Mathematische Methoden 2 (für LAK) SS 16

KFU Graz
H. Gausterer, W. Schweiger
Mathematische Methoden 2 (für LAK)
SS 16
Aufgabe 41: Aus einem Draht mit konstanter Massendichte ρ(~r) = ρ0 sei ein
Halbkreis gebogen, welcher sich durch
a > 0,
C
entlang
8. Übungsblatt (zu rechnen bis zum 23.5.2016)
~r(t) = (0, a sin θ, a cos θ) ,
Aufgabe 44: Ein Kraftfeld sei durch F~ = (2xy, x2 )T gegeben. Berechnen Sie
das Arbeitsintegral
Z
d~r · F~ (x, y)
a) des Randes des Einheitsquadrates
,
(Koordinaten der Eckpunte (±1, ±1)),
b) des Einheitskreises.
0≤θ≤π
parametrisieren lässt. Wie groß ist die Gesamtmasse M des Drahtes und
wo befindet sich der Schwerpunkt dieses Gebildes?
Aufgabe 45: Durch
~r(u, v) = (u − v, u + v, uv)T
sei eine Fläche im Raum gegeben. Was ist der Flächeninhalt dieser Fläche im
Raum, wenn u und v innerhalb des Einheitskreises liegen (d.h. u2 +v 2 ≤ 1)?
Hinweis: Die Schwerpunktskoordinate ist durch
Z
1
~rS =
ds ~r ρ(~r)
M C
Aufgabe 46: Finden Sie eine geeignete Parametrisierung eines Drehkegels um
die x-Achse, dessen Spitze im Ursprung ruht und dessen Öffnungswinkel
60◦ beträgt. Berechnen Sie sein Flächenelement und die Fläche im ersten
Oktanten, die zwischen x = 1 und x = 3 liegt.
gegeben.
Aufgabe 42: Oft ist es zweckmäßig, zur Parametrisierung von Kurven in der
Ebene Polarkoordinaten (x = r(ϕ) cos ϕ, y = r(ϕ) sin ϕ) heranzuziehen,
wobei der Winkel ϕ als Kurvenparameter dient. Der radiale Abstand wird
dann auch eine Funktion von ϕ, d.h. r = r(ϕ) mit ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 . Zeigen Sie,
dass sich damit das Linienintegral
Z
ds f (x, y)
C
schreiben lässt als:
Z
ϕ2
f (r(ϕ) cos ϕ, r(ϕ) sin ϕ)
ϕ1
s
r(ϕ)2 +
dr(ϕ) 2
dϕ
dϕ .
Berechnen Sie mit dieser Formel das Integral der Funktion f (x, y) = √
y
x2 +y 2
entlang des Weges r = 1 + cos ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π.
Aufgabe 43: Berechnen Sie Arbeitsintegral W =
F~ (x, y, z) = (3x2 + 6y, −14yz, 20xz 2 )T ,
11
R
d~r · F~ für
~r(t) = (t, t2 , t3 )T ,
t ∈ (0, 1).
12

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