x > 0

Beispiele:
Z
Z
Z
eax dx =
1 ax
e +C
a
bx dx =
1 x
b +C
ln b
(b > 0, x > 0)
ln x dx = x(ln x − 1) + C
(x > 0)
x
(ln x − 1) + C
ln b
Z
logb x dx =
Z
sinh x dx = cosh x + C
Z
(a 6= 0)
(b > 0, x > 0)
cosh x dx = sinh x + C
92
Satz:
(Integrationsregeln)
1) Linearität:
Sind f, g : [a, b] → R stückweise stetig, so gilt
Z
(αf (x) + βg(x)) dx = α
Z
f (x) dx + β
Z
g(x) dx
2) Partielle Integration:
Sind u, v : [a, b] → R stetig differenzierbar, so gilt
Z
0
u(x)v (x) dx = u(x)v(x) −
und für die bestimmten Integrale folgt:
Zb
a
Z
u0(x)v(x) dx
u(x)v 0(x) dx = u(b)v(b) − u(a)v(a) −
Zb
u0(x)v(x) dx
a
93
Satz:
(Integrationsregeln)
3) Substitutionsregel:
Ist h : [a, b] → [c, d] stetig differenzierbar und f : [c, d] → R stetig mit
Stammfunktion F (x), so gilt:
Z
f (h(t))h0 (t) dt = F (h(t))
Bei bestimmten Integralen erhalten wir demnach:
Zb
0
f (h(t))h (t) dt =
a
h(b)
Z
f (x) dx
h(a)
= F (h(b)) − F (h(a))
Beweis:
1): Integration ist linearer Operator,
3): Kettenregel.
2): Produktregel,
94
Beispiele:
1)
Wir berechnen (Linearität):
Z
2)
(28x3 + 12x2 − 2x + 3) dx = 7x4 + 4x3 − x2 + 3x + C
Partielle Integration:
Z
3)
xex dx = xex −
Z
ex dx
= (x − 1)ex + C
Partielle Integration:
Z
ln x dx =
Z
1 · ln x dx
1
dx
x
= x(ln x − 1) + C
= x · ln x −
Z
x·
95
Beispiele:
4)
Partielle Integration:
Z
sin2 x dx =
Z
sin x · sin x dx
= sin x(− cos x) +
= − sin x cos x +
2
⇒
⇒
Z
Z
cos2 x dx
(1 − sin2 x) dx
Z
sin2 x dx = − sin x cos x + x + C
Z
sin2 x dx =
1
(x − sin x cos x) + C
2
96
Beispiele:
5)
Substitution x = h(t) = a cos t beim Integral
s
Za
denn
−a
1−
2
x
a
dx =
π
dx = −a sin t dt
s
Za
−a
1−
2
x
a
Z0 q
dx =
1 − cos2 t(−a sin t) dt
h(0) = a h(π) = −a
Z0 q
π
= a
Zπ
1 − cos2 t (−a sin t) dt
sin2 t dt
0
= a(t − sin t cos t) |π
0 =
aπ
2
97
6)
Substitution x = h(t) = t2 , t ≥ 0 beim Integral
√
Z
denn
e x dx =
Z
et 2t dt
h0(t) = 2t
Daraus folgt:
√
Z
e x dx =
Z
et 2t dt
= 2(t − 1)et + C
√
√
= 2( x − 1)e x + C
98
Wichtige Beobachtung:
Nicht jedes Integral läßt sich explizit lösen,
d.h. die Stammfunktion ist nicht immer durch elementare Funktionen
darstellbar.
Beispiele:
Si(x) :=
Zx
0
sin t
dt
t
2
erf(x) := √
π
E(x, k) :=
Zx
0
Zx
2
e−t dt
(Integralsinus)
(Fehlerfunktion)
0
1
(1 − k2 sin2 t)± 2 dt
(Elliptische Integrale)
99
Satz:
(Mittelwertsatz der Integralrechnung)
Sei f : [a, b] → R stetig, p : [a, b] → R integrierbar und p(x) ≥ 0,
a ≤ x ≤ b. Dann existiert ein ξ ∈ [a, b] mit
Zb
f (x)p(x) dx = f (ξ)
a
Beweis:
Zb
p(x) dx
a
Da f (x) stetig und p(x) ≥ 0 folgt:
min(f [a, b]) · p(x) ≤ f (x)p(x) ≤ max(f [a, b]) · p(x)
Integration liefert:
min(f [a, b]) ·
Zb
a
p(x) dx ≤
Zb
a
f (x)p(x) dx ≤ max(f [a, b]) ·
Zb
p(x) dx
a
Behauptung folgt dann aus dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen.
100
Bemerkung:
Für den Spezialfall p(x) = 1 gibt es damit ein ξ ∈ [a, b] mit
Zb
a
f (x) dx = f (ξ) · (b − a)
Schreibt man diese Beziehung als
F (b) − F (a) = F 0(ξ)(b − a)
mit der Stammfunktion F (x), so folgt
F (b) − F (a)
b−a
Mittelwertsatz der Differentialrechnung für die Stammfunktion F (x).
∃ ξ ∈ [a, b]
:
F 0(ξ) =
101
Bemerkung:
Taylor–Entwicklung mittels partieller Integration:
f (x) − f (x0 ) =
Zx
0
f (t) dt =
Zx
x0
x0
0
(x − t)0 f 0(t) dt
= (x − x0)f (x0) +
Zx
x0
(x − t)1 f 00 (t) dt
..
=
n
X
f (k) (x0)
k=1
k!
Zx
1
(x − x0) +
(x − t)nf (n+1) (t) dt
n! x
0
k
Restgliedformel nach Lagrange aus Mittelwertsatz:
Zx
1
1
(x − t)nf (n+1) (t) dt =
f (n+1)(ξ)(x − x0)n+1
n! x
(n + 1)!
0
102

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