Prof. Dr. Rainer Dahlhaus
Wahrscheinlichkeitstheorie 1
Sommersemester 2016
Vorbereitung auf 3. Übungsblatt (Präsenzübungen)
Aufgabe P9 (Messbarkeit kombinierter Abbildungen).
Sei (Ω, A) ein Messraum und X1 , ..., Xn : Ω → R eine Folge von (A, BR )-messbaren Abbildungen.
(a) Zeigen Sie: Die Abbildungen maxi=1,...,n Xi , mini=1,...,n Xi : Ω → R sind (A, BR )-messbare
Abbildungen.
(b) Definiere X0 := 1. Sei nun
τ : Ω → R,
τ (ω) := sup{i ∈ {0, ..., n} : Xi (ω) > 0}
der letzte Zeitpunkt, bei welchem Xi positiv ist. Zeigen Sie, dass τ (A, P({0, ..., n})messbar ist.
(c) Zeigen Sie, dass die Abbildung
Y : Ω → R,
(
1, X1 (ω) > X2 (ω),
h(ω) :=
0, sonst,
(BR , BR )-messbar ist.
Aufgabe P10 (Ein Beispiel für das Urbild stückweise definierter Abbildungen).
Sei f : R → R definiert durch
(
x, x ∈ Q,
.
f (x) = x
, x ∈ R\Q
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Bestimmen Sie für eine beliebige Menge A ∈ BR einen Ausdruck für f −1 (A).
Aufgabe P11 (Ein Beispiel für das induzierte Maß).
Es sei Ω = N0 = {0, 1, 2, 3, ...} und P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω, P(Ω)) definiert durch
P({n}) := 2−n−1 .
Weiter sei eine (messbare) Abbildung definiert durch
X : Ω → R,
X(n) := n mod 3.
Bestimmen Sie das induzierte Maß PX auf (X , B) := (Bild(X), P(Bild(X))), das durch
PX (A) := P(X −1 (A))
gegeben ist.
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Aufgabe P12 (Messbarkeit von reellwertigen Abbildungen).
(a) Zeigen Sie, dass die folgenden Abbildungen f, g, h : R → R (BR , BR )-messbar sind:
(
1
, x 6= 0,
x
(i)
f (x) =
0, x = 0.
(
x,
x ∈ Q,
(ii)
g(x) =
2
x − x, x ∈ R\Q
√
(iii)
h(x) = x · (x − bxc).
(b) Sei f : R → R eine monoton wachsende Funktion. Zeigen Sie, dass f (BR , BR )-messbar
ist.
Hinweis: E = {I ⊂ R : I Intervall} ist ein Erzeugendensystem von BR . Zeigen Sie zuerst,
dass das Urbild eines Intervalls unter einer monotonen Funktion wieder ein Intervall ist.
(c) Die Funktion g : R×[0, 1] → R, (s, x) 7→ g(s, x) sei für alle x ∈ [0, 1] stetig in Rs. Außerdem
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sei g für alle s ∈ R Riemann-integrierbar in x. Zeigen Sie, dass h(s) := 0 g(s, x) dx
(BR , BR )-messbar ist.
Hinweis: Nutzen Sie die Ergebnisse von Übungsblatt 3, Aufgabe 9 und 10.
Abgabe: Keine Abgabe. Dieses Übungsblatt wird (teilweise) in den Übungen besprochen.
Homepage der Vorlesung:
http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~hu020/WT1/index.html
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