第 2章極限

赤阪正純 (http://inupri.web.fc2.com)
4STEP の考え方 (数学 c)
第 2 章極限
lim
x!0
5 三角関数と極限
1
は存在しません．なぜなら，y =
sin x
1
のグラフをイメージすれば分かるように，
x
1
lim は存在しないからです．
x
x!0
今回は (1) とは逆で，極限値 lim sin x は
この章の内容はとても重要です．今後も頻繁に登
場することなので，しっかり理解しておこう．まず
x!0
は，次のポイントから．
1
存在するのに，極限値 lim
は存在し
x!0 sin x
.Point/
ない，というちょっと変な状況になってい
次の 2 つの極限値に尽きる．
ます．
sin x
=1
lim
x
x!0
lim
x!1
2
(3) は，まず
に注目します．すると，
x
2
= 0 であることがわかります．次
lim
x!¡1 x
に y = cos x のグラフをイメージすればよ
sin x
=0
x
三角関数の極限の問題は，いかにしてこれらの
いのです．
形にもっていくか，がポイント．そのためには
なお，最初に
三角関数の各公式を確実に頭に入れておくこと
良いでしょう．
が必要条件である．
なお，極限値の計算にあたっては，かなりの工
2
= t と置き換えて考えても
x
246
夫が必要である．変形方法も 1 通りではない．
lim
x!0
三角関数の公式を縦横無尽に駆使していろい
sin x
=1
x
の公式で x は何でもかまいません．つまり，
ろな解答を考えることは，大切な勉強方法で
ある．
lim
4!0
sin 4
=1
4
いかにしてこの形を式の中に作り出すのか，
245
がポイント．とにかく半ば強引に無理やり
あまり複雑に考えずに，感覚的にサラッと処
作っていくこと．途中までやってみます．
理しましょう．
sin 4x
£ 4，
4x
x!0
sin 2x 5x
2
(2) は，lim
£ ,
2x
sin
5x
5
x!0
sin 3x cos x
sin 3x x
(3) は，lim
= lim
3 cos x
sin
x
3x sin x
x!0
x!0
と変形します．なお，(3) は 3 倍角の公式を
(1) は，lim
(1) は，分母 tan x に注目します．極限値
lim tan x はどうなるのか．y = tan x の
¼
x! 2
グラフをイメージすると，
lim tan x = ¡1，
x! ¼ +0
2
利用してもできます．この変形も重要なので
lim tan x = +1
確認しておこう．
¼
x! 2 ¡0
なので，極限値 lim tan x は存在しません．
x!
¼
2
しかし，極限値 lim
x! ¼
2
lim
x!0
1
は，分母が ¡1
tan x
= lim
x!0
になろうと，+1 になろうと，どちらも 0 に
(3 sin x ¡ 4 sin3 x) cos x
sin x
= lim(3 ¡ 4 sin2 x) cos x
1
収束するので， lim
= 0 となります．
¼ tan x
x!
x!0
2
このように三角関数の極限を求める方法は何
極限値 lim tan x は存在しないのに，極限
x!
sin 3x cos x
sin x
¼
2
通りかあるので，他の方法をイロイロ考えて
1
値 lim
は存在する，というちょっと
¼
tan
x
x!
みるとチカラがつくでしょう．
2
変な状況になっています．
247
前問同様に
(2) も，分母 sin x に注目します．極限
値 lim sin x = 0 です．しかし，極限値
x!0
lim
x!0
sin x
=1
x
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を利用しますが，変形に少し工夫が必要です．
4STEP の考え方 (数学 c)
248
「こんな変形，思いつくわけない」と言うか
もしれませんが，思いついてほしいところ．
lim
x!0
また他にも様々な変形方法が考えられます．
複数の方法を学習することはとても大切なこ
とです．以下には標準的な (と思われる) 変
形を 1 つ紹介しますが，ぜひ各自で別解をみ
sin x
=1
x
を利用するに当たっては，x ! 0 であるこ
とが大前提です．x ! 0 でない場合は，x を
別の文字 t に置換して t ! 0 になるように
つけてほしいです．少なくとも全く違う方法
変数変換すること．(1) がまさにこのパター
で 1 つは別解を見つけること．絶対に！
ンで，x !
(1) は，
tan 2x ¡ sin x
x
sin 2x
sin x
;
= lim #
¡
x
x!0 x cos 2x
sin 2x
2
sin x
;
= lim #
¡
2x
cos
2x
x
x!0
lim
¼
¼
なので，x ¡
= t と置換
2
2
して t ! 0 に変換します．よって (1) は，
¼
x=t+
を代入して，
2
x!0
;
cos #t + ¼
2
;
sin 2 #t + ¼
2
cos #t + ¼ ;
2
= lim
t!0 sin (2t + ¼)
¡ sin t
= lim
¡
sin 2t
t!0
cos x
lim
= lim
¼ sin 2x
t!0
x!
2
(2) は，2 倍角の公式を利用します．
lim
x!0
1 ¡ cos 2x
2 sin2 x
= lim
x sin x
x!0 x sin x
2 sin x
= lim
x
x!0
(2) と (3) は，x ! 0 なので変数変換する必
要はありません．従来通り，
(3) は，
lim
sin 3x + sin x
sin 2x
sin x
sin 3x
;
+
=lim #
sin 2x
x!0 sin 2x
sin 3x 2x 3
sin x 2x 1
;
=lim #
+
3x sin 2x 2
x sin 2x 2
x!0
x!0
sin x
=1
x
lim
x!0
もし，三角関数の和積公式を知っているなら
次のような変形も可能です．
sin 3x + sin x
sin 2x
x!0
2 sin 2x cos x
=lim
sin 2x
x!0
lim
を利用するならば， 247 (2) と同様に，半角
の公式
1 ¡ cos x = 2 sin2
x
2
を用いればよいでしょう．しかし，この場
合，(2) の分母，(3) の分子をそれぞれ角を
x
に直す必要があって，結構メンドウです
2
(でも勉強になる方法なので必ず自分でやっ
ておこう)．
今回は次のような変形をするのが良いでしょ
これなら一発で終わりますね．
最初にも言ったように，いずれも，いかに
して
う．よく登場する有名な変形です．
(2) は，
の形を作り出すのかがポイントとなります．
1 ¡ cos x
sin x
(1 ¡ cos x)(1 + cos x)
= lim
sin x(1 + cos x)
x!0
全ての変形，計算はこの形を作るためなの
= lim
sin 4
lim
=1
4
4!0
です．
lim
x!0
sin2 x
x!0 sin x(1 + cos x)
sin x
= lim
x!0 1 + cos x
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(3) は，
4STEP の考え方 (数学 c)
この問題は，この次の変形が難しい．このま
lim
x!0
sin2 x
1 ¡ cos x
1 ¡ cos2 x
x!0 1 ¡ cos x
(1 + cos x)(1 ¡ cos x)
= lim
1 ¡ cos x
x!0
= lim(1 + cos x)
= lim
x!0
なんだかパズルみたいですね．
このように，三角関数の極限を求める方法は
まだとできません．なぜなら，
lim t = 0
t!0
lim tan #t +
t!0
だからです．さてどうしましょうか．
(4) は，x ! 1 なので，x ¡ 1 = t と置換し
て t ! 0 に変換します．
いろいろあるので，
「答えが出たら終わり」で
はなく必ず別解を考えてください．この練習
が大きな力となるのです．
249
x!0
lim
x!1
sin (t + 1)¼
sin ¼x
= lim
x¡1
t
t!0
この問題もこの次の変形がムツカシイですね
248 (1) がヒントになるかもしれません．
極限の公式
lim
¼
; = 極値なし
2
sin x
=1
x
を利用するに当たっては，次のことが前提と
なります．
(5) は，sin x = t と置換することがポイン
ト．x ! 0 のとき t ! 0 なので，
lim
x!0
1 x ! 0 であること．x ! 0 でない場合
は，x を別の文字 t に置換して t ! 0 になる
ように変数変換すること．
2 角 x は rad(ラジアン) 単位であること．
¼x
rad
もし x が度数単位の場合は，x± =
180
sin (sin x)
sin t
= lim
sin x
t
t!0
1
= t と置換すると，x ! 1 のと
2x
き t ! 0 なので，
(6) は，
lim x sin
x!1
1
sin t
= lim
2x
2t
t!0
の関係を利用して変換すること．
(1) は，x± =
¼x
rad の関係を利用して
180
rad に変換します．つまり，
¼x
tan
tan x±
180
lim
= lim
x
x
x!0
x!0
¼x
sin
180
= lim
¼x
x!0 x cos
180
¼
¼x
sin
180
180
= lim
¼x
¼x
x!0
cos
180
180
(2) は，x ! ¼ なので，x ¡ ¼ = t と置換し
て t ! 0 に変換します．
lim
x!¼
sin (x ¡ ¼)
sin t
= lim
x¡¼
t
t!0
¼
¼
(3) は，x !
なので，x ¡
= t と置
2
2
換して t ! 0 に変換します．
lim #x ¡
x!
¼
2
¼
¼
; tan x = lim t tan #t + ;
2
2
t!0
250 (1) は 247 (1) や 248 (2)(3) と同様です．
つまり，2 倍角の公式
1 ¡ cos 3x = 2 sin2
3x
2
を利用するか，または分母分子に 1 + cos 3x
をかけて
1 ¡ cos 3x
x2
x!0
(1 ¡ cos 3x)(1 + cos 3x)
= lim
x2 (1 + cos 3x)
x!0
lim
= lim
x!0
sin2 3x
x2 (1 + cos 3x)
とするかのどちらかですね．
(2) は問題を良く見よう．sin2 x と sin x2
は全く違います．
これも (1) と同様に，2 倍角の公式を利用す
るか，分母分子に 1 + cos x をかけるかのど
赤阪正純 (http://inupri.web.fc2.com)
4STEP の考え方 (数学 c)
ちらかでしょう．1 + cos x をかけるほうで
をうまく利用しよう．
少しやってみると，
lim
x!0
sin x2
1 ¡ cos x
sin x2 (1 + cos x)
x!0 (1 ¡ cos x)(1 + cos x)
sin x2 (1 + cos x)
= lim
x!0
sin2 x
sin x2 x2
= lim
(1 + cos x)
x2 sin2 x
x!0
sin x2
x 2
; (1 + cos x)
#
= lim
sin x
x2
x!0
= lim
1
をかけたものです．
x
1
1
x ! 0 のとき
! 1 または
! ¡1 な
x
x
1
ので，cos
は振動することになります．こ
x
251 (1)
は x2 と cos
のままでは極値の計算ができません．こんな
ときどうするのか．
(2) も x ! 1 のとき sin x は振動します．
このままでは極値の計算ができません．こん
なときどうするのか．
181 を参照しよう．(1)(2) 共にハサミウチ
252
まずは問題文をよく読んで正確な図を描く
こと．ポイントは座標で考えるということで
す．つまり，原点中心，半径 a の円を考えま
す．点 A(a; 0) とし，ÎAOP = µ とおき
ます．あとは図形の性質を利用して，辺 AP，
弧 AP，辺 PQ をそれぞれ a と µ を用いて表
します．点 P が点 A に限りなく近づくとは
µ がどのようになることでしょうか．
239 も参照しといてください．
253 240 や 241 を参照しよう． lim¼ cos x = 0
x! 2
なので， lim (ax + b) = 0 であることが必
¼
x! 2
¼
a．これをもとの
2
¼
式に代入し，x ¡
= t と置換して t ! 0
2
要です．つまり b = ¡
に変換するのです．
ax + b
lim
= lim
¼ cos x
¼
x!
x!
2
¼
¼
;¡ a
2
2
= lim
¼
t!0
cos #t + ;
2
at
= lim
t!0 ¡ sin t
a #t +
の原理を利用します．
(1) は
¡1 5 cos
1
51
x
(2) は
この極限値が
0 5 1 + sin x 5 2
2
¼
a
2
cos x
ax ¡
1
になるためには，a はどの
2
ような値でなければならないのでしょうか．

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