微分積分I 問題集

微分積分 I 問題集
担当・竹縄
試験までに解けるようにしておくこと．
1. 次の関数を微分せよ．
x+2
(1) e2x cos x (2) 2
x −1
(3) sin 2x (4) arctan x
(5) arcsin(1 − x2 ) (6) 2 arccos x
(7) x2x (8) (sin x)x
2. 次の極限を求めよ．
(
)
1 − cos2 x
1
ex
(2) lim
−
(ヒント：通分しよう．
(1) lim
）
x→0
x→0 x
sin x
sin x
(3) lim x log x (4) lim xe−x
x→+0
x→∞
3. 次の関数をマクローリン展開したときの x4 までの項を計算せよ．
(1) sin(2x) (2) log(x + 1)
1
2
(3) 2
(4) ex
x +1
4. 次の関数の極値，変曲点，定義域での端での極限値を求め，グラフを描け．
(1) y = x3 − x2 − 5x + 2
5
3
3
1
(2) y = x4 + x3 + x2 − 9x +
4
3
2
4
(3) y = x log x (x > 0)
(4) y = xex
5. 双曲線 −x2 + 3y 2 = 2 上の x = 2 の 2 点を P,Q とする．P,Q における接線の式を求
めよ．
6. f (x) = x3 + 3x2 + 6x − 1 とおく．方程式 f (x) = 0 の近似解（真の解に近い値）につ
いて以下の問いに答えよ．
(1) x = 0 でのグラフの接線の式を求め，接線と x 軸が交わる点 x1 を求めよ．
(2) x = x1 でのグラフの接線の式を求め，接線と x 軸が交わる点 x2 を求めよ．
(3) 以上の操作でなぜ近似解が求まるのか，グラフを用いて説明せよ．
（このような操作をニュートン法という．
）
解答
1. (1) (2 cos x − sin x)e2x
(5) √
−2
2 − x2
(2)
2
(6) − √1−x
2
−x2 − 4x − 1
(x2 − 1)2
1
(3) 2 cos 2x (4)
1 + x2
( x cos x
)
(7) 2(1 + log x)x2x (8)
+ log(sin x) (sin x)x
sin x
2. ロピタルの定理を用いる．
1
sin x − xex
− sin x − 2ex − xex
(1) 0 （は誤りでした） (2) lim
= lim
= −1
x→0
x→0
2
x sin x
2 cos x − x sin x
log x
x
(3) lim
= 0 (4) lim x = 0
1
x→∞ e
x→+0
x
3. 次の関数をマクローリン展開したときの x4 までの項を計算せよ．
4
x2 x3 x4
(1) 2x − x3 (2) x −
+
−
3
2
3
4
4
x
x4
2
4
2
(3) 1 − x + x
(4) 1 + x + （1 + x2 +
は誤りでした）
2
4
4. 略
√
x
．また x = 2 のとき，y = ± 2 よって P,Q
3y
√
√
2
2
√ (x − 2) ± 2 = ±
y=
(x + 1)
3
±3 2
5. x で微分して −2x + 6yy ′ = 0 より y ′ =
における接線は
6. f (x) = x3 + 3x2 + 6x − 1 とおく．方程式 f (x) = 0 の近似解（真の解に近い値）につ
いて以下の問いに答えよ．
(1) x = 0 でのグラフの接線の式 y = 6x − 1 より x1 =
(2) x = x1 でのグラフの接線の式 y =
(3) 略
1
6
85
59
118
x−
より x2 =
12
54
765

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