2015年微分積分学A

微分積分学 A 期末試験 (森本), 2015 年 7 月 24 日 2 時限, 共南 21 室
解答
問題 1.
次の極限を求めよ。
2
sin x − xex
x→0 x(cos x − 1)
lim
問題 1 の解答欄
de l’Hospital の定理を（3 回）使うか，漸近展開（Taylor 展開）を用いる．
x3
sin x = x −
+ O(x5 )
3!
(
)
2
xex = x 1 + x2 + O(x4 ) ) = x + x3 + O(x5 )
)
(
x3
x2
+ O(x4 ) − 1 = − + O(x5 )
x(cos x − 1) = x 1 −
2!
2
から
7x3
7
2
−
− + O(x2 )
+ O(x5 )
sin x − xex
7
6
=
= 6
as x → 0 .
→
3
1
x(cos x − 1)
3
x
− + O(x2 )
− + O(x5 )
2
2
1
問題 2.
∫
∞
(sin2 x)(sin 2x)
dx が収束するための実数 a の値の範囲を求めよ。また、
xa
∫ ∞
(sin2 x)(sin 2x)
dx = log 2
x2
0
広義積分 0
を示せ．
sin 2x sin 4x
−
.
2
4
ヒント，(sin2 x)(sin 2x) =
問題 2 の解答欄
広義積分を２つに分けて ∫
1
lim
ε↓0
ε
(sin2 x)(sin 2x)
dx + lim
K→∞
xa
∫
K
1
(sin2 x)(sin 2x)
dx = I + II
xa
∫
の収束を考える． 2x
π
1
x3−a dx と同じだから，
< sin x < x (0 < x < π/2) に注意すると I の収束，発散は
0
a < 4 ならば収束，
a ≥ 4 ならば発散する. 一方，II については, a > 0 のとき，ヒントの等式に注意して，広
∫ ∞
sin x
義積分
dx を考えることにする．コーシーの収束判定条件（テキスト，98 ｐ．定理 3.4) より
xa
1
∫ ∞
∫ u
sin x
sin x
dx が収束する ⇐⇒ ∀u ≥ ∀v > 1 について
dx → 0 as u > v → ∞
a
x
xa
1
v
の同値（必要十分の関係）が成立する．部分積分により
∫ u
[
]u
∫ u
cos x sin x − cos x
−a
dx = dx
a+1
xa
xa
v x
v
x=v
∫ u
1
a
2
1
dx = a → 0 (v → ∞)
≤ a+ a+
a+1
v
u
x
v
v
が a > 0 のとき従う．a ≤ 0 のとき，自然数 n について
∫
(n+1/2)π
nπ
(sin2 x)(sin 2x)
dx > (nπ)|a|
xa
∫
(n+1/2)π
(sin2 x)(sin 2x)dx
= 2(nπ)|a|
nπ
∫ 1
t3 dt = (nπ)|a| /2 ≥ 1/2
0
だから，広義積分 II は発散する．結論として 0 < a < 4 が広義積分が収束する範囲である．
sin 2x
2x
後半については，f (x) =
∫
∞
0
とおくと
(∫ K (
) dx )
(sin2 x)(sin 2x)
dx
=
lim
f
(x)
−
f
(2x)
ε↓0,K→∞
x2
x
ε
∫ 2ε
∫ 2K
f (x)dx
f (x)dx
= lim
− lim
.
K→∞ K
ε↓0 ε
x
x
ここで，
∫
ε
2ε
f (x)dx
=
x
∫
ε
2ε
f (0)dx
+
x
∫
2ε
ε
(
)
f (x) − f (0) dx
=A+B
x
と分けると A = f (0) log 2 であり，|B| ≤ max |f (x) − f (0)| log 2 → 0 (ε ↓ 0) が従う．同様に，
x∈[0,ε]
lim f (x) = 0 だから
x→∞
∫
2K f (x)dx (
) ∫ 2K dx
→ 0 (K → ∞)
max |f (x)|
≤
K≤x≤2K
K
x x
K
以上より，求める等式を得る．
2
.
問題 3.
(Cauchy の判定法, D’Alembert の判定法, 積分判定法のいずれかを用いて, ）次の級数の収束、発
散を調べよ。
(1)
∞ (
∑
n=1
1
1−
n
)n2
(2)
∞
∑
n3 sin
n=1
問題 3 の解答欄
√
(
(1) Cauchy の判定法;
n
1−
1
n
1
2n
)n2
=(
(3)
n=1
1
1−
∞
∑
)
1 −n
n
→
(
)a , ただし, a > 1
n log(1 + n)
1
< 1 だから収束する．
e
(2) D’Alembert の判定法及び優級数による判定； an = n3 sin 21n ≤
収束する．もとの an でも，
1
n3
2n
= bn から (
an+1
1 )3
1
1
= 1+
→
1
an
n 2 cos 2n+1
2
は出るが，優級数を用いないと，n3 sin 31n の場合は，難易度が上がる．
∫
(3) 積分判定法，
2
∞
dx
=
x(log x)a
∫
∞
log 2
dt
< ∞ if a > 1. t = log x の変数変換．
ta
3
1
bn+1
→ < 1 となり
bn
2
問題 4.
次の (1), (2) のいずれかを証明せよ．尚，両方を解答しても良い．
(1) 関数 f (x) が [0, ∞) で連続で lim f (x) = α が存在するならば，f (x) は [0, ∞) で一様連続である．
x→∞
(2) 正数の単調減少列 {an }∞
n=1 が lim an = 0 をみたすならば, 無限級数
n→∞
∞
∑
(−1)n−1 an は収束する．
n=1
問題 4 の解答欄 (1) ε > 0 を任意にとると， lim f (x) = α より，ある K > 0 が存在して，
x→∞
|f (x) − f (x′ )| < |f (x) − α| + |α − f (x′ )| < ε if x, x′ > K.
連続関数 f (x) は有界閉区間 [0, 2K] で一様連続である．したがって, 上と同じ ε > 0 に対しある δ > 0 が存在
して
|f (x) − f (x′ )| < ε if x, x′ ∈ [0, 2K] and |x − x′ | < δ
が成立する．δ < K をみたすように δ > 0 を小さく取れば，上二つをあわせて，
|f (x) − f (x′ )| < ε if x, x′ ∈ [0, ∞) and |x − x′ | < δ
が従う．
(2) 講義で説明済み，省略．
4

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