Mathematische Methoden für das Lehramt (Ba of Arts)

Übungsaufgaben zur Vorlesung
Mathematische Methoden für das Lehramt (Ba of Arts)
apl. Prof. Dr. R. Bulla
WS 2016/17
Blatt 9: Abgabetermin: Mittwoch, der 21.12.2016, 10:00
Aufgabe 1: Drehimpulserhaltung
(4 Punkte)
a) Zeigen Sie, dass für die Bewegung eines Teilchens auf der Kreisbahn


cos(ωt)
~r(t) = R  sin(ωt) 
0
der Drehimpuls ~l = ~r × p~ eine Erhaltungsgröße ist. (2 Punkte)
b) Zeigen Sie, dass für eine beschleunigte Bewegung der Form
1
~r(t) = ~r(0) + ~v0 t + t2~g
2
der Drehimpuls ~l = ~r × p~ keine Erhaltungsgröße ist. (2 Punkte)
Aufgabe 2: Drehimpuls
(3 Punkte)
Die Bahn eines Körpers sei gegeben durch ~r(t), der Drehimpuls ~l(t) werde relativ
zum Bezugspunkt ~r0 = ~0 bestimmt. Der Vektor ~r(t) überstreicht in der Zeit t die
Fläche A(t). Zeigen Sie, dass für die Ableitung der Fläche nach der Zeit gilt:
dA
|~l(t)|
=
.
dt
2m
Aufgabe 3: zweidimensionales periodisches Potential
(4 Punkte)
Betrachten Sie das zweidimensionale periodische Potential
V (~r) = cos(x) + cos(y)
~ (~r).
und das zugehörige Kraftfeld F~ (~r) = −∇V
1
a) Berechnen Sie das Wegintegral
Z ~b
2π
0
~
,
, b=
F~ (~r) · d~r , ~a =
π
0
~a,C
durch explizite Auswertung des Integrals entlang des Wegs C = C1 + C2 mit
C1 : y = 0, 0 ≤ x ≤ 2π; C2 : x = 2π, 0 ≤ y ≤ π. (3 Punkte)
b) Vergleichen Sie das Ergebnis auf Teilaufgabe a) mit der Differenz der Stammfunktion (dem Potential) an den Punkten ~a und ~b. (1 Punkt)
Aufgabe 4: Wegintegral, Arbeit
(4 Punkte)
Gegeben sei folgendes Kraftfeld

x+y
F~ (~r) =  z − xy  .
z

Berechnen Sie die von der Kraft F~ entlang der Wege Ci (i = 1, 2) geleistete Arbeit
∆Ai mit
Z ~b
F~ (~r) · d~r , ~a = (0, 0, 0) , ~b = (1, 1, 1) .
∆Ai =
~a,Ci
Dabei sind die Wege Ci gegeben durch:
C1 :
C2 :
~r(t) = (t, t, t) , 0 < t < 1
~r(t) = (t2 , −t + 2t2 , t) , 0 < t < 1
Aufgabe 5: Wegintegrale
(6 Bonuspunkte)
Gegeben sei ein Kraftfeld der Form
1
F~ (~r) = 2
x + y2
−y
x
.
Berechnen Sie für dieses Kraftfeld die Arbeit W entlang der beiden geschlossenen
Wege C1 und C2 (siehe Abbildung).
C1
y
C2
y
r1
r0
x
r
2
x
2

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