2015年度解析学I(数理) 期末試験

2015 年度解析学 I(数理) 期末試験１次の関数を微分せよ. (答えのみは０点)
(1) (sin x)sin
−1
x
(2)
tan−1
√
1
x2 + 1
(3) a x (a > 0)
２次の不定積分を求めよ.(答えのみは０点)
∫
∫
∫
1
x3
√
(1)
dx (2)
dx (3) tan−1 x dx
2
2
2
(x − 1)(x + 1)
1−x
8
x
３ (1) 曲線 y = 2
と 2 直線 y = , x = 0 が囲む部分の面積を求めよ.
x +4
2
(2) 体積 V の直円錐の半径を r, 高さを h とする. 体積 V が一定である条件の下で全表
h
面積が最小となる直円錐のの値を求めよ.
r
４（１）f (x) = x2 は区間 [0, ∞) で一様連続か. 理由を付けて答えよ.
1
は区間 [1, ∞) で一様連続か. 理由を付けて答えよ.
x
∞
∞
∑
∑
５ (1)
an が絶対収束したら
a2n も収束することを示せ.
（２）f (x) =
n=1
n=1
(2) 数列 {an } は lim (an+1 − an ) = α を満たすとする. 次の等式を証明せよ.
n→∞
an
=α.
n→∞ n
lim
∞
∑
1
sin nx が区間 (−∞, ∞) で一様収束することを示せ.
n
2
n=1
(2) (1) の f (x) が連続関数であることを示し, 微分可能で導関数も連続であることを示せ.
∞
∑
1
(3) g(x) =
sin nx は区間 (−∞, ∞) で連続であるが, x = 0 で微分可能でないこと
n2
n=1
を示せ.
６ (1) f (x) =
７関数 f (x), g(x) は (−∞, ∞) で連続な関数であり, g(x) は周期１の周期関数
(∀x g(x) = g(x + 1)) とする. 次の等式を証明せよ.
∫
f (x)g(nx)dx =
lim
n→∞
∫
1
0
f (x) dx
0
1
∫
1
1
g(x) dx
0

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