Riemannsche Flächen

AB Geometrie & Topologie
Prof. Bernhard Leeb, Ph.D.
Dr. Hartmut Weiß
Dienstag 14-16 h
Hörsaal 252
Riemannsche Flächen
Seminar WS 2005/06
I. Grundbegriffe
1. Riemannsche Flächen, holomorphe Abbildungen, Fundamentalgruppe
[For, §1,2,3]: Grundlegende Definitionen, einfache Beispiele.
Birgit Beck, York Schönfels, Johanna Sautter
2. Verzweigte und unverzweigte Überlagerungen
[For, §4]: Grundlegende Definitionen, Beispiel: (nicht-konstante) holomorphe Abbildungen zwischen Riemannschen Flächen sind (verzweigte) Überlagerungen, Hochheben von Homotopien und Abbildungen, eigentliche (holomorphe) Abbildungen.
Birgit Beck, York Schönfels, Johanna Sautter
3. Universelle Überlagerung und Decktransformationen
[For, §5]: Konstruktion der universellen Überlagerung, Operation der Decktransformationsgruppe, Galois-Überlagerungen.
Birgit Beck, York Schönfels, Johanna Sautter
4. Garben und analytische Fortsetzung
[For, §6,7]: Prägarben und Garben, der einer Garbe zugeordnete Überlagerungsraum;
analytische Fortsetzung, Monodromiesatz.
Markus Lang
5. Algebraische Funktionen
[For, §8]: Konstruktion der Riemannschen Fläche einer algebraischen Funktion.
Florian Oberauer, Bernhard Wild
6. Differentialformen und Integration von Differentialformen
[For, §9,10]: (holomorphe, meromorphe) Differentialformen, Integration, Residuensatz.
Veronika Ertl
II. Kompakte Riemannsche Flächen
1. Kohomologiegruppen und das Dolbeault-Lemma
[For, §12,13]: Definition der 0. und 1. Kohomologiegruppe eines topologischen Raums
mit Werten in einer Garbe abelscher Gruppen, Leray-Überdeckung, einfache Beispiele;
Lösung der inhomogenen Cauchy-Riemann-Differentialgleichung, Dolbeault-Lemma
im Falle Riemannscher Flächen, Anwendungen.
Philipp Tischer
2. Ein Endlichkeitssatz
[For, §14]: Endlichdimensionalität von H 1 (X, O) für X eine Riemannsche Fläche und
O die Garbe der holomorphen Funktionen auf X, Definition des Geschlechts von X
als die Dimension obiger Kohomologiegruppe über C, Anwendungen.
Stephan Stadler
3. Die exakte Kohomologiesequenz und der Satz von Riemann-Roch
[For, §15,16]: Homomorphismen von Garben, kurze exakte Sequenzen von Garben
und die induzierten langen exakten Sequenzen der Kohomologiegruppen, Satz von
Dolbeault und Satz von de Rham im Falle Riemannscher Flächen; Divisoren und der
Satz von Riemann-Roch, Anwendungen.
Alex Schreiber, Michael Hoffmann
4. Serre-Dualität und die Riemann-Hurwitz-Formel
[For, §17]: Serre-Dualität, Umformulierung des Satzes von Riemann-Roch mit Hilfe
von Serre-Dualität; Riemann-Hurwitz Formel: Beziehung zwischen Blätterzahl und
Verzweigungsordnung einer verzweigten Überlagerung Riemannscher Flächen.
Alex Schreiber, Michael Hoffmann
5. Abel-Jacobi-Theorie I
[For, §19,20]: Harmonische Differentialformen, Satz von de Rham-Hodge, Anwendung: topologische Invarianz des Geschlechts; Abelsches Theorem: Charakterisierung
von Hauptdivisoren mit Hilfe von Periodenintegralen.
Alexander Mathis, Richard Bamler
6. Abel-Jacobi-Theorie II
[For, §21]: Periodengitter, Jacobi-Mannigfaltigkeit und Picard-Gruppe, Jacobisches
Umkehrproblem.
Alexander Mathis, Richard Bamler
III. Nicht-kompakte Riemannsche Flächen
1. Das Dirichletsche Randwertproblem
[For, §22]: harmonische Funktionen, Poisson-Integralformel, Perron-Methode, Lösung
des Dirichletschen Randwertproblems für offene Teilmengen Riemannscher Flächen
mit regulärem Rand.
Grodecz Alfredo Ramı́rez Ogando
2. Vorbereitungen für den “großen” Riemannschen Abbildungssatz I
[For, §23,24]: Abzählbarkeit der Topologie (Satz von Rado); Weylsches Lemma: distributionelle Lösungen der Laplace-Gleichung sind unendlich oft differenzierbar.
Carl Christoph Bergemann, Daniel Nicklas
3. Vorbereitungen für den “großen” Riemannschen Abbildungssatz II
[For, §25,26]: Rungescher Approximationssatz; Satz von Mittag-Leffler und Satz von
Weierstraß für nichtkompakte Riemannsche Flächen.
Carl Christoph Bergemann, Daniel Nicklas
4. Der “große” Riemannsche Abbildungssatz
[For, §27]: Biholomorphe Klassifikation einfach zusammenhängender Riemannscher
Flächen und Anwendungen.
Veronika Ertl
Literatur
[For]
O. Forster, Riemannsche Flächen, Springer, 1977

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