Hzの正弦波 0.25
2000Hzの正弦波 0.25
1
＋
an 
2 T
f t  cos n0t dt
T 0
0.5
＋
＋
ｆ（ｔ）＝ 1･sin(2π500 ｔ ) ＋0.5･ｓｉｎ(2π1000 ｔ )
＋ 0.3･sin(2π1500 ｔ ) ＋ 0.25･sin(2π2000 t)
0
0.3
0.25
500 1000 1500 2000 ｆ
周波数（Hz）
ｆ（ｔ）＝ 1･sin(2π500 ｔ ) ＋0.5･ｓｉｎ(2π1000 ｔ )
＋ 0.3･sin(2π1500 ｔ ) ＋ 0.25･sin(2π2000 t)
と表される．
時間信号（波形） → 周波数スペクトル
パワースペクトル
am , bm
信号：ｆ (t)
パワー　パワー
正弦波（成分）
(1)2/2
a
2
n

時間ｔ
500Hz の正弦波 1
(0.5)2/2
(0.3)2/2
(0.25)2/2
1000Hzの正弦波 0.5
1500Hzの正弦波 0.3
2000Hzの正弦波 0.25
0
スペクトル：F(ω)
フーリエ変換
500 1000 1500 2000 ｆ

周波数（Hz）
ｆ（ｔ）＝ 1･sin(2π500 ｔ ) ＋0.5･ｓｉｎ(2π1000 ｔ )
＋ 0.3･sin(2π1500 ｔ ) ＋ 0.25･sin(2π2000 t)
音声＋雑音
雑音
波形（音圧・電圧）では、
わからない
bakuon0.wav
LP250noise.wav
Gold-wave
f ( t )  e  j  t dt
周波数ｆ
計算はコンピュータがしてくれる
フーリエ変換の重要性（用途例）
音声
式では表せない！
b /2
2
n
周波数領域で見るとよくわかる
各
周
波
数
成
分
の
大
き
さ
・
パ
ワ
｜
低周波雑音
周波数
音声＋雑音
低周波成分を
カットすれば良い！
フィルタ
baknLPN.wav
8
2016/10/26
スペクトル
ｂ1
1
フーリエ級数の係数
1
ｂ2
0.6
0.4
0.8
ｂ3
ａj=0
ｂ4
振幅
0.8
振幅
スペクトル
0.4
0.2
0.2
0
1000
1500
2000
周波数
2500
3000
ｂn+1
ｂn+2
ｂn+3
略
1
0.8
振幅
500
0.6
3500
0
4000
500
1
1000
1500
2000
周波数
2500
3000
3500
4000
ｆ
Ｆ（ｆ）または（Ｆ（ω））すべての周波数で
成分を持つ
0.8
0.4
略
0.6
0.4
0.2
0
0
フーリエ変換の結果
1
周期
振幅
0
略
0.6
ｂn+1
ｂn+2
ｂn+3
0.2
0
500
1000
1500
2000
周波数
2500
3000
3500
0
4000
前々回の復習 (フーリエ変換対)
（時間信号）
f (t )
0
ゲート関数
（方形パルス）
t
F ( )
1

0
標本化関数
（sinc 関数）
フーリエ変換：
F ( )  
フーリエ逆変換：
f (t )   F ( ) e j t dt

500
1000
1500
2000
周波数
2500
3000
3500
4000
ｆ, ω
前回の復習
（周波数スペクトル）
フーリエ
変換対
0
ω
2.1.2 フーリエ変換の性質
(b) 対称性
ｆ(t)
Ｆ（ω）なら
F(t)
2πｆ（-ω）
f (t ) e  j t dt


前回の復習
前回の復習
（時間信号）
0
ゲート関数
（方形パルス）
（周波数スペクトル）
フーリエ
変換対
t
1
0
標本化関数
（sinc 関数）
ω
対称性
X(ω)
ｘ(t)
t
1
標本化関数
-ωc 0
ωc ω
2.1.2 フーリエ変換の性質
(ｃ) 線形性
ｆ(t)
Ｆ（ω）
g(t)
G（ω）
ならば、
c･ｆ(t)
c･Ｆ（ω）
ｆ(t) + g(t)
Ｆ（ω）＋G(ω)
ゲート関数
9

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