数学演習 1 (第 1 回)

数学演習 1 (第 1 回)
担当者: 原瀬晋
答えだけでなく計算過程も書くこと．
[1] 三角不等式
|x + y| ≤ |x| + |y|
を証明せよ．
[2] 数列
(
)n
1
an = 1 +
n
は，n → ∞ のとき収束することを
(1) 単調性
(2) 有界性
の 2 つを証明することにより示せ．この式で与えられた極限を e と書く．
[3] 次の極限値を求めよ．
(
lim
x→∞
a )x
1+
. (a > 0)
x
[4] 次の極限値は存在するか？存在すれば，その極限値を求め，存在しないならば，その理由を述
べよ．
1
x→+0
x
1
(2) lim x sin
x→0
x
2x2 + 3
(3) lim
2
x→∞ 5x
√ +x+7 √
(4) lim { x2 + 4x − x2 + x}
(1) lim sin
x→∞
a0 xm + a1 xm−1 + · · · + am−1 x + am
x→∞ b0 xn + b1 xn−1 + · · · + bn−1 x + bn
(5) lim
(a0 b0 ̸= 0, m, n = 1, 2, . . .)
数学演習 1(第 2 回)
担当者: 原瀬晋
答えだけでなく計算過程も書くこと．
[1] 次の行列のうち，積が定義される組合せをすべて求め，その積を計算せよ．
 


[
]
2
3 2
[
]
2
3
A =  1  , B = 4 1 , C = 2 0 1 , D =
−1 4
−1
0 1
[2]A =
[
a
b
c
d
]
について，A2 − (a + d)A + (ad − bc)E = O が成り立つことを示せ．これをケイ
リー・ハミルトンの定理という．
[3] A =
[
cos θ
− sin θ
sin θ
cos θ
]
とする．任意の自然数 n に対し，
[
cos nθ
A =
sin nθ
n
− sin nθ
cos nθ
]
であることを数学的帰納法を用いて証明せよ．
[4] 2 つの n 次正方行列 A と B の積の結果は積を取る順番に依り，一般に AB ̸= BA である．積
AB と積 BA の食い違いの目安を与える操作として行列の交換子積というものを考える．交換子
積は [A, B] と表され，
[A, B] = AB − BA
によって定義される．このとき，以下の問に答えよ．
[
3
0
]
[
]
1 −1
,B =
について，[A, B] を計算せよ．
2 1
4 2




a 0 0
0 0 1




 , B = 0 1 0 について，[A, B] = O が成立するための必要十分条件
(2) A = 
0
b
0




0 0 c
1 0 0
(1) A =
を求めよ．
(3) 一般の n 次正方行列 A, B, C について，交換子積の性質
[A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = O
を示せ．これはヤコビ恒等式と呼ばれる．

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