解析学IV演習問題 No.7

解析学 IV 演習問題 No.7
2014.11.18
以下，面積確定集合 A の面積を |A| で表すことにする．
25. f , g を 2 次元有界閉区間 K で定義された有界で積分可能な実数値関数とする．このとき，
積 f g も K で積分可能であることを示せ．
26. D ⊂ R2 に対して，1D (x) =
{
1 x∈D
0 x ̸∈ D
とおく．
(1) A, B ⊂ R2 とする．つぎを示せ:
1A∩B = 1A 1B ,
1A∪B = 1A + 1B − 1A∩B ,
1A\B = 1A − 1A∩B
(2) A, B ⊂ R2 を面積確定集合とする．このとき，A ∩ B, A ∪ B, A \ B も面積確定集合であ
ることを示せ．
27. (1) A ⊂ R2 とする．任意の ε > 0 に対して，各辺が座標軸に平行な有限個の閉長方形
n
n
∪
∑
R1 , R2 ,. . . , Rn が存在して，A ⊂
Ri かつ
|Ri | < ε が成り立つとき，A は面積確定かつ
|A| = 0 であることを示せ．
i=1
i=1
(2) 線分 A = {(x, 0) | 0 ≤ x ≤ 1} は面積確定で |A| = 0 であることを示せ．
(3) φ が閉区間 [a, b] 上で有界で積分可能ならば，φ のグラフ G = {(x, φ(x)) | a ≤ x ≤ b} は
面積確定で |G| = 0 であることを示せ．
(4) R2 の面積確定集合 A1 , A2 , . . . , Am が |Aj | = 0 (j = 1, 2, . . . , m) を満たすならば，
m
∪
Ak もまた面積確定で |A| = 0 となることを示せ．
A :=
k=1
∞
∪
(5) R の面積確定集合 Aj (j = 1, 2, . . .) が |Aj | = 0 (j = 1, 2, . . .) を満たすならば，
「A :=
2
もまた面積確定かつ |A| = 0」が成立するかどうか調べよ．
Ak
k=1
28. A, B ⊂ R2 を有界集合とする．
(1) A が面積確定であるための必要十分条件は，A の境界 ∂A の面積が 0 であることを示せ．
(2) A が面積確定ならば A も面積確定を示せ．また，逆が成立するかどうかを調べよ．
29. A = {(x, y) | 0 ≤ x, y ≤ 1, x, y ∈ Q} は面積確定でないことを示せ．
30. φ, ψ は，閉区間 [a, b] 上で定義された有界かつ積分可能な関数で，φ(x) ≤ ψ(x) (x ∈ [a, b])
を満たすものとする．このとき，集合 A = {(x, y) | x ∈ [a, b], φ(x) ≤ y ≤ ψ(x)} は面積確定で
あることを示せ．
配布済演習問題は以下に在ります．
http://home.hiroshima-u.ac.jp/tkura/mondai/
解析学 IV 演習問題 No.8
2014.11.18
31. A を R2 の面積確定集合，f を A 上積分可能な関数とする．このとき，任意の面積確定集
合 B ⊂ A 上で f は積分可能であることを示せ．
32. A, B を面積確定集合とし，f , g を A ∪ B 上有界な関数とする．以下を示せ．
∫
(1) |A| = 0 ならば，f は A 上積分可能で， f (x) dx = 0.
A
(2) f が A, B 上積分可能ならば，A ∪ B, A ∩ B 上でも積分可能で，
∫
∫
∫
∫
f (x) dx.
f (x) dx +
f (x) dx =
f (x) dx +
A
A∩B
A∪B
B
特に，A ∩ B の面積が 0 ならば，
∫
∫
∫
f (x) dx =
f (x) dx +
f (x) dx.
A∪B
A
B
33. A ⊂ R2 を面積確定集合，f , g : A → R を有界で可積分な関数とする．つぎを示せ．
∫
∫
(1) f (x) ≤ g(x) (∀x ∈ A) ならば
f (x) dx ≤
g(x) dx.
A
A
∫
(2) h : A → R が f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) (∀x ∈ A) を満たし，さらに
∫
∫
らば h も可積分であり， h(x) dx =
f (x) dx.
A
∫
g(x) dx な
f (x) dx =
A
A
A
(3) α, β ∈ R に対して，αf + βg も可積分で，
∫
∫
∫
(αf (x) + βg(x)) dx = α f (x) dx + β
g(x) dx.
A
A
A
∫
∫
(4) |f | も可積分で， f (x) dx ≤
|f (x)| dx
A
A
(5) 積 f g も可積分.
∫
∫
(6) E = {x ∈ A | f (x) ̸= g(x)} とおく．|E| = 0 ならば， f (x) dx =
g(x) dx.
A
A
34. A ⊂ R2 を面積確定である有界な連結閉集合，f (x) を A 上の連続関数とする．
∫
f (x) dx = f (x0 )|A|
A
を満たす点 x0 ∈ A が存在することを示せ．
解析学 IV 演習問題 No.9
2014.11.18
35. つぎの積分の値を求めよ．但し，a > 0, b > 0 とする．
∫
∫
x1
(1)
dx, D = [0, 1] × [0, 1]
(2)
xx1 2 dx, D = [0, 1] × [1, 2]
2
D
D (x1 + x2 + 1)
∫
∫
x1
(3)
dx, D = [1, 2] × [0, 1]
(4)
x1 sin(x1 + x2 ) dx, D = [0, π/2] × [0, π/2]
D 1 + x1 x2
D
∫
∫
x1 x2
(5)
x1 e
dx, D = [0, a] × [0, b]
(6)
max(x21 , x2 ) dx, D = [0, a] × [0, a]
D
D
∫
x21 x2 sin(x1 x22 ) dx, D = [0, π/2] × [0, 2]
(7)
D
36. つぎの積分の順序を交換せよ．
∫
1
(∫
)
bt
(1)
∫
f (s, t) ds dt (0 < a < b)
0
∫
)
2 cos θ
(3)
√
f (s, t) ds dt
∫
f (r, θ) dr dθ
)
t
t2
0
(∫
0
(∫
(2)
at
π/2
1
1
(∫
(4)
0
)
1
f (s, t) dt ds
0
s
37. つぎの積分の値を求めよ．但し，a > 0, b > 0 とする．
∫
(1)
x1 dx, D = {(x1 , x2 ) | x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x21 + x22 ≤ 1}
D
∫ √
x1 x2 − x21 dx, D = {(x1 , x2 ) | 0 ≤ x1 ≤ 1, x1 ≤ x2 ≤ 2x1 }
(2)
D
∫
x1 x2 dx, D = {(x1 , x2 ) | x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1 + x2 ≤ 1}
(3)
D
∫
2
(∫
)
2
test dt
(4)
1
∫
∫
ds
(∫
1
−2
(7)
0
t
)
s
ds dt
1 + s3
D
∫
x21 x22
(10)
√
3
(∫
s2
(6)
√
)
s
e
s−1
t+1
0
dt ds
x1 x2
+
= 1, x1 軸，x2 軸で囲まれた部分
a
b
1 − x31 − x32 dx, D は x1 = 0, x2 = 0, x31 + x32 = 1 で囲まれた領域
∫
x1 dx, D = {(x1 , x2 ) |
D
(∫
0
D
(11)
1
)
t/s2
e
1
∫
0
(8)
(x21 + x22 ) dx, D は直線
)
√
t − s2 dt ds
s2
∫
∫
(9)
2−s
(5)
1/s
1
(∫
1
√
√
x1 + x2 ≤ 1}
dt ds

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