1.1 Sei f y(x, y) = 0. Nach dem Satz über implizite Funktionen gilt für f

1.1 Sei fy (x, y) 6= 0. Nach dem Satz über implizite Funktionen gilt für f (x, y(x)) = 0,
dass y ′ (x) = −fx (x, y)/fy (x, y). Damit sind ±(1, −fx /fy ) Tangentenvektoren und
(fy , −fx )
τ (x, y) = ± p 2
fx + fy2
die Tangengenteneinheitsvektoren. Die gleiche Darstellung erhält man, wenn man
die implizite Kurve nach x auflöst. Der Tangentenvektor steht senkrecht auf dem
Gradienten.
1.2
b
La,b =
Z
=
Z
=
Z b√
|φ′ | dt
a
b
ert
a
p
r2 cos2 t − 2r cos t sin t + sin2 t + r2 sin2 t + 2r cos t sin t + cos2 t dt
r2
√
rt
+ 1e dt =
a
r2 + 1 rb
(e − era ).
r
Für a → −∞ gilt bei r > 0 era → 0. Daher L∞,0 =
√
r 2 +1
.
r
1.3 Aus x = r cos φ, y = r sin φ folgt
φ(t) = (x(t), y(t) = (cos t(1 + cos t), sin t(1 + cos t)).
Die Länge erhalten wir daher aus
Z 2π
Z 2π
′
| − sin t − 2 cos t sin t, cos t − 1 + 2 cos2 t)| dt
|φ (t)| dt =
|Γ| =
0
0
=
Z
2π
0
p
sin2 t + 4 cos t sin2 t + 4 sin2 t cos2 t − 3 cos2 t − 2 cos t + 1 + 4 cos3 t + 4 cos4 t dt
√ Z
= 2
2π
0
√
1 − cos t dt = 2
Z
2π
sin
0
t
t 2π
dt = −4 cos 0 = 8
2
2
1.4
Z
π/2
′
0
|φ (t)| dt =
Z
=3
=3
π/2
(3 cos2 t(− sin t), 3 sin2 t cos t)T dt
0
Z
Z
ı/2
0
p
π/2
0
2
4
cos4 t sin t + sin t cos2 t dt = 3
1d
3
sin2 t dt = .
2 dt
2
Z
π/2
cos t sin t dy
0

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