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年番号
1
3
次の問いに答えよ．
座標平面上に点 O(0; 0)，A(1; 0)，B(¡1; 0)，C(0; 2)，D(0; 1) をと
る．直線 x = 1 を `，直線 x = ¡1 を m とする．また，x 軸上に O と異な
(1) a3 + b3 + c3 ¡ 3abc を因数分解せよ．
る点 P(t; 0) をとり，直線 CP と直線 ` の交点を Q(1; u)，直線 DP と直線
(2) 整数 a; b; c に対して，a + b + c と abc が 3 の倍数のとき，a3 + b3 + c3
m の交点を R(¡1; v) とおく．以下の問いに答えよ．
は 9 の倍数であることを示せ．
(3) 実数 a; b; c が a + b + c = 6，
氏名
1
1
1
1
+
+
=
を満たすとき，
a
c
3
b
a3 + b3 + c3 + 3abc の値を求めよ．
(1) u; v を t を用いて表せ．
(2) u; v が共に正となるような t の範囲と，そのときの台形 QABR の面積の
とり得る値の範囲を求めよ．
（秋田大学 2015 ）
(3) 線分 QR は t に依存しないある定点 E を通ることを示せ．また，E の座標
を求めよ．
（お茶の水女子大学 2015 ）
4
2
複素数 ® が
®3
= 1 かつ ® Ë 1 をみたすとき，以下の設問に答えよ．
(1) ®2 + ® + 1 = 0 を示せ．
(2) (® + 1)2015 の値を求めよ．
a; b が実数であるとする．次の 2 つの 2 次方程式
x2 + ax + b = 0;
ax2 + bx + 1 = 0
が，共通の虚数解をもつとき，その解は
（東京女子大学 2015 ）
¡
ネ
§
2
C
ノ
i
となる．
（山口東京理科大学 2015 ）
5
7
a; b; p; q を実数とする．3 つの 2 次方程式
x2 + ax + b = 0
ÝÝ1
x2 + px + q = 0
ÝÝ2
2x2
ÝÝ3
+ (a + p)x + b + q = 0
2 つの実数 a; b は 2a ¡ 2 < b < 2 をみたしている．このとき，x の 4 次
方程式
x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0
ÝÝ(¤)
を考える．
について，次を証明せよ．
(1) 1，2，3 がすべて重解をもてば，a = p かつ b = q である．
(2) 1，2 がともに虚数解をもてば，3 も虚数解をもつ．
1
とおくとき，方程式 (¤) を z で表せ．
x
(2) (1) で求めた z の方程式の解は，すべて絶対値が 2 以下の実数であることを
(1) x Ë 0 とする．z = x +
示せ．
（東北学院大学 2014 ）
C
(3) 複素数 ® = p + qi（ p; q は実数）に対し， p2 + q2 を複素数 ® の「大
きさ」ということにする．ただし i は虚数単位を表す．このとき，4 次方程
式 (¤) の解はすべて虚数で，それらの大きさはすべて 1 であることを示せ．
6
（愛知教育大学 2013 ）
実数 a; x; y; z が
x+y+z=a
Y x2 + y2 + z2 = a2 ¡ 2a + 14
x3 + y3 + z3 = a3 ¡ 3a2 + 3a + 18
8
を満たすとき，次の問いに答えよ．
a; b; c を自然数とするとき，次の不等式を示せ．
(1) 2a+b = 2a + 2b
(1) xy + yz + zx および xyz を a の式で表せ．
(2) 2a+b+c = 2a + 2b + 2c + 2
(2) x; y; z のうち少なくとも 2 つが等しいとき，a; x; y; z を求めよ．
(3) 2a+b+c = 2a+b + 2b+c + 2c+a ¡ 4
（横浜国立大学 2013 ）
（大阪教育大学 2012 ）
9
10 実数 a; b; c; d に対し x の 3 次の整式 P(x) = ax3 + bx2 + cx + d を考
a; b; c は実数とし，
える．ただし，ad Ë 0 とする．方程式 P(x) = 0 の 3 つの解を ®; ¯; ° と
f(x) = x4 + bx2 + cx + 2
すると P(x) = a(x ¡ ®)(x ¡ ¯)(x ¡ °) であることが知られている．この
とおく．さらに 4 次方程式 f(x) = 0 は異なる 2 つの実数解 ®; ¯ と 2 つの
(1) 積 ®¯°，和 ® + ¯ + °，
虚数解をもち，
® + ¯ = ¡(a + 1);
とき，以下の問いに答えなさい．
®¯ =
1
1
1
+
+
を，それぞれ a; b; c; d を用い
®
°
¯
て表しなさい．
1
a
(2) もし ® が実数でないならば，方程式 P(x) = 0 は ® の共役な複素数 ® を解
に持つことを証明しなさい．
を満たすと仮定する．
(3) 解 ®; ¯; ° のうち実数となるものの個数は 0; 1; 2; 3 のどれか，考えら
(1) b; c を a を用いて表せ．
れる可能性をすべて，理由も述べて答えなさい．
(2) a のとり得る値の範囲を求めよ．
(4) もし ad > 0 ならば，解 ®; ¯; ° のうち正の実数となるものの個数は
(3) b のとり得る値の範囲を求めよ．
0; 1; 2; 3 のどれか．考えられる可能性をすべて，理由も述べて答えな
（千葉大学 2011 ）
さい．
（首都大学東京 2010 ）

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