Blatt 5 - Fachbereich Mathematik

Universität Stuttgart
Fachbereich Mathematik
Apl. Prof. Dr. W. Rump,
Dr. E. Navayazdani, K. Heil
Mathematik II für Informatiker
und Softwaretechniker
SS 2016
Gruppenübung 5
Aufgabe 1 [ Uneigentliche Integrale ]
Untersuchen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale existieren, und berechnen Sie
gegebenfalls ihre Werte.
Z ∞
Z 7
1
2
√
dx ,
b)
xe−x dx
a)
3
x+1
−1
0
Aufgabe 2 [ Flächeninhalt ]
Sei a eine positive reelle Konstante,
x2
3
f (x) = 4a −
und g(x) = (x − 2a)2 .
a
a
Zeigen Sie, dass die eingeschlossene Fläche zwischen den Funktionskurven von f und g
gleich 2a2 /3 ist.
Aufgabe 3 [ Volumen eines Rotationskörpers ]
Besimmen Sie das Volumen V des Körpers, der durch Drehung des Graphen der Funktion
π
y = sin x + 2 cos x, 0 ≤ x ≤
2
um die x-Achse entsteht.
Aufgabe 4 [ schriftlich, 5+5 Punkte, Bogenlänge einer ebenen Kurve ]
Eine ebene Kurve mit der Gleichung y = f (x), a ≤ x ≤ b besitzt die Bogenlänge
Z bp
1 + (f 0 (x))2 dx .
L=
a
a) Leiten Sie die Formel für den Umfang eines Kreises vom Radius r her.
√
b) Berechnen Sie die Bogenlänge der Funktionskurve für die Funktion [3, 8] 3 x 7→ 32 x3 .
Aufgabe 5 [ schriftlich, 2 Bonuspunkte ]
Für |x| ≤ 1 gilt
arctan x =
∞
X
n=0
(−1)n
x2n+1
.
2n + 1
Zeigen Sie durch gliedweise Integration der obigen Potenzreihendarstellung der Funktion
Arkustangens:
∞
X
1
x2n+2
2
x arctan x − ln(1 + x ) =
(−1)n
für |x| ≤ 1 .
2
(2n + 1)(2n + 2)
n=0
1
Termin: Besprechung der Votieraufgaben sowie Abgabe der
schriftlichen Aufgaben: 09/10.05.2016

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