1 SEG中 3 数学冬期講習コース・クラスレベル判定問題 SEG 数学科

SEG中 3 数学冬期講習コース・クラスレベル判定問題
SEG 数学科
Ver.1.32
SEG 中 3 数学には、次の 2 つのコースがあります。
(ア) Zコース
冬期・3 学期で数 I および数 II の一部を学習し、高 1 春期から
DE コースに合流します。
(イ) CDコース
既に数 I 数 A を修了し、数 II 数 B を学んでいるコースです。
C(基礎)/D(上級)の 2 レベルのクラスがあります。
(ア)(イ)のどちらのコースを受講すればよいか、また(イ)の場合にどのクラス
レベルが適切であるかをお迷いの方は、以下の問題を解くことでコース・ク
ラスレベルを判定できます。
Ⅰ.中学数学の基礎
(1) 6( 32 − 48) − 3( 25 − 96) を簡単にせよ。
(2) 2 次方程式 x 2 − 27 x + 72 =
0 を解け。
2
(3) 2 次方程式 x − 5 x − 5 =
0 を解け。
(4) 右図において、A から BC への垂線の足を H
B
とする。 x = BH , y = AC , z = BC を求めよ。
A
6
135°
30°
z
C x
y
H
Ⅱ.2 次関数の基礎（数学I）
(5) 次の 2 次関数のグラフの頂点の座標をそれぞれ求めよ。
(i) y =
(ii) y =
− x2 − 5 x − 7
−2 x 2 + 4 x − 5
(6) 次の 2 次不等式をそれぞれ解け。
(i) x 2 + 10 x − 56 > 0
(ii) −2 x 2 − 4 x + 9 ≧ 0 (iii) −3 x 2 + 4 x − 5 < 0
Ⅲ.2 次関数の応用（数学I）
(7) x の 2 次関数 y = f ( x) = x 2 + 6 ax + 2 a + 3 の−1≦x≦6 における最小値に
を a の範囲で場合分けして求めよ。
(8) x の 2 次式 f ( x) =x 2 − ( m + 1) x − 3 m + 4 に対し、x の 2 次方程式 f ( x) = 0
が 2 個の実数解（重解も 2 個と数えるとする）を持ち、それらがともに
−8 < x < 2 にあるための m の範囲を求めよ。
1
Ⅳ.三角比（数学I）
(9) cos150 の値を求めよ。
1
(10) 90 ≦θ ≦180 ,sin θ = をみたす θ に対して、 cosθ を求めよ。
7
(11) AB=7, BC=13, CA=10 の△ABC において、 cos A の値を求めよ。
(12) 前問の△ABC において、辺 AC 上に AD=４となる点 D をとるとき、
BD の長さを求めよ。
Ⅴ.図形と式（数学II）
(13) xy 平面で、 x 2 − 2 x + y2 + 4 y − 1 =
0 が表す円の、中心 A の座標および
半径 r を求めよ。
(14) 中心が (−3,1) で、y 軸と接する円の式を求めよ。
(15) 2 点 A (−1, 2) と B (5, −6) を結ぶ線分の垂直二等分線の式を求めよ。
2
[判定] （正答率：誤答が 1 問以下だと○、2 問以上だと×です。）
問題の正答率
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ
× × × × ×
○ × × × ×
〇
× ×
×
○
○ ○
〇 ×
×
○
○ ○
× 〇
×
○ ○
○ ○
○
○ ○
×
適切なコース・クラスレベル
中学数学が修了していない場合は、冬期講習からの入
会は厳しいです。高 1 春期から、高校数学を 1 から学
ぶコースへの入会をご検討ください。
2 次関数 y = ax 2 + bx + c の基礎が修了していない場合
は、冬期講習からの入会は厳しいです。高 1 春期から
高校数学を 1 から学ぶコースへの入会がお勧めです。
「三角比と図形」を受講し、3 学期は Z コースをご受
講ください。
「最大最小と不等式 C」を受講し、3 学期は Z コース
をご受講ください。
「三角比と図形」+「最大最小と不等式 C」を受講し、
3 学期は CD コースをご受講ください。
Ⅲが○の方は「最大最小と不等式 D」を、Ⅲが×の方
は「最大最小と不等式 C」をご受講ください。
3 学期は CD コースをご受講ください。
注意中 3CD コースでは、この判定問題で扱っている範囲の他にも、
整数・整式と方程式・さまざまな関数のグラフを 2 学期までに学習済みです。
これらのジャンルが未習の場合は、学校で勉強するのを待つか、自分で
学習することになります。
（今後の SEG のクラス分けテストでは出題される可能性があります。）
3
[解答]
Ⅰ.(1) 3 3 (2) x = 3, 24 (3) x =
 5 3
Ⅱ. (5)(i)  − , − 
 2 4
(6) (i)
5±3 5
2
(4)=
x 3 3=
, y 3 2=
,z 3 3 −3
(ii) (1,−3)
x < −14 , x > 4
(ii)
−2 − 22
−2 + 22
≦ x≦
2
2
(iii) 全実数
1
Ⅲ.(7) (i) a≦− 2 のとき最小値= 38 a + 39 ( x =
(ii) −2≦ a≦ のとき最小値
6)
3
1
= −9 a2 + 2 a + 3( x =
(iii) a≧ のとき最小値= −4 a + 4 ( x =
−3 a)
−1)
3
76
6
(8) − < m≦− 15 ,1≦ m <
5
5
4 3
3
1
Ⅳ.(9) −
(10) −
(11) −
(12) 73
2
7
7
3
7
Ⅴ.(13) A (1, − 2 ) r = 6
(14) ( x + 3)2 + ( y − 1)2 =
y
x−
9 (15) =
4
2
4

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