線形代数学Ⅱ 演習問題

線形代数学Ⅱ 演習問題 2
2016 年度後期
工学部・未来科学部 1 年
担当: 原隆 (未来科学部数学系列・助教)
Report Problems レポート課題
※ レポートは自由提出です。レポートを提出したい人は、以下の注意点を守って提出して下さい。
(ⅰ) 必ず分かるところに学籍番号、学科、氏名を書いて下さい。
(ⅱ) A4 の紙を用いて、複数枚になる場合はホチキスや針無しステープラーで綴じて下さい。
(ⅲ) ∗ 印の付いた問題はチャレンジ問題 (ちょっと難しめの問題) です。勿論これらの問題を解かないでレ
ポート提出しても構いませんが、腕に自信のある人は是非チャレンジしてみて下さい。
(ⅳ) 提出期限は 11/10 (木), 11/11 (金) の講義時とします。レポートボックスは設けませんので、講義
開始時に教卓へ提出して下さい。
(ⅴ) If you are not good at writing Japanese sentences, you can draw up the report in English.
問題 2-1. (ラプラスの余因子展開)
なるべくラプラスの余因子展開を用いて以下の行列式を計算しなさい*1 。
)
3 −2
(1) det
3 −2
(
(
(
128 130
24
(4) det 25
397 400
5 3
(2) det
−2 1
−2
1
−3

1
0
(5) det 
0
0
)
)
0
2
0
0
0
−4
3
0

3
0
0
4
1
0
2
0
0
1
−1
−2
(
1
(3) det 2
0

2
0
(6) det 
3
0
)
3
0
3
0
2
1
7
0
0
0
0
−1
0
1

1
0
0
−1
問題 2-2. (余因子行列と逆行列)
正方行列
(
A=
4
−7
)
−2
,
4
(
B=

)
2
1 5 2
1
3 1 −1 , C = 
0
−1 2 1
3

2
−1
,
−3
15

1
0

D = 2
0
3
0
1
0
2
0
2
0
1
0
2
0
2
0
1
0

3
0

2
0
1
について以下の設問に答えなさい。
(1) 行列式 det A, det B, det C, det D の値をそれぞれ求めなさい。
e B,
e C,
e D
e を求めなさい。また、(1) の結果も用いて A, B,
(2) 行列 A, B, C, D の余因子行列 A,
C, D の行列の逆行列 A−1 , B −1 , C −1 , D−1 を計算しなさい。
(3) [研究課題: 余力があったらチャレンジして下さい]
夏学期の『線形代数学Ⅰ』で学んだ
『n 行 2n 列行列
)
(
A
In
−1
という方法を用いて逆行列 A
を行基本変形によって
,B
−1
,C
−1
,D
−1
(
In
A−1
)
に変形する』
を求め、(2) で求めたものと一致すること
を確認しなさい。
*1
本問の行列式は演習問題 1-2. で扱ったものと全く同じものです。ラプラスの余因子展開を用いて計算し直せ、という
こと。
問題 2-3. (余因子行列と行列式)∗
n を 2 以上の自然数とする。(実数係数の) n 次正方行列 A = (aij )1≤i,j≤n の余因子行列
e = (ãij )1≤i,j≤n について以下の設問に答えなさい*2 。
A
(1) 以下の空欄部に当て嵌まる数式を答えなさい。
e に対して、一般に AA
e = AA
e =
『余因子行列 A
が成り立つ。』
e が正則でないことが同値であることを示しなさい。
(2) 行列 A が正則でないことと A
] = k n−1 A
e が成り立つことを示しなさい。
(3) 実数 k に対して (kA)
e は det(A)n−1 と等しいことを示しなさい。
(4) 余因子行列の行列式 det(A)
e
e の余因子行列 A
e を A を用いて表しな
(5) ∗ n 次正方行列 A が正則であるとき、余因子行列 A
e
e = A が成り立つときに det(A) が取り得る値を全て答えなさい。
さい。また、A
【ヒント】
(1) 講義で扱った通り。これは確実に記憶しておくこと!
(2) (1) の等式と背理法を用いて証明しよう。
(3) 余因子行列の定義を思い出そう。
(4) (1) から直ちに従うが、det A = 0 のときは場合分けが必要。
e
e を用いて A
e を表すことを試みよう。
(5) 先ずは A
*2
本講義の学期末考査の選択問題の過去問です。

Download Report