電磁気学I 小テスト①

電磁気学A
演習問題集⑧
2016/06/22配布。6/24以降の演習日用。6/23までに問1をレポートとしてレポートボックス
に提出せよ。（時間が短くてすみません。）また、期末試験を8月5日（金）の2限に変更す
ることを検討しています。8月8日にある教職科目の集中講義との重なりを避けるための緊
急措置です。基本的に他科目と重なる心配はないと思いますが、もし何らかの理由で8月5
日の2限に問題がある方はすぐに申し出てください。
[レポート] 問 1
半径 R の無限に長い円筒の内部に電荷が一様な密度  で分布している。
この電荷分布による静電ポテンシャルをポアソンの方程式を解くことにより求める。円筒
の中心軸が z 軸に一致するように直交座標系をとると、静電ポテンシャルは z 軸からの距離
r  x 2  y 2 の関数  r  で与えられる。
(1) 
 r  を以下の手順で r による微分の式に変更する。★★
2
(i)

 r  を r による微分の式に変形せよ。
x
(ii)
2
 r  を r による微分の式に変形せよ。
x 2
(iii) y についても(ii)と同様の計算を行い、 
 r  
2
1 d  d  r 
r
 を示せ。
r dr  dr 
(2) ポアソン方程式を以下の手順で解け。ただし静電ポテンシャルの基準は円筒の側面
（ r  R ）で 0 とする。★★★
(i) 円筒の内外で  r  の満たすべき微分方程式を書け。
(ii) (i)を積分して
(iii)
d  r 
を求めよ。積分定数を含む形でよい。
dr
d  r 
は円筒の中心軸で 0 となること、また円筒の側面では連続であるこ
dr
とを持ちいて(ii)の積分定数を決めよ。
(iv)
d  r 
を積分し、境界条件（基準）から  r  を求めよ。
dr
問 2 （小問ごとに★とする。適当に数人でシェアしてほしい。）原点に点電荷 q が存在し、
原点以外の点 r  x, y, z  の電荷密度は 
 2 q e r
で与えられるとする。ただし、
4 r
r  r  x 2  y 2  z 2 であり、  は正の定数である。中心対称となる静電ポテンシャル
 r  を求める。
(1)
d  r 

で表せ。
 r  を r 、 x 、
x
dr
(2)
d  r  d 2  r 
2


を
、
、
、
で表せ。

r
x
r
dr
x 2
dr 2
(3) y と z についても同様の計算をし、 
(4) 原点以外で  r  
 r  
2
1 d2
 r  r となることを示せ。
r dr 2
c
e r
 c1  2 となることを示せ。ただし c1 、 c 2 は積分定数。
4 0 r
r
q
(5) 境界条件 lim  r   0 より、積分定数 c1 を求めよ。
r 
(6) 原点における境界条件は原点を中心とする半径 R の球面に積分形のガウスの法則を適
用し、 R  0 の極限をとることにより与えられる。電場の強さを E r  とし、原点には点
電荷 q のみが存在すること、電場の強さは静電ポテンシャルの勾配を持ちいて求められるこ
とから積分定数 c 2 を決めよ。

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