6. Aufgabenblatt zur Vorlesung Analysis 3 (LA)

PD Dr. F. Klinker
Dipl.-Math. A. Kayacelebi
WiSe 2015/16
6. Aufgabenblatt zur Vorlesung Analysis 3 (LA)
Aufgabe 1 (3+3+3+1 P.)
Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt der Fläche, die von der x-Achse, den Geraden x = a, x =
2
−a und dem Graphen der Funktion f (x) = e−x eingeschlossen wird, für a → ∞ gegen den
√
Wert π strebt. Gehen Sie dazu wie folgt vor
a) Bringen Sie den gesuchten Flächeninhalt mit dem Volumen des Körpers in Verbindung, der von der xy-Ebene, den Ebenen, die durch x = x1 , x = x2 , y = y1 , y = y2
2
2
bestimmt sind, und dem Graphen der Funktion g(x, y) = e−x −y eingeschlossen wird.
Geben Sie dazu x1 , x2 , y1 , y2 geeignet an.
b) Schätzen Sie das Volumen aus a) nach oben und unten ab, indem Sie den Definitionsbereich von g geeignet ändern und die dann erhaltenen Volumina berechnen.
c) Bestimmen Sie durch einen geeigneten Grenzwert das Volumen, das von der xy-Ebene
2
2
und dem Graphen von g(x, y) = e−x −y begrenzt wird.
d ) Bestimmen Sie den gesuchten Flächeninhalt.
Aufgabe 2 (4+4 P.)
Ändern Sie die Integrationsreihenfolge:
Za
√
aZ2 −x2
a)
f (x, y) dy dx
0
Z2a
√
Z2ax
b)
a2 −x2
2a
f (x, y) dy dx
0
√
2ax−x2
Aufgabe 3 (5+5+2 P.)
Es seien f, g, h : R2 → R stetige, homogene Funktionen vom Grad n, n−2, n−2 die in (0, 0)
eine Nullstelle haben und außerhalb von (0, 0) positiv sind. Es sei M (a, b) die für a, b > 0
von der Kurve
(x, y) ∈ R2 f (x, y) − ag(x, y) − bh(x, y) = 0 ⊂ R2
berandete Fläche.
a) Zeigen Sie: µ(M (a + a0 , b + b0 )) = µ(M (a, b)) + µ(M (a0 , b0 )) .
Hinweis: Sie dürfen Aufgabe 4 verwenden.
b) Zeigen Sie, dass µ(M (a , b)) = π2 (a+b) für f (x, y) = (x2 +y 2 )2 , g(x, y) = x2 , h(x, y) =
y2.
c) Interpretieren Sie die Situation aus b) geometrisch und erklären Sie damit das Ergebnis.
Aufgabe 4 (5 P.)
Es sei f : R2 → R eine stetige, homogene Funktion vom Grad n, die in (0, 0) eine Nullstelle
hat und an allen anderen Stellen positiv ist. Weiter seien Ψ(r, φ) = (r cos(φ), r sin(φ)) die
ebenen Polarkoordinaten und f˜ = f ◦ Ψ.
• Formulieren Sie die Homogenitätseigenschaft in Termen von f˜.
• Zeigen Sie, dass es eine Funktion g(φ) gibt, die nur von φ abhängt, mit f˜(r, φ) =
rn g(φ).

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