Blatt 7 - FA - Bergische Universität Wuppertal

Andr´as B´atkai
Sven-Ake Wegner
Katharina Baumann
Bergische Universit¨at Wuppertal
SS 2015
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Lineare Algebra I: Ubungsblatt
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Ubungsaufgaben
Aufgabe A. Finden Sie heraus, welche der folgenden Abbildungen linear sind.
(i) a : R → R, x 7→ |x|.
(ii) b : R2 → R, (x, y) 7→ xy.
(iii) c : R3 → R2 , (x, y, z) 7→ (2z, 3x − z).
(iv) d : P → R, p 7→ p(0), wobei P den R-Vektorraum der reellen Polynome bezeichnet.
Aufgabe B. Berechnen Sie Kern und Bild derjenigen Abbildungen aus Aufgabe A, die linear
sind.
Aufgabe C. Finden Sie heraus, ob es lineare Abbildungen f, g : R3 → R3 gibt mit f (ai ) = bi
und g(ci ) = di , f¨
ur i = 1, 2, 3 bzw. i = 1, 2 wobei
(i) a1 = (1, 1, 0), a2 = (0, 1, 1), a3 = (0, 1, 0) und b1 = (2, 3, 1), b2 = (0, 0, 0), b3 = (−1, 2, 0),
(ii) c1 = (1, 2, 0), c2 = (0, 2, 1) und d1 = (3, 1, 5), d2 = (−1, 0, −1).
Hausaufgaben
Aufgabe 1. (10 Punkte) Finden Sie heraus, welche der folgenden Abbildungen linear sind.
(i) a : R3 → R, (x, y, z) 7→ 1.
√
(ii) b : R2 → R4 , (x, y) 7→ ( 2x + y, 3x, −y, x).
(iii) c : K M → K, f 7→ f (x), wobei K ein K¨orper, M eine Menge und x ∈ M fest ist.
Aufgabe 2. (10 Punkte) Finden Sie heraus, ob es lineare Abbildungen f, g : R3 → R3 gibt
mit f (ai ) = bi und g(ci ) = di , f¨
ur i = 1, 2, 3, 4, wobei
(i) a1 = (1, 1, 0), a2 = (0, 1, 1), a3 = (0, 1, 0), a4 = (1, 1, 1) und b1 = (2, 3, 1), b2 = (0, 0, 0),
b3 = (−1, 2, 0), b4 = (3, 1, 1),
(ii) c1 = (1, 1, 0), c2 = (0, 1, 1), c3 = (0, 1, 0), c4 = (1, 1, 1) und d1 = (2, 3, 1), d2 = (0, 0, 0),
d3 = (−1, 2, 0), d4 = (0, 0, 0).
Aufgabe 3. (10 Punkte) Seien V und W 6= 0 Vektorr¨aume, V sei endlich erzeugt und S ⊆ V
sei eine Teilmenge. Zeigen Sie, daß S genau dann linear unabh¨angig ist, wenn zu jeder Abbildung
f0 : S → W eine lineare Fortsetzung, d.h. eine lineare Abbildung f : V → W mit f |S = f0 ,
existiert. Wann ist diese lineare Fortsetzung eindeutig bestimmt?
Aufgabe 4. (10 Punkte) Bestimmen Sie alle R-linearen Abbildungen von R nach R.
Abgabe: Bis Freitag, 05.06.2015 um 14:00 Uhr in die Postf¨acher auf D.13 bzw. D.10:
Gruppe
Postfach (D.13)
1
84
3
19
5
18
6
69
7
16
Gruppe
Postfach (D.10)
2
81
4
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