Andr´as B´atkai Sven-Ake Wegner Katharina Baumann Bergische Universit¨at Wuppertal SS 2015 ¨ Lineare Algebra I: Ubungsblatt 7 ¨ Ubungsaufgaben Aufgabe A. Finden Sie heraus, welche der folgenden Abbildungen linear sind. (i) a : R → R, x 7→ |x|. (ii) b : R2 → R, (x, y) 7→ xy. (iii) c : R3 → R2 , (x, y, z) 7→ (2z, 3x − z). (iv) d : P → R, p 7→ p(0), wobei P den R-Vektorraum der reellen Polynome bezeichnet. Aufgabe B. Berechnen Sie Kern und Bild derjenigen Abbildungen aus Aufgabe A, die linear sind. Aufgabe C. Finden Sie heraus, ob es lineare Abbildungen f, g : R3 → R3 gibt mit f (ai ) = bi und g(ci ) = di , f¨ ur i = 1, 2, 3 bzw. i = 1, 2 wobei (i) a1 = (1, 1, 0), a2 = (0, 1, 1), a3 = (0, 1, 0) und b1 = (2, 3, 1), b2 = (0, 0, 0), b3 = (−1, 2, 0), (ii) c1 = (1, 2, 0), c2 = (0, 2, 1) und d1 = (3, 1, 5), d2 = (−1, 0, −1). Hausaufgaben Aufgabe 1. (10 Punkte) Finden Sie heraus, welche der folgenden Abbildungen linear sind. (i) a : R3 → R, (x, y, z) 7→ 1. √ (ii) b : R2 → R4 , (x, y) 7→ ( 2x + y, 3x, −y, x). (iii) c : K M → K, f 7→ f (x), wobei K ein K¨orper, M eine Menge und x ∈ M fest ist. Aufgabe 2. (10 Punkte) Finden Sie heraus, ob es lineare Abbildungen f, g : R3 → R3 gibt mit f (ai ) = bi und g(ci ) = di , f¨ ur i = 1, 2, 3, 4, wobei (i) a1 = (1, 1, 0), a2 = (0, 1, 1), a3 = (0, 1, 0), a4 = (1, 1, 1) und b1 = (2, 3, 1), b2 = (0, 0, 0), b3 = (−1, 2, 0), b4 = (3, 1, 1), (ii) c1 = (1, 1, 0), c2 = (0, 1, 1), c3 = (0, 1, 0), c4 = (1, 1, 1) und d1 = (2, 3, 1), d2 = (0, 0, 0), d3 = (−1, 2, 0), d4 = (0, 0, 0). Aufgabe 3. (10 Punkte) Seien V und W 6= 0 Vektorr¨aume, V sei endlich erzeugt und S ⊆ V sei eine Teilmenge. Zeigen Sie, daß S genau dann linear unabh¨angig ist, wenn zu jeder Abbildung f0 : S → W eine lineare Fortsetzung, d.h. eine lineare Abbildung f : V → W mit f |S = f0 , existiert. Wann ist diese lineare Fortsetzung eindeutig bestimmt? Aufgabe 4. (10 Punkte) Bestimmen Sie alle R-linearen Abbildungen von R nach R. Abgabe: Bis Freitag, 05.06.2015 um 14:00 Uhr in die Postf¨acher auf D.13 bzw. D.10: Gruppe Postfach (D.13) 1 84 3 19 5 18 6 69 7 16 Gruppe Postfach (D.10) 2 81 4 83