2008 年東京大学立体図形の体積＜問題＞正八面体の

2008 年東京大学　立体図形の体積
＜問題＞
正八面体の互いに平行な２つの面をとり、それぞれの重心を G 1 ,G 2 とおく。その G 1 ,G 2 を通る直線を
軸としてこの正八面体を回転させるてできる立体の体積を求めよ。ただし、各辺の長さは１とする。
Gnuplot を使いながら考えて見よう。
正八面体の図形
回転軸 G 1 G 2 に垂直な平面で、正四面体を切った場合の、切り口の図形を描いてみると・・・
切り口の平面と軸 G 1 G 2 との交点を O’とする。で、O’と切り口の図形（六角形）の各頂点までの距離はす
べて等しいことも分かる。
以下その図形を描いてみよう。
円周部分（側面）に色を付けて見ると、
この回転体の体積を計算してみよう。
回転軸から見てみると・・・
2
2
O ' P = OH + HP
2
O' P =
2
1
(√
3
(1− t)
)
2
であるので
2
2
+ t =
4t − 2t + 1
3
ここで　O’G １ ∝ HH’ ∝ H’A ∝ HP から　HP ∽ O’G １となる。
2
G1G2 =
√6
より O'G1 = k とすれば、　0≤ t ≤
1
2
であるので、
√6 k
t =
4
したがって
k=
4
√6
t , dk =
4
√6
dt
以上から、体積を V とすれば
2
V =
√6
∫0
S dk =
1
2
∫0 π O ' P
2
dt ×
4
√6
=
4π
3 √6
1
2
∫0 ( 4t2
− 2t + 1) dt =
4π
3 √6
×
5
5π
=
12
9 √6
（以上）

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