Aufgabe 1: (a) Die partielle Ableitung nach u existiert und ist stetig

Aufgabe 1:
(a) Die partielle Ableitung nach u existiert und ist stetig nach dem Hauptsatz der Integral- und Diffe1
∂
−4v 3
rentialrechnung. Die Ableitung des Integranden nach v ist ∂v
1+t4 +v 4 = (1+t4 +v 4 )2 . Diese ist gleichmäßig
Lebesgue-beschränkt und stetig, also darf nach einem Satz aus der Vorlesung das Parameterintegral nach
v differenziert werden
und die Ableitung iststetig. Somit ist G(u, v) also total differenzierbar mit Ablei
Ru
3
1
tung ∇G(u, v) = 1+u4 +v4 , 0 (1+t−4v
4 +v 4 )2 dt .
R x −4x3
1
(b) Die Kettenregel liefert F 0 (x) = 1+2x
4 + 0 (1+t4 +x4 )2 dt.
Aufgabe 2:
(a) Das quadratische Taylorpolynom von f (x, y) zum Entwicklungspunkt (1, −1) ist gegeben durch
T2 (x, y) = 6 + (x − 1) − 5(y + 1) + (x − 1)2 + 3(x − 1)(y + 1) + (y + 1)2 .
Die Tangentialebene ist der lineare Anteil der Taylorentwicklung, also z = T1 (x, y) = 6+(x−1)−5(y +1).
Die Tangente t steht in der (x, y)-Ebene senk(b) Aus ∂f
∂y (1, −1) = −5 6= 0 folgt die erste Behauptung.
 
 
1
5
recht auf ∇f (1, −1) = (1, −5). Damit gilt: t = −1 + R 1.
6
0
Aufgabe 3:
1
(a) ∇f = (1 + 2x − y 2 , −2xy) =(0, 0) gilt für
2 , 0).
die Punkte P1,2 = (0, ±1) undP3 = (− √
2 ∓2
2
−2y
ist bei P1,2 wegen H(0, ±1) =
λ1,2 = 1 ± 5
(b) Die Hessematrix H(x, y) =
∓2 0
−2y −2x
2
0
indefinit. Also handelt es sich um zwei Sattelpunkte. H(− 12 , 0) =
⇒ Minimum.
0 1
Aufgabe 4:
Zeichnet man ein achsenparalleles Rechteck in die Ellipse ein, so sieht man, dass sich aufgrund der Symmetrie jeweils ein Viertel der Fläche in jeweils einem Quadranten befindet. Deswegen reicht es die Fläche
f (x, y) = xy des Rechtecks im ersten Quadranten zu maximieren.
√ √
Der Ansatz von Lagrange liefert dann die einzige Lösung (x, y) = ( 2, 3 2 2 ). Da die Fläche am Rand
(x = 0 oder y = 0) aber den Wert 0 annimmt, muss dies√ein Maximum der Funktion f sein. Alle Eck√
punkte ergeben sich aus Symmetriegründen zu (± 2, ± 3 2 2 ).
Aufgabe 5:
R
Eine direkte Rechnung liefert [0,1]3 xyz(1 − x − y − z)d(x, y, z) = 18 .

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