Problems4

Übungen zur Mechanik
Blatt 4, T1p: Mechanik, Kurs 17062
Professor: H. Ruhl
Übungen: A. Domenech, N. Moschüring, N. Elkina, C. Klier, F.Deutschmann, P. Böhl
18.05.2015
Aufgabe 1:
(Zwangskräfte) Betrachten
p Sie ein Fadenpendel für kleine Auslenkungen mit der Pendellänge l, der Masse m
und der Eigenfrequenz g/l.
• Motivieren Sie die folgenden Bewegungsgleichungen
mẍ = Zx ,
mz̈ = −mg + Zz ,
(1)
(2)
wobei Zx und Zz die Zwangskräfte sind, die auf die Masse am Faden wirken.
• Zeigen Sie, dass gilt
mlφ̈ + mg sin φ = 0 ,
(3)
wobei x = l sin φ und z = −l cos φ und Zx = −Z sin φ und Zz = Z cos φ gelten muss.
• Berechnen Sie Zx (φ) und Zz (φ) unter Zuhilfenahme der Gleichungen (1) und (2) mit Hilfe der Lösung der
Gleichung (3), wobei φ(0) = φ0 und φ̇(0) = 0 sein soll.
Aufgabe 2:
(Körperfeste Koordinatensysteme, Eulerwinkel) Durch drei nacheinander ausgeführte Drehungen
D(φ, θ, ψ) = Dz00 (ψ) Dx0 (θ) Dz (φ)
(4)
mit


cos φ sin φ 0
Dz (φ) =  − sin φ cos φ 0  ,
0
0
1


1
0
0
sin θ  ,
Dx0 (θ) =  0 cos θ
0 − sin θ cos θ


cos ψ
sin ψ 0
Dz00 (ψ) =  − sin ψ cos ψ 0 
0
0
1
(5)
(6)
(7)
kann auf das körperfeste Koordinatensystem eines sich drehenden Körpers transformiert werden, wobei φ, θ
und ψ die Eulerwinkel bezeichnen. Dabei wird vom Eulerkoordinatensystem x,y und z ausgegangen. Nach der
0
0
0
ersten Drehung Dz (φ) entsteht das Eulerkoordinatensystem x , y und z . Nach der zweiten Drehung Dx0 (θ)
00
00
00
entsteht das Eulerkoordinatensystem x , y und z . Danach folgt die letzte Drehung Dz00 (ψ).
0
0
• Nehmen Sie an, die Winkelgeschwindigkeit im Eulersystem x, y, z laute φ̇ ~ez , die im Eulersystem x , y ,
0
00
00
00
z laute θ̇ ~ex0 und die im Eulersystem x , y , z laute ψ̇ ~ez00 . Wie lautet die Winkelgeschwindigkeit ω
~ kf
im körperfesten System des sich drehenden Körpers?
Aufgabe 3:
(Rotationsenergie eines homogen mit Masse belegten Quaders) Die Rotationsenergie eines starren Körpers sei
durch
Z
1
Trot = Iij ωi ωj , Iij = d3 x ρ(~x) [~x · ~x δij − xi xj ]
(8)
2
gegeben, wobei ω
~ der Vektor der Winkelgeschwindigkeit im körperfesten Koordinatensystem ist und ρ die
Massendichte darstellt.
• Betrachten Sie einen Quader mit homogener Massebelegung ρ0 und den Kantenlängen a, b und c. Ein
körperfestes Koordinatensystem liege so, dass −a/2 ≤ x ≤ a/2, −b/2 ≤ y ≤ b/2 und −c/2 ≤ z ≤ c/2
gelte. Berechnen Sie Iij . Bestimmen Sie die Hauptträgheitsachsen des Quaders.
0
• Im Eulersystem xyz habe der Quader die Winkelgeschwindigkeit φ̇ ~ez , im Eulersystem (xyz) die
00
Winkelgeschwindigkeit θ̇ ~ex0 umd im Eulersystem (xyz) die Winkelgeschwindigkeit ψ̇ ~ez00 . Transformieren
Sie auf das körperfeste Koordinatensystem des Quaders und bestimmen Sie seine Rotationsenergie.

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