2015 年のセンター試験 IIB の感想

2015 年のセンター試験 IIB の感想
■ 2015 年のセンター試験が 1 月 18 日に終わった．新課程
ではあるが，IIB はそれほど内容が変わるとは思われない．
問題順に見ていきたい．
■ 第 1 問〔1〕は久々の(?)三角関数．とは言え，直線の方程
式もからんだ複合的な問題．座標平面上の 2 点の座標が
P (2 cosθ , 2 sin θ ) ，Q (2 cos θ + cos 7θ , 2 sin θ + sin 7θ ) で与えら
れる．ただし， π / 8 ≦θ ≦ π / 4 ．この
7θ にギョッとした受験生も少なく
ないだろう．
問題解決には直接関係ないが，2 点
P，Q の軌跡は右図の太線である．
ポイントは，加法定理の逆利用で，
随所にそれが出てくる．このような計
算をする問題はときどき見かけるの
で， 7θ を「7 倍角」などと変なことを考えない限り，普通の
問題である．
■ 第 1 問〔2〕は累乗根の問題．分数指数で表示していけば
易しいが， 3
の記号に戸惑った受験生もいたようだ．最小
値を求めるにあたって，道具の相加平均と相乗平均の関係も
示されていて，親切である．
■ 第 2 問は微積の問題．全く難しくはないのだが，(1)で「平
均変化率」＋「lim」が登場して，（特に文系の）受験生の度
肝を抜いたらしい．微分係数を求めるとき，微分して値を代
入するという便法に慣れきっている（当たり前である）受験
生には平均変化率は盲点で，文系の受験生はほとんど使う場
面がない．
誠に手前味噌だが，昨年，私家版の冊子『新課程センター
試験こうやって得点 up しよう』（一部の生徒に配布）で，
「教科書には登場するものの，余り問題演習などに登場しな
い用語などにも注意を払っておきましょう」として「平均変
化率」を例示しておいた．ズバリである．
理系の受験生であれば，微分可能性の判断や，lim を微分係
数を利用して計算するなど，微分係数の定義式になじみが深
いだけに，文系受験生に不利な問題であった．
面積計算で，いわゆる「1/6 公式」はストレートには使えな
いが，分割すれば利用できて， T は一気である．
また，最後に S − T の値を考察させている． S = T となる場
合の a の値を求めさせることが多いが，S − T の a の 3 次関数
の最小値の設問で，微分法の利用の問題になっている．
以下は，選択問題で 3 題から 2 題を選択解答する．
■ 第 3 問は数列．一般項が 4 による剰余系で分かれるとい
う難しい設定．時間を掛けて丁寧に { an } や { bn } の項を書き出
してみたりすれば何とかなるが，限られた時間の中では辛い
問題であろう．
(2)ができなければ，それ以降の(3)，(4)も全滅なだけに泣い
た受験生も多かろう．
■ 第 4 問は平面ベクトル．誘導もそれなりにきちんとして
いるので，手が止まることはない．(2)で途中の OT の係数表
示がやや煩雑だが，この程度はベクトルの計算としては仕方
ない．それよりも S 1 : S 2 で，△OTQ と△TRP の面積比を上手
の白球の個数 W 」を確率変数とする超幾何分布（この言葉は
教科書には登場しない）である．平均は真面目に計
4
3
算しなくても，右のように塗り分けた 7 個の球から
7
7
3 個を取り出すことを考えれば，E (W ) = 3 × 4 = 12
7
7
である．
しかし，分散はこうはいかない．2 項分布ならば平易な公
式があって教科書に載っているが，超幾何分布の分散の公式
は平易ではない．
白球 k 個，赤球 n − k 個から同時に r 個を取り出すときの白
rk (n − k)(n − r )
球の個数 W の平均 E ( W ) = rk ，分散 V( W ) =
n
n2 (n − 1)
という公式があるらしいが，教えないだろうなぁ．真面目に
V( W ) = E ( W 2 ) − ( E ( W )) 2 の計算をするのだろう．
W
0
1
2
3
計
P
1
35
12
35
18
35
4
35
1
WP
0
12
35
36
35
12
35
60
12
=
= E0 W 1
35
7
W 2P
0
12
35
72
35
36
35
120
24
=
= E 0 W 21
35
7
2
( )
から， V(W ) = 24 − 12 = 24 である．
7
7
49
(2)は知識として知っていれば，正規分布表を使うまでもな
い（大昔は 2.58 でなく 3 を用いたような…．
1.96 も 2 だった？）．
これが(3)の 99％の信頼区間につながっていく．公式を正しく
覚えていれば困ることはない．
第 5 問で大変なのは，(1)の分散を計算する部分であろう．
新課程のセンター試験について，2 年ほど前に某出版社の
編集者と話をしたことがある．そのとき，
「この分野について
は確率分布に関する問題程度しか出題されないのではない
か」という編集者の見解に対して，私は異を唱えた．
「教科書
の終わりの方まで出る可能性があると思いますよ」
「正規分布
表もですか？」
「はい，表を 1 枚載せるだけですから」と会話
したことを思い出す．
実際，その後の試作問題でも「推定」に関する問題例が示
され，今回は（私の予想どおり）正規分布表まで出題された．
今回は正規分布表の利用はわずかであったが，今後はもっと
本格的に利用する出題も考えられる．
いずれにしても，
「数列」「ベクトル」の対抗馬である．そ
うそう簡単にはいかないと覚悟し，もしこの分野を選択解答
するなら，しっかりとした学習が必要であろう．
■ ネット上では「1 月 18 日に行われたセンター試験 2 日目
の数学（2）の難易度が予想以上に高かったという受験生の声
が集まっている．特に数 2B に苦戦した受験生が多いようで，
『難しすぎる』
などのコメントが Twitter で話題となっている」
とあったが，全体としてみると，それほど難しいという印象
はない．計算量もそれほど多くはない．
しかし，受験生にしてみれば目先のちょっとした相違や目
新しさが難しく思えて，手が止まってしまったのかも知れな
い．
■ なお，
「解説」は http://www10.plala.or.jp/mondai/report.html
に載せた．
く使えたかどうかがカギかも知れない．
■ 第 5 問は確率分布と統計的推測．
(1)は「白球 4 個，赤球 3 個から同時に 3 個を取り出すとき
2015 年 1 月 20 日

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