Integralrechnung

Integralrechnung
y
Die Inhaltsfunktion A(x) gibt für jedes x den Inhalt der
Fläche unter dem Graphen in den Grenzen von 0 bis x an.
8
7
A′ (x) = f (x)
Für die Inhaltsfunktion A(x) gilt:
1
A(x) = 4 x2
6
Beispiele:
5
f (x) = 3
A(x) = 3x
f (x) = x
x2
A(x) =
2
f (x) = x2
A(x) =
f (x) = x3 − 2x + 4
x4
A(x) =
− x2 + 4x
4
4
3
x3
3
1
f (x) = 2 x
2
1
1
Beachte die Schreibweise für die Flächenberechnung:
A=
Z
2
3
x 4
b
f (x) dx
a
A ist der Inhalt der Fläche unter dem Graphen in den Grenzen von a bis b.
1. Bestimme den Inhalt der Fläche unter dem Graphen in den angegebenen Grenzen.
a) f (x) = x2 ,
a = 0,
b=3
b) f (x) = x3 + 1,
a = 0,
b=2
c) f (x) = x4 + x,
a = 1,
b=2
d) f (x) = x2 + 2,
a = −2,
b=2
2. Bestimme den Inhalt der Fläche, die der Graph mit der x-Achse einschließt.
a) f (x) = 4 − x2
b) f (x) = −x2 + 5x + 6
c) f (x) = x3 + 2x2
3. Bestimme den Inhalt der Fläche, die die beiden Graphen miteinander einschließen.
a) f (x) = x2 ,
g(x) = 5x
b) f (x) = x2 ,
g(x) = 2x + 3
c) f (x) = x2 + 2,
g(x) = 2x + 2
d) f (x) = −x2 + 2x + 3,
g(x) = −x + 3
c Roolfs
1
5
6
Integralrechnung
Lösungen
y
1. a)
8
1. a) A =
Z
3
Z
2
Z
2
x2 dx =
0
b) A =
x3
3
3
(x3 + 1) dx =
0
c) A =
(x4 + x) dx =
1
Z
d) A = 2
Z
2. a) A = 2
0
6
x4
x5
4
5
2
(x2 + 2) dx = 2
0
2
0
+x
2
5
= ... = 6
0
+
x3
3
x2
2
4
2
1
+ 2x
77
x3
(4 − x ) dx = 2 4x −
3
3
= . . . = 10
2
2
0
2
7
= ... = 9
2
0
40
1
= ... = 3
32
= ... = 3
1
2
3
x
1
2
3
x
y
2. a)
5
b) A =
Z
6
(−x2 + 5x + 6) dx =
4
−1
x3 5x2
− +
+ 6x
3
2
3
6
1
−1
= . . . = 57 6
2
1
0
x4 2x3
c) A =
(x3 + 2x2 ) dx =
+
4
3
−2
Z
0
4
−2
= ... = 3
-3
-2
-1
-1
Z
5
Z
3
b) A =
2
c) A =
Z
3. a) A =
5
(5x − x2 ) dx = . . . = 20 6
0
25
2
(2x + 3 − x2 ) dx = . . . = 10 3
−1
20
((2x + 2) − (x2 + 2)) dx =
15
0
Z
2
0
d) A =
Z
y
3. a)
4
(2x − x2 ) dx = . . . = 3
3
10
5
((−x2 + 2x + 3) − (−x + 3)) dx =
0
Z
0
3
9
(−x2 +3x) dx = . . . = 2
c Roolfs
2
1
2
3
4
5
x
Integralrechnung
4. Bestimme den Inhalt der gefärbten Fläche.
Die Koordinaten der eingezeichneten Parabelpunkte sind ganzzahlig.
y
a)
bc
5
4
3
bc
2
bc
1
-1
1
2
3
1
2
3
4
y
b)
bc
5
4
3
bc
2
1
bc
-3
bc
-2
-1
c Roolfs
3
x
5
x
Integralrechnung
4. Bestimme den Inhalt der gefärbten Fläche.
Die Koordinaten der eingezeichneten Parabelpunkte sind ganzzahlig.
y
a)
bc
5
1
y = 2 (x + 5)
4
3
bc
1
f (x) = 4 (x2 − 2x + 5)
2
bc
1
A = 9 FE
-1
1
2
3
4
5
x
Die Geradengleichung muss nicht aufgestellt werden.
y
b)
bc
5
5
f (x) = − 9 x2 + 5
4
3
bc
2
1
g(x) = − 3 x2 + 3
1
A = 8 FE
bc
-3
bc
-2
-1
1
c Roolfs
4
2
3
x
Integralrechnung
y
bc
4
bc
3
2
bc
bc
-4
bc
1
bc
-3
-2
-1
1
2
bc
bc
3
4
Bestimme den Inhalt der grauen Fläche.
Die Koordinaten der eingezeichneten Punkte sind ganzzahlig.
c Roolfs
5
5
x
Integralrechnung
y
bc
4
bc
3
2
bc
A1
A2
bc
-4
bc
1
bc
-3
-2
-1
1
2
bc
bc
3
4
5
x
Bestimme den Inhalt der grauen Fläche.
Die Koordinaten der eingezeichneten Punkte sind ganzzahlig.
f (x) = 4 − ax2, f (4) = 0
A=
c Roolfs
6
Z
=⇒
1
a= 4
4
f (x) dx − A1 − A2 = 18 − 2 − 3 = 13 [FE]
−2
Integralrechnung
Bestimme den Inhalt der gefärbten Fläche nun im Kopf.
y
bc
5
4
3
bc
2
1
bc
-3
bc
-2
-1
1
2
c Roolfs
7
3
x
Integralrechnung
y
bc
5
Bestimme den Inhalt der gefärbten Fläche nun im Kopf.
Erläutere.
4
3
bc
2
1
bc
-3
y
a)
1
-1
1
1
x
4
-1
x
1
4
D=3
1
-1
1
y
x
4
5
4
E = 3 · 9 = 12
3
e)
3
f)
2
2
1
-2
-1
F = 3 · 15 = 20
4
y
-3
3
C=3
1
x
2
y
c)
2
B=3
1
x
y
d)
y
b)
1
A= 3
1
bc
-2
1
1
2
3
x
-3
-2
-1
1
2
3
x
G = 20 − 12 = 8
c Roolfs
8

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