数力演習プリント(2)

数力演習プリント (2)
2004 年冬学期担当：星健夫（物理工学科）
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全微分型に持ち込むことにより、以下の微分方程式を解け。
(a) (4x + 3y)dx + (3x + 2y)dy = 0
(b) (2x2 + 3xy)dx + 3x2 dy = 0
また、同次型（問題 2(1) のタイプ）に帰着させて、解け。
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以下の関数 y(x) に対して、x = 0 での Taylor 展開の低次の項を書き下せ。
1 − e−x
y(x) ≡
x
3 /3
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２階線形斉次方程式
y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = 0
(1)
の一般解を求めたい。ただし p(x), q(x) は既知。
(a) 一次独立な２解を y1 (x), y2 (x) と書くことにし、関数 w を
w(x) ≡ y1 y20 − y10 y2
(2)
で定義する (Wronskian)。(2) を y2 に対する微分方程式とみなし、これを解いて、y2 を y1 と w で
表わせ。
(b) 以下を示せ。
w0 (x) + p(x)w(x) = 0
(3)
(c) (a) (b) より、次式が求まることを示せ。これは、y1 から y2 を求める式になっている。
y2 (x) = y1 (x)
!
"
e− p(x)dx
dx
{y1 (x)}2
(4)
(d) 方程式 y 00 + y = 0 において、y1 (x) ≡ cos x が解であることを使って、(c) の結果からもう
一つの独立解 y2 (x) を求めよ。
(e) 以下の方程式において、y1 (x) ≡ (1 − x)−1 が解であることを確かめ、(c) の結果をからも
う一つの独立解 y2 (x) を求めよ。
x(x − 1)y 00 + (3x − 1)y 0 + y = 0
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２階線形 Euler 型方程式
x2 y 00 + p0 xy 0 + q0 y = 0
(1)
を考える。p0 , q0 は定数。y(x) = x∏ を代入すると、
∏(∏ − 1) + p0 ∏ + q0 = 0
(2)
となる（決定方程式）。方程式 (2) が、(a) ２実解をもつとき、(b) 重解をもつとき、に場合分けし
て一般解を求めよ。
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２階線形非斉次方程式
y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = f (x)
(1)
の一般解を求めたい。ただし p(x), q(x) は既知。また、斉次方程式（f (x) ≡ 0）に対する、一次独
立な２解を y1 , y2 とする。
(a) 斉次方程式の２解 y1 (x), y2 (x) が分かっているものとする。ここで、
y = A(x)y1 (x) + B(x)y2 (x)
0
0
0 = A (x)y1 (x) + B (x)y2 (x)
(2)
(3)
と仮定し、A(x), B(x) の満たす方程式を求めよ（定数変化法）。
(b) 斉次方程式の解の一つ y1 (x) が分かっているものとする。u(x) ≡ y/y1 として、u(x) の満
たすべき方程式を書け（階数降下法）。ヒント：１階線形非斉次方程式になる。
(c) 方程式 y 00 + y = 2ex に対して、y1 (x) = cos x, y2 (x) = sin x として、(a) の解法で解け。
(d) (c) の方程式に対して、y1 (x) = eix として、(b) の解法で解け。
(参考) 余力のある者は、y1 (x) = cos x として (b) の解法で解いてみよ（計算が面倒になる）。
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演算子法を使って、以下の微分方程式の一般解を求めよ。
(a) y 00 + y = 2ex
(b) (D − 1)(D − 2)y = x2 + 2x
(c) y 00 + y = xex
(注）演算子法の公式
(1)
(2)
(3)
(4)
!
1
= eαx dxe−αx
D−α
1
1
eβx =
eβx
D−α
β−α
#
$
1
1
1
1
1
=
−
D−αD−β
α−β D−α D−β
1
= 1 + D + D2 + D3 · ··
1−D
(1) 基本公式。(2)(3)β 6= α のとき。(4) 作用させる関数が有限次の多項式のとき有用（たとえば
(b)）。
(注) 時間が余った人は、問題集から [例題 I.2.2][例題 I.4.1] を解け。[例題 I.2.2] の解法について
の一般的解説は、以下を参照：田辺・藤原「常微分方程式」
（東大出版）、2.2.2 節。[例題 I.4.1]（級
数解法）については、次回取り上げる。
(注) 解法の整理
(1) 2 階線形斉次型（問題 7）→一般解：y = c1 y1 + c2 y2
(2) 2 階線形非斉次型（問題 9）→一般解 y = y0 + c1 y1 + c2 y2
(注）このプリントは下記 WebPage に置かれる予定。演習時間での再配布は原則として行わな
いので、欠席者は各自でダウンロードすること：http://fujimac.t.u-tokyo.ac.jp/hoshi/edu.html

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