Oliver Goertsches Wintersemester 2015/2016 Lineare Algebra I: Übungsblatt 3 (Abgabe: 2. und 3. November 2015, in den Übungen) Aufgabe 1 (Schriftlich, 10 Punkte). Seien I und X Mengen. Eine Familie (Ai )i∈I von Teilmengen von X ist eine Abbildung I → P(X), i 7→ Ai . Für eine solche Familie definieren wir [ \ Ai := {a ∈ X | ∃i : (i ∈ I ∧ a ∈ Ai )} und Ai := {a ∈ X | ∀i : (i ∈ I ⇒ a ∈ Ai )} . i∈I i∈I Nehmen Sie nun an, dass (Ai )i∈I eine Familie von Teilmengen von X ist und zeigen Sie, dass die folgenden beiden Gleichungen gelten: T S 1. X \ i∈I Ai = i∈I (X \ Ai ) und S T 2. X \ i∈I Ai = i∈I (X \ Ai ). Aufgabe 2 (Schriftlich, 10 Punkte). Welche der folgenden Aussagen ist für alle Abbildungen f : X → Y sowie alle Teilmengen A, A0 ⊆ X und B, B 0 ⊆ Y richtig, welche nicht? Beweisen Sie Ihre Behauptung. 1. f −1 (f (A)) = A. 2. f (f −1 (B)) = B. 3. f (X \ A) = Y \ f (A). 4. f −1 (Y \ B) = X \ f −1 (B). 5. f −1 (B) ∪ f −1 (B 0 ) = f −1 (B ∪ B 0 ). 6. f (A) ∪ f (A0 ) = f (A ∪ A0 ). 7. f −1 (B) ∩ f −1 (B 0 ) = f −1 (B ∩ B 0 ). 8. f (A) ∩ f (A0 ) = f (A ∩ A0 ). Aufgabe 3 (Schriftlich, 10 Punkte). Zeigen Sie, dass für alle Abbildungen f : X → Y und g : Y → Z Folgendes gilt: 1. Ist g ◦ f injektiv, so ist auch f injektiv. 2. Ist g ◦ f surjektiv, so auch g. Zeigen Sie zudem, dass es Abbildungen f : X → Y und g : Y → Z gibt, sodass g ◦ f bijektiv aber f nicht surjektiv ist. Zeigen Sie außerdem, dass es Abbildungen f : X → Y und g : Y → Z gibt, für welche g ◦ f bijektiv ist, aber g nicht injektiv. Aufgabe 4 (Schriftlich, 10 Punkte). Es seien X, Y Mengen und f : X → Y eine Abbildung. Wir bezeichnen mit ∼ die Äquivalenzrelation, die für x, x0 ∈ X durch x ∼ x0 :⇐⇒ f (x) = f (x0 ) erklärt ist, und mit X/∼ den Raum aller Äquivalenzklassen. Beweisen Sie: Die Abbildung f : X/∼ → f (X), [x] 7→ f (x), ist wohldefiniert und eine Bijektion.