OA - SUUGAKU.JP

年番号
1
四面体 OABC において，P を辺 OA の中点，Q を辺 OB を 2 : 1 に内分する
3
点，R を辺 BC の中点とする．P，Q，R を通る平面と辺 AC の交点を S と
¡! ¡
! ¡! ¡
! ¡! ¡
!
する．OA = a ，OB = b ，OC = c とおく．以下の問に答えよ．
¡! ¡!
¡
! ¡
! ¡
!
(1) PQ，PR をそれぞれ a ; b ; c を用いて表せ．
¡
!
¡
!
(2) 比 AS : SC を求めよ．
¡
!
(3) 四面体 OABC を 1 辺の長さが 1 の正四面体とするとき， QS を求めよ．
（神戸大学 2016 ）
氏名
4AOB の頂点 A から辺 OB に下ろした垂線の足を H とする．OA = a，
¡!
¡
! ¡!
¡
!
OB = b，AB = c（ただし，a < b ），OA = a ，OB = b として，OA
a
上に点 D を，OB 上に点 E を OD = OE =
となるようにとる．以下の
4
問に答えよ．
(1) cos(ÎAOB) を a; b; c で表せ．
¡!
¡! ¡!
(2) OF = OD + OE となるように点 F をとる．OF の延長と AB の交点を P
¡! ¡
! ¡
!
とするとき，OP を a と b を使って表せ．
¡! ¡
! ¡
!
(3) OP と AH の交点を Q とするとき，OQ を a と b を使って表せ．
（大阪歯科大学 2015 ）
2
実数 a; b; c; d; e に対して，座標平面上の点 A(a; b)，B(c; d)，C(e; 0)
をとる．ただし点 A と点 B はどちらも原点 O(0; 0) とは異なる点とする．
このとき，実数 s; t で
4
座標空間の原点を O とし，座標空間内に 4 点 A(1; 3; 3)，B(1; 1; 2)，
C(2; 3; 2)，P(t; t; t) をとる．ただし t は実数である．以下の問いに答え
¡!
¡! ¡!
sOA + tOB = OC
なさい．
を満たすものが存在するための，a; b; c; d; e についての必要十分条件を
求めよ．
¡! ¡!
(1) t Ë 0 とするとき，AP と OP が直交するような t の値を求めなさい．
(2) AP2 + BP2 + CP2 が最小となるような t の値を求めなさい．
(3) 4 点 A，B，C，P が 1 つの平面に含まれるような t の値を求めなさい．
（大阪大学 2014 ）
（慶應義塾大学 2014 ）
5
a を正の定数とする．AB = a，AC = 2a，ÎBAC =
2
¼ である 4ABC
3
と，
¡!
¡
! ¡
!
j2AP ¡ 2BP ¡ CPj = a
を満たす動点 P がある．このとき，次の問いに答えよ．
¡!
(1) 辺 BC を 1 : 2 に内分する点を D とするとき，jADj を求めよ．
¡!
(2) jAPj の最大値を求めよ．
(3) 線分 AP が通過してできる図形の面積 S を求めよ．
（旭川医科大学 2014 ）

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