線形代数学Ⅱ 参考資料

線形代数学Ⅱ 参考資料 2
2016 年度後期
工学部・未来科学部 1 年
担当: 原隆 (未来科学部数学系列・助教)
■n 次行列式の定義と基本性質 ※ テキスト [新井他] p. 94 定義 4.20 とは異なる定義を採用*1 しています!!
定義 (n 次行列式)
n 次正方行列

a11 a12
 a21 a22


A =  a31 a32
 ..
..
 .
.
a13
a23
a33
..
.
···
···
···
..
.
an1
an3
···
an2

a1n
a2n 
 (
a3n 
 = a1
.. 
. 
ann

a1j
 a2j 
 
)
 
an , aj =  a3j 
 .. 
 . 
anj

a2
a3
...
(1 ≤ j ≤ n)
に対して、以下の 3 つの規則を用いて計算出来る値を A の行列式 determinant と呼び、det A,
|A| などと表す。
1◦ . (多重線形性)
“1 つの列ベクトルに注目すると線形性が成り立つ”
任意の 1 ≤ j ≤ n に対して
(
det a1
(
det a1
2◦ . (歪対称性)
...
)
aj + a′j . . . an
(
= det a1 . . . aj
...
k aj
...
...
)
(
an + det a1
)
(
an = k det a1
...
aj
...
a′j
...
an
)
...
)
an ,
(k は実数)
“どこか 2 箇所を入れ替えると (−1) 倍”
任意の 1 ≤ i < j ≤ n に対して

y
det(a1
...
ai

y
...
aj
. . . an ) = − det(a1
3◦ . (単位行列の行列式は 1)
(
det e1
e2
...

1
0

 ..
)
en = det 
.
.
 ..
0
0
1
..
.
..
.
0
. . . aj
···
···
..
.
···
···
..
.
..
..
.
···
.
···
. . . ai
. . . an )

0
0

.. 
.
=1
.. 
.
1
babababababababababababababababababab
2 次、3 次行列式は基本 3 性質 1◦ , 2◦ , 3◦ のみを用いて計算出来たことを逆手に取って
n 次行列式を定義していることに注目しよう!! (これが一般化・抽象化と呼ばれる工程)
*1
テキストの定義との関係も後程「発展篇」として扱いますので、ご心配なく。
系 ([新井他] p. 100 系 4.39)
異なる 2 つの列 (例えば第 i 列と第 j 列) が等しい行列の行列式は 0 となる。
【証明】歪対称性 2◦ . を第 i 列と第 j 列に対して用いれば良い (詳細は講義で扱った通り; 各自自
□
分で導き出せるようにしておくこと!!)。
命題 (列基本変形と行列式, [新井他] p.p. 98–99, 定理 4.33, 定理 4.35, 定理 4.37)
(
n 次正方行列 A = a1
a2
)
an に列基本変形 (C1), (C2), (C3) を施すと以下が成
...
り立つ;
(C1) (列の入れ替え) 任意の 1 ≤ i < j ≤ n に対し
y

y

(
(
)
det a1 . . . ai . . . aj . . . an = − det a1
...
aj
. . . ai
. . . an
)
(C2) (0 でないスカラー倍) 任意の 1 ≤ j ≤ n および c ̸= 0 に対して
×
(
det a1
...
1
c
c aj
...
an
)
(
= c det a1
...
aj
...
an
)
※ 第 j 列の共通因子の c を “括り出す” イメージ
(C3) (或る列のスカラー倍を他の列に加える) 任意の 1 ≤ i, j ≤ n, i ̸= j および実数 c に対し
×c
y

+
(
det a1
...
ai
...
aj
...
an
)
(
= det a1
. . . ai + c aj
. . . aj
...
an
)
【証明】
(C1) 歪対称性 2◦ そのもの。
(C2) 多重線形性 1◦ (のスカラー倍に関する部分) そのもの。
)
(
(C3) det a1 . . . ai + c aj . . . aj . . . an
(
(
(((()
(
(
)
(
1◦
(
(
. a (
. . . aj . . . an
= det a1 . . . ai . . . aj . . . an + c det a1 . . (
( (j(
((((
(上記の系より)
□
!! 警告 !!
4 次以上の行列式に対して「サラスの公式」
（襷掛けの公式）は全く成り立たないので注意!!
■n 次行列式の計算法Ⅰ: 行列の三角化定義 (対角行列)
対角成分 aii (1 ≤ i ≤ n) 以外の成分が全て 0 であるような n 次正方行列
A = (aij )1≤i,j≤n を対角行列 diagonal matrix と呼ぶ。
命題 (対角行列の行列式)
対角行列 A の行列式は、その対角成分の積に等しい;

a11
 0


det A = det  0
 ..
 .
0

0
a22
0
..
.
0
0
a33
..
.
···
···
···
..
.
0
0
0
..
.
0
0
···
ann



 = a11 a22 a33 · · · ann


【証明】
命題の (C2) (または多重線形性 1◦ .) を各列に対して繰り返し
すべての対角成分が 0 でない場合
3◦
(C2)
用いることで det A = a11 a22 · · · ann det In = a11 a22 · · · ann を得る。
対角成分のどこかが 0 である場合*2
例えば aii = 0 であったとすると、第 i 列は成分が全て 0 と
1◦
なるので、第 i 列に対して多重線形性 1◦ を用いると det A = 0 · det A = 0 を得る。一方で
a11 a22 · · · ann = 0 であるから、結局 det A = 0 = a11 a22 · · · ann が成り立つ。
□
定義 (三角行列, [新井他] p. 96 定義 4.27)
対角成分より左下の成分が全て 0 である正方行列を上三角行列 upper triangular matrix と呼
ぶ。対角成分より右上の成分が全て 0 である正方行列を下三角行列 lower triangular matrix
と呼ぶ。上三角行列と下三角行列を合わせて三角行列 triangular matrix と呼ぶ。

a11

 0


 0

 .
 ..

0
a12
a13
···
a22
a23
···
0
..
.
a33
..
.
···
..
.
0
0
···


a1n
0
0
···
a22
0
···
a32
..
.
a33
..
.
···
..
.
an2
an3
···
a11

a2n 


a3n 

.. 
. 

ann

 a21


 a31

 .
 ..

an1
上三角行列

0

0 


0 

.. 
. 

ann
下三角行列
命題 (三角行列の行列式, [新井他] p. 97 例題 4.28, 問 4.30)
三角行列 A の行列式は、その対角成分の積に等しい;

a11
 0


det  0
 ..
 .
0
*2
a12
a22
0
..
.
a13
a23
a33
..
.
···
···
···
..
.


a1n
a11


a2n 
 a21

a3n 
 = det  a31
 ..
.. 
 .
. 
0
a22
a32
..
.
0
0
a33
..
.
···
···
···
..
.
0
0
0
..
.
0
0
···
ann
an2
an3
···
ann
an1
細かい点なので、取り敢えず読み飛ばしてしまって構いません。




 = a11 a22 a33 · · · ann


【証明】
すべての対角成分が 0 でない場合
命題の (C3) を用いて対角成分以外の成分を「掃き出す」こと
により、結局対角行列の行列式に帰着する。
対角成分のどこかが 0 である場合*3
下三角行列の場合に示す。対角成分が 0 である列のうち最も
右にある列を第 i 列とする。このとき、ai+1,i+1 , ai+2,i+2 , . . . , ann はすべて 0 ではないので、
命題の (C3) を用いて第 i + 1 行から第 n の対角成分以外の成分を「掃き出す」と、第 i 列の
成分は全て 0 となるため、第 i 列に多重線形性 1◦ を用いて det A = 0 が得られる。一方で
a11 a22 · · · ann = 0 であるから、結局 det A = 0 = a11 a22 · · · ann が成り立つ。
□
列基本変形を用いて行列を三角化 triangulation することによって行列式を計算出来る!!
(具体例は講義で)
ここまでで覚えておくべき行列式の性質
− 行列式の基本 3 性質 1◦ , 2◦ , 3◦ .
− 列基本変形に対する行列式の振る舞い (C1), (C2), (C3)
− 対角行列、三角行列の行列式は対角成分の積
この後も少しずつ増えていくので、毎回しっかりと復習して 1 つずつ確実に身に着けること!!
※ 上にあるものほど重要度大
babababababababababababababababababab
注このプリントで扱われた性質 (基本 3 性質, 等しい列が存在する行列の行列式は 0,
列基本変形に対する行列式の振る舞い) はすべて
列ベクトルを行ベクトルに、列基本変形を行基本変形に
そっくり取り替えても成り立つ。したがって、行列式を計算する際には列基本変形を用い
ても行基本変形を用いても構わない!! 『線形代数学Ⅰ』でも扱われた行基本変形の方
が慣れている人が圧倒的に多いと思われるので (テキストも行基本変形主体で書かれてい
ますし)、以降列基本変形 (C1), (C2), (C3) が扱いにくいと感じた人は、行基本変形
(R1), (R2), (R3) を用いて行列式を計算してみよう。但し行基本変形 (R1), (R2) を施
した際に − や c を付け忘れないように注意すること!! (毎年非常に多く見られるミスです)
尚、「列ベクトル，列基本変形を行ベクトル, 行基本変形に取り替えても同じ性質
が成り立つ」ことは、転置行列が行列式は元の行列の行列式と等しいという行列式の非常
に重要な性質 det tA = det A から従う。唯、(基本 3 性質から直ちに従う) 他の性質と比
較するとかなり高尚な性質であるので、時期を改めて「発展篇」として扱うことにしよう。
*3
細かい点なので、取り敢えず読み飛ばしてしまって構いません。

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