176_2007 年お茶の水女子大学・理学部・化学科〔数学共通〕入学試験問題 2007 お茶の水女子大学・理学部・化学科〔数学共通〕入学試験問題（100 分）数学共通（化学科用）〔数ⅠⅡⅢＡＢＣ〕解答は，それぞれ問題の番号に対応する答案用紙に書くこと．  n を自然数とする．以下の各問いに答えよ． (1) n を 3 で割った余りが 1 ならば，すべての自然数 m に対して n を 3 で割った余りは 1 であることを示せ． m (2) n を 3 で割った余りが 2 ならば，すべての奇数 m に対して n を 3 で割った余りは 2 であることを示せ． m (3) n を 3 で割った余りが 2 となる自然数 m があれば，n を 3 で割った余りも 2 であることを示せ． m  f ( x) = x 3 − 3 x 2 + 2 x とおく． (1) 曲線 y = f ( x) の点 (α , f (α ) ) における接線の方程式を y = g ( x) とおく．このとき， x に関する方程式 f ( x) − g ( x) = 0 が重解をもつことを示せ． (2) 曲線 y = f ( x) 上の点 Pn ( xn , f ( xn ) ) を次の条件(ａ)，(ｂ)で定める． (ａ) P1 を (0 , 0) とする． (ｂ) n 0 2 について， Pn−1 における曲線 y = f ( x) の接線は， Pn−1 以外の唯 1 点でこの曲線に交わる．この交点を Pn とおく． (ⅰ) xn −1 と xn との関係式を求めよ． (ⅱ) xn を求めよ．－1－ http://www.geocities.jp/ikemath  a を実数定数とし，関数 f ( x) = ( x − a x ) 2 ( x ) 0) を考える． (1) この関数が， x = 1 で極大値をとるとき，a の値を求めよ． (2) a が(1)で求めた値のとき，関数 y = f ( x) のグラフをかけ． (3) a が(1)で求めた値のとき，関数 y = f ( x) のグラフと x 軸で囲まれた図形の面積を求めよ．－2－