以下の問いに答えよ. (1) 1 から 10 までの整数から異なる 6 個を選ぶ. 異なる 6 個の数をどのように選んでも, その数の中に和が 11 となる 2 数が必ず含まれることを示せ. (2) 3 で割って 2 余る 2 から 101 までの整数から, 異なる何個かの数を選ぶ. 異なる何個かの数をどのように選んでも, その数の中に, 和が 106 となる 2 つの数が必ず含まれるようにするためには, 最低何個の数を選べばよいか, 理由を含めて答えなさい. (3) 1 から 101 までの整数から, 異なる何個かの数を選ぶ. 異なる何個かの数をどのように選んでも, その数の中に差が 9 となる 2 つの数が必ず含まれるようにするためには, 最低何個の数を選べばよいか, 理由を含めて答えなさい. (1) 1 から 10 までの数を, 和が 11 になる組に分ける. {1, 10}, {2, 9}, {3, 8}, {4, 7}, {5, 6} この中から 6 個の数を選ぶので, 鳩の巣の原理より, 同じ組の 2 個が必ず含まれる. (2) (1) と同様に考える. まず, 全体の集合 X を考えると, X = {2, 5, 8, 11, ..., 98, 101} となる. ここで, |X| = 34 であるので, 和が 106 になる組は {5, 101}, {8, 98}, {11, 95}, ..., {50, 56} の 16 組となり, これらの組に含まれない 2 数 2, 53 が残る. 以上より, 最低 19 個を選べば同じ組の 2 を含む. (3) 1 から 101 の数の集合 X を, 以下のように分けて考える. X0 = {9n ∈ X|n ∈ N} = {9, 18, 27, . . . , 99} X1 = {9n + 1 ∈ X|n ∈ N} = {1, 10, 19, . . . , 100} X2 = {9n + 2 ∈ X|n ∈ N} = {2, 11, 20, . . . , 101} .. . X8 = {9n + 8 ∈ X|n ∈ N} = {8, 17, 26, ..., 98} ここで, |X0 | = |X1 | = |X2 | = 12, |X3 | = |X4 | = · · · = |X8 | = 11 であるので, それぞれの中から, 差が 9 となるような組み合わせを含まないような選び方は, 各 Xi から 6 個ずつとることができる. これより, 55 個を選べば少なくとも 1 つの Xi には 7 個を選ぶことになり, その中には差が 9 となる 2 数が含まれる. 1