減衰振動の理論 - koji-kon

１減衰振動基本
減衰振動の単純モデル
下図のようなモデルを考える。Mは質量、Kはバネ定数、Cは流体抵抗係数。
Ｘ（ｔ）は変位、X’は速度、X’’は加速度。
－K・XーC・X’＋F＝M・X’’⇒ M・X’’＋ C・X’ ＋K・X＝Ｆ（ｔ）・・・①
F(t)＝０の時、X（ｔ）＝ｅｘｐ（ｰa0・ｔ）・ｓｉｎ（ω・ｔ）、 a0＝C/２M、ωｎ＝√（K/M）、
ω＝ωｎ・√（1-ζ・ζ）、ζ＝a0／ωｎ・・・②
F
K
Ｘ
Ｍ
t
C
Ｘ
＜図１＞
＜図２＞
２減衰率ζの測定
時間減衰法
減衰振動の単純モデル
１周期分の減衰比はX１／X０＝ｅｘｐ（ａ0・（ｔ0－ｔ1））振動周波数をｆとする
とＸ１／Ｘ０＝ｅｘｐ（-ａ0／ｆ）・・・③ よって、１秒間にｅｘｐ（-ａ0）減衰する。
つまり、１秒間にＤｄＢ＝20・ｌｏｇ（ｅｘｐ（ａ0））＝20・ｌｏｇ（ｅ）・２π・ｆ・ζ
よって、ζ＝Ｄ／｛54.58・ｆ｝・・・④
Ｘ0
振幅（ｄＢ）
Ｘ1
Ｄ
ｔ（秒）
＜図３＞
0
＜図４＞
1秒
３材料の損失係数η
振動している材料内部には、すべり転位や粒界のまさつによりエネルギー
が吸収されている。損失係数ηは図５の応力・変位曲線のヒステリシスから
⑤式で定義される。η＝ｋ2／ｋ1 ・・・⑤ １サイクルごとの損失エネルギー
は楕円の面積Ｓであり、Ｓ＝π・Ｘ・Ｘ・ｋ2、振動エネルギーＳ0＝ｋ1・Ｘ・Ｘ／２
であるので、Ｓ／Ｓ0＝２π・ｋ2／ｋ1＝２πη
一方、減衰振動の１サイクルごとの損失エネルギー比＝（Ｅ0-Ｅ1）／Ｅ0
③より、（Ｅ0-Ｅ1）／Ｅ0 ＝1-（Ｘ1／Ｘ0）＾2＝1-ｅｘｐ（-ａ0・2／ｆ）、ａ0・2／ｆが
十分小さいとき、図７より、（Ｅ0-Ｅ1）／Ｅ0＝ａ0・2／ｆであるので、
２πη ＝ａ0・2／ｆ
η＝２・ａ0／ω＝２ζ／ √（1-ζ・ζ） ≒２ζ・・・⑥
応力
1-exp（-ｘ）
K1・X
1
K2・X
Ｘ
＜図５＞
変位
Ｘ
0
＜図６＞
＜図７＞
４Ｑと損失係数ηの関係
図１のモデルで、Ｆは外力でF(t)＝ｓｉｎ（ωｔ）とすると、
M・Y’’＋ C・Y’ ＋K・Y＝ｓｉｎ（ωｔ）・・・①’
特解Y1＝ｄ・ｓｉｎ（ωｔ＋φ）とすると、１／ｄ＾2 ＝（Ｋ－Ｍω＾2）＾2＋（Ｃω）＾2
１／ｄ＾2＝Ｍ＾2・Ｘ＾2＋（Ｃ＾2－２ＫＭ）Ｘ＋Ｋ＾2 ；ただしＸ＝ω＾2
１／（ｄＭ）＾2＝Ｘ＾2＋（４・ａ0＾2－２・ωｎ＾2）Ｘ＋ωｎ＾4
１／（ｄＭ）＾2 ＝（Ｘ－ω0＾2）＾2＋（ωｎ＾4ーω0＾4）・・・⑦
ただし、ω0＾2＝ωｎ＾2－２・ａ0＾2 ⇒ ω0＝ωｎ・√（1-2・ζ＾2）・・・⑧
ω＝ω0のときｄ＝ｄ0とし、ｄがピークから３ｄＢ下がる（エネルギーが半分）時
のω＝ω1、ω2、ｄ＝ｄ1とおくと、（d0/d1）＾2＝（ｄ0・Ｍ）＾2／（ｄ1・Ｍ）＾2
よって、［（ω1＾2－ω0＾2）＾2＋（ωｎ＾4ーω0＾4）］／（ωｎ＾4ーω0＾4）＝2
よって、（ω1＾2－ω0＾2）＾2＝（ωｎ＾4ーω0＾4）
⑧⇒（ω1＾2－ω0＾2）＾2＝ωｎ＾4・（１ー（ 1-2・ζ＾2 ）＾2）
＝ ωｎ＾4・｛1-（1-4 ・ζ＾2 +4・ ζ＾4）｝
（ω1＾2－ω0＾2）＝ ±2・ ωｎ＾2・ζ・√（１－ζ＾2）・・・⑨
（ω1＾2－ω0＾2）＝ ±2・ ωｎ＾2・ζ・√（１－ζ＾2）・・・⑨
⑨式左辺＝（ω1+ω0）・（ω1-ω0）≒２ωｎ・（ω1-ω0）
よって、ω1-ω0＝±ωｎ・ ζ・√（１－ζ＾2）
一方、Ｑ＝ω0／（ω1-ω2）＝ ω0／［2（ω1-ω0）］
１／Ｑ＝［2・（ω1-ω0）］／ω0≒２ζ≒η ・・・⑩
以上、減衰まとめ（ζ＜＜1のとき、）
固有周波数ωｎ＝√（Ｋ／Ｍ）
a0＝C／（２M）
減衰率ζ＝ａ０／ωｎ
ω＝ωｎ・√（１－ζ＾2）
Ｄ＝54.58・ζ・ｆｎ
損失係数η＝ｋ２／ｋ１＝２ζ
１／Ｑ＝η

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