Institut für Analysis und Algebra Technische Universität Braunschweig SoSe 2016 Prof. Dr. Volker Bach, Alexander Hach Lineare Algebra 2 2. Übungsblatt Ausgabe am 14.04., Abgabe bis zum 21.04., 13:15 Uhr in der großen Übung, Besprechung in den kleinen Übungen vom 25.04.-27.04. Aufgabe 2.1 (4 Punkte) Sei R ein euklidischer Ring. Ein Element k ∈ R heiß kleinstes gemeinsames Vielfaches (kurz kgV) von a, b ∈ R genau dann, wenn: (a) a | k und b | k (b) Für alle k̃ ∈ R gilt: (a | k̃ ∧ b | k̃) ⇒ k | k̃. Zeigen Sie: (i) Ist g ∈ R ein ggT von a, b ∈ R, dann ist k := ab g ∈ R ein kgV von a und b. (ii) Ist k ∈ R ein kgV von a, b ∈ R, dann ist g := ab k ∈ R ein ggT von a und b. Aufgabe 2.2 (4 Punkte) Seien F ein Körper, p(X), q(X) ∈ F[X]. Bestimmen Sie jeweils ggT(p, q) und kgV(p, q) von: (i) p(X) := 4X 3 + 3X 2 + X − 2, q(X) := 2X 2 + X + 2 ∈ Z5 [X] (ii) p(X) := 3X 2 + 1, q(X) := X 4 + 5X 3 + 2 ∈ Z7 [X]. Aufgabe 3.3 (4 Punkte) Sei R ein euklidischer Ring und a, b, g ∈ R. Zeigen Sie: g ∈ ggT(a, b) ⇔ gR = aR + bR.
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