Blatt 8

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Ingenieure III
H. Klein
Blatt 8,18. Januar 2016
Diese Woche werden die Präsenzaufgaben durch die erste Übungsklausur ersetzt.
Schriftliche Übungsaufgaben
(36) Das Möbiusband M ist die durch die Parametrisierung


1 + s · cos 2t · cos t
1 1
ϕ : [0, 2π] × − ,
→ R3 ; (t, s) 7→  1 + s · cos 2t · sin t 
2 2
s · sin 2t
gegebene Fläche im R3 . Weiter betrachte das Vektorfeld
F :=
x2
x
∂
∂
y
− 2
2
2
+ y ∂y x + y ∂x
auf dem R3 .
R
(a) Berechne das Flächenintegral M 0 F · dσ, wobei die Orientierung des offenen
Möbiusbandes M 0 := ϕ((0, 2π) × [−1/2, 1/2]) durch ϕ gegeben sei.
R
(b) Berechne das Kurvenintegral ∂M F · ds (der Rand von M ist dabei in der Parametrisierung ϕ durch s = 1/2 gegeben wenn t das Intervall [0, 4π] durchläuft).
(c) Vergleichen Sie das Ergebnis aus (b) mit dem Satz von Stokes und begründen
Sie weshalb hier kein Gegenbeispiel zu diesem Satz vorliegt.
(37) Sei F das auf dem ganzen R3 durch


−xez
F (x, y, z) =  x + 2yez 
−ez
gegebene Vektorfeld.
(a) Berechne die Divergenz div F von F .
(b) Berechne ein Vektorpotential G von F mit G3 = 0.
(c) Finde ein Vektorpotential A von F in Coulomb-Eichung.
Abgabe: Montag, den 18. Januar bis 1300 im Schrein.

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