微分積分学および演習Ⅰ 演習問題

微分積分学および演習Ⅰ 演習問題 2
2016 年度前期
工学部・未来科学部 1 年
担当: 原隆 (未来科学部数学系列・助教)
演習課題
Exercises in class ※ ∗ 印の付いた問題は、少し難易度が高めです。
問題 2-1. (色々な関数の微分)
以下の関数を微分しなさい。
x3 − 6x
x2 − 4
(1)
f (x) =
(4)
f (x) = tan x
(7)
f (x) = log(log x)
(10) f (x) = ee
f (x) = x2 ex
√
(5) f (x) = ex + 27
√
x+3
(8)
f (x) = log
x2 − 4
√
(11) f (x) = 3 sin(ex )
(2)
x2
(3)
f (x) = 32x
(6)
f (x) = ecos x
(9)
f (x) = xx
(12) f (x) =
cos(sin x)
3x + x3
問題 2-2. (連続であっても微分不可能な関数)∗
関数 f (x) = |x| を考える。
(1) y = f (x) のグラフの概形を xy 平面上に図示しなさい。
(2) f (x) が x = 0 で連続であることを確認しなさい。
【ヒント】先ずは f (x) が x = 0 で連続であることの正確な定義を思い出そう。
(3) ∆y = f (0+∆x)−f (0) = |∆x| とおく。∆x を 0 に近づけたときの
及び左極限
∆y
∆y
の右極限 lim
∆x→+0 ∆x
∆x
∆y
を計算しなさい。この結果を用いて、f (x) が x = 0 で微分不可能で
∆x→−0 ∆x
lim
あることを確認しなさい。
【ヒント】 x = a で右極限と左極限が一致しないときは「f (x) は x → a で収束しない」と考えます。
問題 2-3. (逆三角関数の微分法)
以下の関数の微分を計算しなさい。範囲に注意すること!!
(3) f (x) = arcsin(x)
(5) f (x) = (arccos x)2
(
3
5
π ≤ sin−1 x ≤ π
2
2
(2)
f (x) = sin−1 x
(
)
3
1
− π ≤ arcsin x ≤ − π
2
2
(4)
f (x) = arctan(x)
(π ≤ arccos x ≤ 2π)
(6)
f (x) = Arctan (x2 )
(1) f (x) = Arccos (x)
)
(0 ≤ arctan x < π)

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