線形代数学Ⅱ 演習問題

線形代数学Ⅱ 演習問題 1
2016 年度後期
工学部・未来科学部 1 年
担当: 原隆 (未来科学部数学系列・助教)
Report Problems レポート課題
※ レポートは自由提出です。レポートを提出したい人は、以下の注意点を守って提出して下さい。
(ⅰ) 必ず分かるところに学籍番号、学科、氏名を書いて下さい。
(ⅱ) A4 の紙を用いて、複数枚になる場合はホチキスや針無しステープラーで綴じて下さい。
(ⅲ) ∗ 印の付いた問題はチャレンジ問題 (ちょっと難しめの問題) です。勿論これらの問題を解かないでレ
ポート提出しても構いませんが、腕に自信のある人は是非チャレンジしてみて下さい。
(ⅳ) 提出期限は 10/20 (木), 10/21 (金) の講義時とします。レポートボックスは設けませんので、講義
開始時に教卓へ提出して下さい。
(ⅴ) If you are not good at writing Japanese sentences, you can draw up the report in English.
n 次行列式の基本 3 性質
問題 1-1. (行列式の基本性質Ⅰ)
1◦ . 多重線形性
2◦ . 歪対称性
3◦ . 単位行列の行列式は 1
※ 参考資料 2 のプリントも参照 (ほぼ答えそのものが載ってます)
n 次正方行列 A = (aij )1≤i,j≤n = (a1 a2 . . . an ) の行列式に関する以下の設問に答えなさい。
(1) [テキスト系 4.39. も参照] A の二つの列が一致するとき、つまりある自然数 i, j (1 ≤ i, j ≤ n,
i ̸= j) に対して ai = aj が成り立つとき、 det A = 0 となることを証明しなさい。
◦
[ヒント: 歪対称性 2 を用いる] (2) [テキスト定理 4.42. も参照] 行列の列基本変形の一つであるある列に他の列の実数倍を加えるという操作を A に施した行列の行列式が det A と一致すること、つまり自然数 i, j (但し
1 ≤ i, j ≤ n, i ̸= j) 及び実数 c に対して等式
det(a1 . . . ai + c aj . . . aj . . . an ) = det(a1 . . . ai . . . aj . . . an )
(= det A)
が成り立つことを、(1) の結果と「n 次行列式の基本 3 性質」を用いて証明しなさい。
問題 1-2. (行列式の計算Ⅰ)
「n 次行列式の基本 3 性質」と問題 1-1. の結果のみを用いて以下の行列式を計算しなさい (つま
り、
「2 次行列式の展開公式やサラスの公式、スカラー 3 重積による 3 次行列式の計算等は用いないで
計算しなさい」ということ)。
(
(1)
)
3 −2
det
3 −2
(
(4) det
128 130
25
24
397 400
(
5 3
(2) det
−2 1
−2
1
−3
)

1
0
(5) det 
0
0
0
2
0
0
(
)
0
−4
3
0
[ヒント: (4)

3
0
0
4
1
(3) det 2
0

2
0
(6) det 
3
0
)
3
0
3
0
2
1
7
0
0
0
0
−1
0
1

1
0
0
−1
(1 列目)−(2 列目) を計算すると……?]
問題 1-3. (行列式の基本性質Ⅱ)*1
n 次正方行列 A = (aij )1≤i,j≤n = (a1 a2 . . . an ) に於いて、an が a1 , a2 , . . . , an−1 の線形結合
で表されているとする。つまり、(n − 1) 個の実数 k1 , k2 , . . . , kn−1 が存在して
an = k1 a1 + k2 a2 + . . . + kn−1 an−1
· · · (∗)
と表されているものとする。
(1) このとき det A = 0 となることを、
「n 次行列式の基本 3 性質」(および問題 1-1. の結果) を
[ヒント: 第 n 列を (∗) と多重線形性 1◦ . を用いて分解してみよう]
(2)∗ n = 3 のとき、式 (∗) は 3 つの空間ベクトル a1 , a2 , a3 が図形的にどのような位置関係に
あることを表しているかを答えなさい。また、『式 (∗) が成り立つときに det A = 0 となる』
用いて証明しなさい。
ことを図形的に説明しなさい。
[ヒント: 3 次行列式=平行六面体の符号付き体積]
問題 1-4. (行列式の計算 Ⅱ)
以下の行列式を計算しなさい。
(
(1) det
1
3
−2

2014
6041
−4025
3 5
98
3
0 2
(4) det 
0 −1 1
0 1 −2
−1024
−3070
2043
)

23
5
−4
−1

1
1
1
1
0
(2) det −1 4 −3
(3) det 
0
1 16 9
3



2
2
3 −1 4
1
3
2 0
1

(5) det 
(6) det 0
−2 −2 1 1
0
0
3
1 2
0
(
)
0
1
3
5
0
0
−2
9
1
2
1
0
0
0
1
2
1
0

3
0
0
16

0 0
0 0

1 0
2 1
1 2
問題 1-5. (チャレンジ問題)∗
右上から左下への対角線上に 1 が並んだ n 次正方行列

0 0
0 0
. .
. .
. .
Jn =  . .
. .
. .
0 1
1 0
···
···
.
..
.
..
···
···
···
···
.
..
.
..
···
···
0
1
..
.
..
.
0
0

1
0
.. 

.
.. 

.
0
0
について以下の設問に答えなさい。
(1) 行列式 det Jn を計算しなさい。
(2) det Jn = + 1 となるための n の条件を求めなさい。
【ヒント】列を入れ替えて巧く単位行列 In に変形しよう。その際、勿論歪対称性 2◦ . を用います。
*1
本問は、『数ベクトル空間』の話 (特に数ベクトルの線形独立性/線形従属性について; [新井他] の第 5 章) を学習して
からもう一度解き直してみると、より理解が深まるかもしれません。

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