Lineare Algebra I
- 11.Vorlesung Prof. Dr. Daniel Roggenkamp
&
Falko Gauß
4.4
4.4. Lineare Abbildungen
Lineare Abbildungen
Um Vektorräume in Beziehung zueinander zu setzen betrachtet man Abbildungen zwischen
Abbildungen,
zwischen Vektorräumen, die mit
Ihnen, die mit der Vektorraum-Struktur kompatibel sind. Im folgenden bezeichnet K immer
der Vektorraum-Struktur kompatibel sind …
einen Körper.
Definition 4.33. Seien V und W K-Vektorräume. Eine Abbildung f : V ! W heißt
K-linear, oder einfach nur linear, falls
(1) f (v + w) = f (v) + f (w) für alle v, w 2 V , (d.h. f : (V, +) ! (W, +) ist ein Gruppenhomomorphismus), und
34(2) f (k · v) = k · f (v), für alle k 2 K und v 2 V .
4.4 Lineare Abbildungen
34
4.4 Lineare Abbildungen
Lineare
Abbildungen nennt man auch Vektorraumhomomorphismen.
Beispiel 4.34.
Definition
4.35. Es gibt
noch
einige
weitere Spezialf
älle
linearer
Abbildungen,
die eigene
(1) Die Abbildung
: R noch
! R,einige
die gegeben
durchälle
x 7!
a x fürAbbildungen,
ein a 2 R ist die
linear.
Definition
4.35. Es fgibt
weitereist
Spezialf
linearer
eigene
Namen
haben:
sei
f
:
V
!
W
linear.
(2) Das
gilt auch
Abbildung
Namen
haben:
sei f f:ürV die
!W
linear. f : Rn ! R, x 7! a1 x1 + . . . + an xn , wobei ai 2 R.
• Monomorphismus: f ist injektiv,
(3)
C ist Vektorraum sowohl
R als auch über C. Die Abbildung f : C ! C, z 7! z
• Monomorphismus:
f ist über
injektiv,
• Epimorphismus: f ist surjektiv,
ist R-linear, nicht aber
• Epimorphismus:
f istC-linear.
surjektiv,(f (rz) = rz, aber r = r gilt genau dann wenn r 2 R.)
• Isomorphismus: f ist bijektiv, (Dann nennt man V und W isomorph: V ⇠⇠
= W .)
(4)
Sei X eine Menge,f x
X, und(Dann
K einnennt
Körper.
Einsetzungsabbildung
• Isomorphismus:
ist2bijektiv,
man Dann
V undist
W die
isomorph:
V = W .)
• Endomorphismus: V = W ,
• Endomorphismus:
V f=7!
W f, (x) linear.
x : Abb(X, K) ! K,
•
Automorphismus:
f
ist
bijketiv und
und V =
=W
W..
• Automorphismus:
(5)
Die Ableitung (·)0 : Cf1ist
(R,bijketiv
R) ! C 1 (R,V R),
f 7! f 0 , die glatte Funktionen f : R ! R
auf ihre Ableitungen
abbildet,
ist ein
eineIsomorphismus,
lineare Abbildung.
Bemerkung
4.36.
Ist
f
:
V
!
W
dann ist
ist die
die Umkehrabbildung
Umkehrabbildung
Bemerkung
4.36.
Ist
f
:
V
!
W
ein
Isomorphismus,
dann
ff 11 :: W
W!
!V
V auch
auch linear,
linear, und
und damit
damit ein
ein Isomorphismus.
Isomorphismus.
[Übungsaufgabe]
Proposition
4.37. Seien
Seien f,
f, gg :: VV !
!W
W lineare
lineare Abbildungen,
Abbildungen, kk22K.
K.Dann
Dannsind
sinddie
dieAbbilAbbilProposition 4.37.
dungen
dungen
(f +
+ g)
g) :: VV !
!W
W ,, xx 7!
7! ff(x)
(x) +
+ g(x)
g(x) und
und
•• (f
(k ·· ff )) :: V
V !
!W
W ,, xx 7!
7! kk ·· ff(x)
(x)
•• (k
4.4.
Lineare Abbildungen
linear.
Insbesondere ist
ist die
die Menge
Menge der
der linearen
linearen Abbildungen
Abbildungen VV !
!W
W ein
ein K-Vektorraum.
K-Vektorraum.
linear. Insbesondere
linear.
Insbesondere
ist
diek Menge
Menge
der linearen
linearen Abbildungen
Abbildungen VV !
!W
W ein
ein K-Vektorrau
K-Vektorrau
linear.
Insbesondere
ist
die
der
•
(k
·
f
)
:
V
!
W
,
x
!
7
·
f
(x)
linear. Insbesondere ist die Menge der linearen Abbildungen V ! W ein K-Vektorrau
Wir
nennen
ihn Hom(V,
Hom(V,
WMenge
).
linear.
Insbesondere
ist
die
der linearen Abbildungen V ! W ein K-Vektorraum.
Wir
nennen
ihn
W
).
Wir nennen ihn Hom(V, W ).
Wir nennen
ihn Hom(V,
W ).
Beweis.
Einfaches
Nachrechnen.
Beweis.
Beweis. Einfaches
Einfaches Nachrechnen.
Nachrechnen.
Beweis. Einfaches Nachrechnen.
Proposition
4.38.
Proposition
Proposition 4.38.
4.38.
Proposition
(1)
Sei
V4.38.
!W
W eine
eine lineare
lineare Abbildung.
Abbildung. Dann
Dann gilt
gilt
(1)
!
(1) Sei
Sei fff ::: VV
!
W
eine
lineare
Abbildung.
Dann
gilt
(1) Sei f : V ! W eine lineare Abbildung.
Dann gilt
!
!
!
n
n
nn
nn
X
X
!
X
X
X
X
n
n
X
xiii =
=
(xiii))),,, fffür
ür alle
alle kkkiii 22
2K
K,,, xxxiii 22
2 VV
V ...
fff X kkkiiixx
kkkiiifff(x
=
(x
ür
alle
K
f
k x =
k f (x ) , für alle k 2 K , x 2 V .
i=1 i
i=1
i=1
i
i=1
(2)
(2)
(2)
(2)
(3)
(3)
(3)
(3)
(4)
(4)
(4)
i
i=1
i=1
i=1
i
i
i
i=1
Die
identische Abbildung
Abbildung id
id ::: VV
V !
! VV
V , xx
x 7!
7! xx
x ist
ist linear.
linear.
Die
identische
Die identische
identische
Abbildung
ist
linear.
Die
Abbildung
id id
: V !!
V , x,,7!
x7!ist
linear.
Die
Kompositionzweier
zweierlinearer
linearer
Abbildungen
ist linear.
linear.
Die
Komposition
zweier
linearer
Abbildungen
ist
Die Komposition
Komposition
zweier
linearer
Abbildungen
ist
linear.
Die
Abbildungen
ist linear.
Die Einschr
Einschränkung
änkungeiner
einer
linearen
Abbildung
auf
einen
Untervektorraum
ist linear.
linear.
Die
Einschr
änkung
einer
linearen
Abbildung
einen
Untervektorraum
ist
Die
linearen
Abbildung
aufauf
einen
Untervektorraum
ist linear.
Beweis.
(1) Induktion
Induktionnach
nachn.n.
n.
Die
Aussage
gilt
ür=nn1,=
=denn
1, denn
denn
(k=xx1k1))1 =
(x11).). GG
Beweis.
(1)
Induktion
nach
Die
Aussage
ür
1,
1ff(x
Beweis. (1)
Die
Aussage
giltgilt
für ffn
f (k1fxf(k
f=(xkk11).
Gilt
1 ) 11
die
Aussage ffür
die
n,
so
folgt
für
ürn,
n,so
sofolgt
folgt
die Aussage
Aussage
!
!
!
!
!
! !
! !
n+1
n
n
n+1
n
n
n+1
n
n
X
X
XX
X
X
X
X
X
ff
kkkiiixxxiii ==
kikk
xiii xx+
kn+1
xn+1
= f=
(k
xn+1
kkn+1
xxn+1
ff (k
= f ff
+
= ff ki xikkiixx+ii f +
+n+1
(k
xn+1
n+1
n+1
n+1)x
n+1))
ii +
n+1
i=1
i=1
i=1
i=1
i=1
i=1
n nn
X
!!
!
i=1 i=1
i=1
n
nn
X
X
X
X
X
==
kikk
xiii xxii + +
kn+1
f (xffn+1
)n+1
= )) =
ki f (x
)f(x
+ii))kn+1
fkk(x
)(xn+1
if
n+1
= f ff
+
k
(x
=
k
(x
+
f
k
(x
k
+
f
(x
n+1
i
n+1
n+1
n+1
n+1
i
n+1
i i
n+1
n+1
i
i
n+1
n+1))
i=1i=1
i=1
i=1
n+1
X
n+1
n+1
n+1
X
X
X
==
ki kf (x
).).
f i(x
=
=
(2) ist o↵ensichtlich.
(2) ist o↵ensichtlich.
i=1
i=1
i=1
i=1
i=1 i=1
i=1
i=1
kkiiiff(x
(xiii))..
4.4. Lineare Abbildungen
• Isomorphismus: f ist bijektiv, (Dann nennt man V und W isomorph: V ⇠
= W .)
• Endomorphismus: V = W ,
• Automorphismus: f ist bijketiv und V = W .
Abbildungen
bilden Vektorraum:
Bemerkung 4.36. Ist Lineare
f : V !
W ein Isomorphismus,
dann ist die Umkehrabbildung
f 1 : W ! V auch linear, und damit ein Isomorphismus.
Proposition 4.37. Seien f, g : V ! W lineare Abbildungen, k 2 K. Dann sind die Abbildungen
4 Vektorr
35
• (f +äume
g) : V ! W , x 7! f (x) + g(x) und
• (k · f ) : V ! W , x 7! k · f (x)
linear. Insbesondere ist die Menge der linearen Abbildungen V ! W ein K-Vektorraum.
Sei
weiter
k 2ihn
K,Hom(V,
so gilt W ).
Wir
nennen
(f g)(k
= f (g(k
x)) =W
f (k
k f (g(x))
(f Wg)(x)
Wir bezeichnen
ihnx)mit
oder=auch
Hom=Kk(V,
). .
Hom(V,
) g(x))
Beweis.
Einfaches
Nachrechnen.
(4) ist auch o↵ensichtlich.
Proposition 4.38.
(1) Sei f : V4.39.
! WSeien
eineVlineare
Dann gilt K-Vektorräume mit Basen {v , . . . , v }
Proposition
und WAbbildung.
endlich-dimensionale
1
n
!
n eine lineare
n Abbildung f : V ! W eindeutig bestimmt durch
bzw. {w1 , . . . , wm }. DannX
ist
X
= die linearen
ki f (xi ) ,Abbildungen
für alle ki 2 K , xi 2 V .
die Bilder f (v1 ), . . . , ff(vn ) 2 kWi x, iund
i=1
i=1
n
X
fi,a : V Abbildung
! W , v id
=: V !
xi vVi ,7 x!7!xixwist
1 i n, 1 a m
(2) Die identische
a , linear.
i=1 Abbildungen ist linear.
(3) Die Komposition zweier linearer
(4) Die
einerW
linearen
Abbildung
auf einen Untervektorraum ist linear.
formen
eineEinschr
Basis änkung
von Hom(V,
). Daher
ist
Beweis. (1) Induktion nach
n.Hom(V,
Die Aussage
für)ndim(W
= 1, denn
dim
W ) = gilt
dim(V
) . f (k1 x1 ) = k1 f (x1 ). Gilt
die Aussage für n, so folgt
! dass f durch
! festgelegt wird, denn
Beweis. Es
ist klar,
die Bilder f (vi )!der Basisvektoren
n+1
n
n
X
X
X
sei g eine
andere
lineare
Abbildung
mit
g(v
)
=
f
(v
),
so
folgt
(g
fürx alle) i und
i
i
f
ki x i
= f
ki xi + kn+1 xn+1 = f
ki xi f )(v
+ i )f =
(k0n+1
n+1
daher wegen
der
Linearit
ät,
und
dem
Umstand,
dass
die
v
V
erzeugen
(g
f
)(v)
= 0 für
ii=1
i=1
i=1
!
alle v 2 V . Also g = f .
4.4. Lineare Abbildungen
n
n
X
X
Ferner sind die fi,a linear unabhängig. Sei nämlich f = i,a yi,a fi,a = 0. Dann gilt
X
X
0 = f (vj ) =
yi,a fi,a (vj ) =
yj,a wa ,
a
Bild und Kerni,avon linearen Abbildungen:
für alle j. Da die wa linear unabhängig sind, folgt, yj,a = 0 für alle a und j. Die fi,a sind also
eine Basis, und daraus folgt sofort die Dimensionsformel.
Proposition 4.40. Sei f : V ! W linear und seien X ✓ V und Y ✓ W Untervektorräume.
Dann ist f (X) ein Untervektorraum von W , und f 1 (Y ) ein Untervektorraum von V .
Beweis. Seien w1 , w2 2 f (X), k 2 K. Dann gibt es x1 , x2 2 X mit wi = f (xi ). Dann
36
4.4x1 Lineare
gilt aber w1 + w2 = f (x1 ) + f (x2 ) = f (x1 + x2 ) 2 f (X), denn
+ x2 2 Abbildungen
X. Außerdem
ist k w1 = k f (x1 ) = f (k x1 ) 2 f (X), denn k x1 2 X. Also ist f (X) abgeschlossen unter
Spezialfälle:
Addition und skalarer Multiplikation, damit also ein Untervektorraum.
Definition
Sei f1 (Y
: V). !
W linear.
Seien
nun v4.41.
Dann
gilt f (vi ) = yi 2 Y . Da Y Untervektorraum,
so ist auch
36
4.4 Lineare Abbildungen
1 , v2 2 f
• Das
:= vf1(V+)v✓
W . 1 (Y ). Für k 2 K gilt
Y 3
y1 +Bild
y2 =von
f (vf1 )ist
+ der
f (v2Untervektorraum
) = f (v1 + v2 ). im(f
Also )ist
2 2 f
1
1 ({0}) ✓ V .
•
Der
Kern
von
f
ist
der
Untervektorraum
ker(f
)
:=
f
außerdem Y 3 k y1 = k f (v1 ) = f (k v1 ). Also ist k v1 2 f (Y ). Damit ist auch f 1 (Y ) ein
Definition 4.41. Sei f : V ! W linear.
Untervektorraum.
Proposition 4.42. Sei f : V ! W eine lineare Abbildung. Dann gilt
Das BildSpezialf
von f älle
ist der
Untervektorraum
im(f ) := f (V ) ✓ W .
Zwei• wichtige
davon
sind:
(1)• fDer
ist surjektiv
wenn im(f ) = Wker(f
. ) := f 1 ({0}) ✓ V .
Kern vongenau
f ist dann
der Untervektorraum
(2) f ist injektiv genau dann wenn ker(f ) = {0}.
Proposition 4.42. Sei f : V ! W eine lineare Abbildung. Dann gilt
Beweis.
ist klar.genau dann wenn im(f ) = W .
(1) f ist(1)
surjektiv
1
(2)(2)
Falls
f
injektiv
ist,
so
gilt
|f
Da aber f (0) = 0 folgt, dass ker(f ) = {0}.
f ist injektiv genau dann wenn({0})|
ker(f =
) =1.{0}.
Sei andererseits ker(f ) = {0}, und x1 , x2 2 V mit f (x1 ) = f (x2 ). Wegen der Linearität von
fBeweis.
gilt 0 = (1)
f (xist
f (x2 ) = f (x1 x2 ). Also x1 x2 2 ker(f ). Also x1 x2 = 0, und damit
1 ) klar.
x(2)
x2 . Also
ist f injektiv.
f injektiv
ist, so gilt |f 1 ({0})| = 1. Da aber f (0) = 0 folgt, dass ker(f ) = {0}.
1 =Falls
Sei andererseits ker(f ) = {0}, und x1 , x2 2 V mit f (x1 ) = f (x2 ). Wegen der Linearität von
f gilt 0 = f (x1 ) f (x2 ) = f (x1 x2 ). Also x1 x2 2 ker(f ). Also x1 x2 = 0, und damit
Satz
Seiistf f: injektiv.
V ! W lineare Abbildung, und V endlich-dimensional. Dann ist auch
x1 = 4.43.
x2 . Also
f (V ) endlich-dimensional und es gilt
4.4. Lineare Abbildungen
f gilt 0 = f (x1 ) f (x2 ) = f (x1
x1 = x2 . Also ist f injektiv.
x2 ). Also x1
x2 2 ker(f ). Also x1
x2 = 0, und damit
Satz 4.43. Sei f : V ! W lineare Abbildung, und V endlich-dimensional. Dann ist auch
f (V ) endlich-dimensional und es gilt
dim(V ) = dim(ker(f )) + dim(im(f )) .
Insbesonder ist f genau dann injektiv, wenn dim(V ) = dim(im(f )).
Beweis. Seien B eine Basis von V und B 0 eine Basis von ker(f ) ✓ V . Nach Satz 4.26 und
Korollar 4.29 kann man B 0 durch hinzufügen von |B| |B 0 | = dim(V ) dim(ker(f )) =: d
Elementen zu einer Basis von V ergänzen. Sei S die Menge dieser d Elemente. Aus der
Behauptung, dass f (S) gerade eine Basis von im(f ) ist folgt der Satz. Im folgenden wird die
Behauptung gezeigt. Sei dazu B 0 = {x1 , . . . , xn d }, S = {xn d+1 , . . . , xn }. Als erstes wird
gezeigt,
Pn dass f (S) das Bild im(f ) erzeugt: Sei w 2 im(f ). Dann gibt es ki 2 K, so dass
f ( i=1 ki xi ) = w. Da aber x1 , . . . , xn d 2 ker(f ) folgt
!
n
n
n
X
X
X
w=f
ki x i =
ki f (xi ) =
ki f (xi ) 2 L(f (S)) .
i=1
i=1
i=n d+1
Als n
ächstes wird gezeigt, dass
f (S) linear unabhängig ist.
Sei kn d+1 , . . . , kn 2 K und
P
P
P
n
n
0 = ni=n d+1 ki f (xi ) = f
k
x
.
Dann
ist
also
i
i
i=n d+1
i=n d+1 ki xi 2 ker(f ). Nun ist
aber B 0 = {x1 , . . . , xn d } eine Basis von ker(f ). Also gibt es k1 , . . . , kn d 2 K mit
n
X
i=n d+1
ki xi =
n d
X
i=1
ki x i ,
n
X
ki x i = 0 .
i=1
Da aber B = {x1 , . . . , xn } eine Basis von V ist, also insbesondere linear unabhängig, folgt
4.4. Lineare Abbildungen
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