線型代数 II 演習問題 (No. 3)
1. K 上のベクトル空間 V の基底の定義を書け．
2. V の基底 {u1 , u2 , . . . , un } をもうひとつの基底 {v 1 , v 2 , . . . , v n } に変換する行列の
定義を書け．
3. 基底 {v 1 , v 2 , v 3 } を基底 {v 2 , v 3 , v 1 } に変換する行列を求めよ（基底を構成するベ
クトルを並べる順序が異なる）．
4.
1
a1 = 0 ,
0
1
a2 = 1 ,
0
1
a3 = 1 ,
1
1
b1 = 0 ,
1
−1
b2 = −1 ,
2
2
b3 = 1
0
について、基底 {a1 , a2 , a3 } を基底 {b1 , b2 , b3 } に変換する行列を求めよ．
5. 係数が K の要素の 1 変数 t の多項式全部の集合を K[ t ] とし、次数が n 以下の多
項式全部の集合を K[ t ]n とする．
(a) 任意の正の整数 m について、1, t, t2 , . . . , tm は線型独立であることを示せ．
(b) {1, t, t2 , . . . , tn } と {1, t + 1, (t + 1)2 , . . . , (t + 1)n } は、どちらも K[ t ]n の
基底であることを示せ．(特に、K[ t ]n の次元は n + 1 である)．また、1 番目
の基底を 2 番目の基底に変換する行列を求めよ．
(c) 上記のものと異なる K[ t ]n の基底の例を示せ．また、基底 {1, t, t2 , . . . , tn }
をその基底に変換する行列を求めよ．
6. 1 変数 x の微分可能な関数全部の集合を C で表す．m を任意の正の整数とする．C
において、次が成り立つことを示せ．
(a) ex , ex/2 , . . . , ex/m は線型独立である．
(b) sin x, sin 2x, . . . , sin mx は線型独立である．
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