(1) P(x) を (x + 1)

1
次の各問いに答えよ．
(1) 整式 P(x) を 0 でない整式 Q(x) で割った余りを R(x) とおく．方程式 P(x) = 0 と
Q(x) = 0 の共通解は方程式 Q(x) = 0 と R(x) = 0 の共通解であることを示せ．また逆
に方程式 Q(x) = 0 と R(x) = 0 の共通解は方程式 P(x) = 0 と Q(x) = 0 の共通解であ
ることを示せ．
(2) 整式 P(x); Q(x) を
P(x) = x4 + 2x3 + x2 ¡ 1;
Q(x) = x3 + 2x2 ¡ 1
とおく．方程式 P(x) = 0 と Q(x) = 0 の共通解をすべて求めよ．
（鹿児島大学 2016 ）
2
3 次方程式 x3 ¡ ax2 ¡ a2 x + b = 0 が 2 重解ともう 1 つの実数解をもつとき，次の設問に
答えよ．
(1) b を a で表せ．
(2) この 3 次方程式の解を a で表せ．
（倉敷芸術科学大学 2012 ）
3
整式 P(x) は (x + 1)2 で割ると余りが 5x + 2，x ¡ 2 で割ると余りが 3 となる．このと
き，次の問に答えよ．
(1) P(x) を (x + 1)(x ¡ 2) で割った余りを求めよ．
(2) P(x) を (x + 1)2 (x ¡ 2) で割った余りを求めよ．
(3) P(x) が 5 次式で，P(0) = ¡1，P(1) = ¡5，P(¡2) = 11 を満たすものとする．この
とき，P(x) を求めよ．
（立教大学 2011 ）
4
k を定数とする．2 次方程式 x2 + (3k ¡ 2)x + 4k = 0 が 2 つの実数解 ®; ¯ をもち，®; ¯
は 0 < ® < 1 < ¯ を満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) k の値の範囲を求めよ．
(2) (¯ ¡ ®)2 を k を用いて表せ．
(3) ® と ¯ の差が整数であるときの k および ®; ¯ の値を求めよ．
（静岡大学 2010 ）
5
P(x) は x3 の係数が 1 の 3 次式である．P(x) を x ¡ 1 で割ったときの余りが ¡3 である．
また，P(x) を x ¡ 2 で割ると割り切れ，その商を Q(x) とする．Q(x) を x + 3 で割ると
余りが 7 である．
(1) Q(x) を x ¡ 1 で割ったときの余りを求めよ．
(2) Q(x) を求めよ．
(3) P(x) を (x ¡ 1)(x + 3) で割ったときの商と余りを求めよ．
（徳島大学 2013 ）

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