(3) j - SUUGAKU.JP

年番号
1
平面において，一直線上にない 3 点 O，A，B がある．O を通り直線 OA と垂直な直線上に O
3
と異なる点 P をとる．O を通り直線 OB と垂直な直線上に O と異なる点 Q をとる．ベクトル
¡! ¡! ¡!
OP + OQ は AB に垂直であるとする．
¡! ¡! ¡! ¡!
(1) OP ¢ OB = OQ ¢ OA を示せ．
¡!
¡! ¡!
¼
とする．このときベクトル OP，
(2) ベクトル OA，OB のなす角を ® とする．ただし，0 < ® <
2
¡!
OQ のなす角が ¼ ¡ ® であることを示せ．
¡!
¡!
jOQj
jOPj
(3) ¡! = ¡! を示せ．
jOAj
jOBj
¼
の 4OAB を含む平面を H とする．平面 H 上に無い点 C か
2
¡
!
¡!
ら平面 H，直線 OA，直線 OB に下ろした垂線の足をそれぞれ D，E，F とする． a = OA，
¡
! ¡! ¡
! ¡!
¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
b = OB， c = OC，p = a ¢ b ，q = b ¢ c ，r = c ¢ a として，以下の問いに答えよ．た
¡
! ¡
! ¡
! ¡
!
だし， a ¢ b は a と b の内積である．
OA = OB = 1，ÎAOB <
¡
! ¡!
(1) a ¢ DE = 0 であることを示せ．
¡! ¡!
¡
! ¡
! ¡
!
(2) OE と OF をそれぞれ a ， b ， c および p; q; r で表せ．
(3) EF の長さを p; q; r で表せ．
1
(4) p =
，q = 1，r = 2 であるとき，OD の長さを求めよ．
5
（北海道大学 2015 ）
（福島県立医科大学 2014 ）
4
2
¡!
¡
!
空間の 3 点 O(0; 0; 0)，A(1; 1; 1)，B(¡1; 1; 1) の定める平面を ® とし，OA = a ，
¡!
¡
!
¡! ¡
!
OB = b とおく．® 上の点 C があり，その x 座標が正であるとする．ベクトル OC が a に垂
¡! ¡
!
直で，大きさが 1 であるとする．OC = c とおく．
氏名
¡!
¡!
¡!
平面上の三角形 ABC で，jABj = 7，jBCj = 5，jACj = 6 となるものを考える．また，三角形
ABC の内部の点 P は，
¡!
¡
!
¡
! ¡
!
PA + sPB + 3PC = 0 (s > 0)
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1) C の座標を求めよ．
¡
!
¡
!
¡
!
(2) b = s a + t c をみたす実数 s; t を求めよ．
¡!
¡
!
¡
!
(3) ® 上にない点 P(x; y; z) から ® に垂線を下ろし，® との交点を H とする．OH = k a + l c
をみたす実数 k; l を x; y; z で表せ．
（北海道大学 2015 ）
¡!
¡!
¡!
(1) AP = ®AB + ¯AC とするとき，® と ¯ を s を用いて表せ．
¡!
¡!
jBDj
jAPj
(2) 2 直線 AP，BC の交点を D とするとき， ¡! と ¡! を s を用いて表せ．
jDCj
jPDj
(3) 三角形 ABC の面積を求めよ．
p
(4) 三角形 APC の面積が 2 6 となるような s の値を求めよ．
（金沢大学 2015 ）
5
¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
!
4ABC の外心を O，重心を G とする．OA = a ，OB = b ，OC = c とし，
¡
!
¡
!
¡
!
j a j = j b j = j c j = 5;
¡!
¡!
¡!
¡!
4AG + 3BG + 5CG = 12OG
をみたすとする．次の問いに答えよ．
¡
!
¡
!
¡
! ¡
!
(1) 4 a + 3 b + 5 c = 0 を示せ．
¡
! ¡
! ¡
! ¡
!
¡
! ¡
!
(2) 内積 a ¢ b ， b ¢ c および c ¢ a を求めよ．
¡!
(3) jOGj の値を求めよ．
（新潟大学 2015 ）
6
一辺の長さが 1 の正四面体 OABC を考える．辺 AB を 2 : 1 に内分する点を P とし，線分 CP
¡!
¡!
を 3 : 1 に内分する点を Q とする．また，直線 OC 上の点 R を QR ? OC となるようにとる．
¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
!
OA = a ，OB = b ，OC = c とおく．このとき，次の問いに答えよ．
¡! ¡
! ¡
! ¡
!
¡!
¡!
(1) OQ を a ， b ， c を用いて表せ．さらに，OQ の大きさ jOQj を求めよ．
¡! ¡!
¡!
¡!
(2) OR と RC の大きさの比 jORj : jRCj を求めよ．
(3) 4OQR の面積を求めよ．
（新潟大学 2014 ）

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