第10回講義資料

システム制御工学Ⅰ
電気電子工学科
2015年度
今日の講義内容
制御系の定常特性
• 定常偏差
• 目標値の変化に対する定常偏差
– 制御系の分類
– 定常位置偏差
– 定常速度偏差
– 定常加速度偏差
• 外乱に対する定常偏差
• （補足）内部モデル原理
2
定常偏差
𝐷(𝑠)
𝑅(𝑠)
代表的な目
標値につい
て考える
𝐸(𝑠)
+
−
定常偏差
lim 𝑟 𝑡 − 𝑐 𝑡
𝑡→∞
+
𝐺1 (𝑠)
+
𝐺2 (𝑠)
𝐶(𝑠)
目標値を考える場合は直結
フィードバック系で，外乱を考え
る場合は上の形で考える
= lim 𝑠{𝑅 𝑠 − 𝐶 𝑠 } = lim 𝑠𝐸(𝑠)
𝑠→0
𝑠→0
• 代表的な目標値に対する定常偏差は？
• 外乱の挿入される位置に対して定常偏差はどう変わ
るか？（開ループ伝達関数の内，外乱挿入位置の前
を 𝐺1 (𝑠)，後ろを 𝐺2 (𝑠) とする）
3
代表的な目標値
• 単位ステップ入力
1
𝑟 𝑡 =𝑢 𝑡 ↔𝑅 𝑠 =
𝑠
• 単位ランプ入力
1
𝑟 𝑡 = 𝑡𝑢 𝑡 ↔ 𝑅 𝑠 = 2
𝑠
• 加速度入力
𝑡2
1
𝑟 𝑡 = 𝑢 𝑡 ↔𝑅 𝑠 = 3
2
𝑠
ラプラス変換はいずれも
1
𝑠𝑗
の形
4
制御系の分類
直結フィードバック系
𝑅(𝑠)
+
𝐸(𝑠) 𝐺(𝑠)
𝐶 𝑠
𝐶(𝑠)
−
開ループ伝達関数
𝐺 𝑠
=
𝑅 𝑠
1+𝐺 𝑠
𝐶(𝑠)
𝐸 𝑠 =
𝐺(𝑠)
1
=
𝑅(𝑠)
1+𝐺 𝑠
𝐾(1 + 𝑠𝑇1 ′ ) ⋯ (1 + 𝑠𝑇𝑚 ′ )
𝐺 𝑠 = 𝑗
𝑠 (1 + 𝑠𝑇1 ) ⋯ (1 + 𝑠𝑇𝑛 )
定常偏差は極 𝑠 = 0 の次数 𝑗 に大きく依存
• 𝑗 = 0 の場合 0次の制御系
• 𝑗 = 1 の場合 1次の制御系
• 𝑗 = 2 の場合 2次の制御系
⋮
5
定常位置偏差
目標値が単位ステップ入力のときの定常偏差
1
1
𝜀𝑝 = lim 𝑠𝐸 𝑠 = lim 𝑠
𝑠→0
𝑠→0 1 + 𝐺(𝑠) 𝑠
1
1
= lim
= lim
′
𝑠→0
𝐾(1 + 𝑠𝑇1 ) ⋯ 𝑠→0 1 + 𝐾
1+ 𝑗
𝑗
𝑠
𝑠 (1 + 𝑠𝑇1 ) ⋯
𝑠𝑗
= lim 𝑗
1次以上の制御系では定常
𝑠→0 𝑠 + 𝐾
偏差0
1
𝑗 = 0 のとき 𝜀𝑝 =
≠ 0 0次の制御系では定常偏差
1+𝐾
𝑗 ≥ 1 のとき 𝜀𝑝 = 0
は0ではないが，定数ゲイン
𝐾 を大きくすれば偏差は減る
6
定常速度偏差
単位ランプ入力のときの定常偏差
1
1
𝜀𝑣 = lim 𝑠
𝑠→0 1 + 𝐺(𝑠) 𝑠 2
1
1
= lim
= lim
′
𝐾
𝑠→0
𝑠→0
𝐾(1 + 𝑠𝑇1 ) ⋯
𝑠 + 𝑗−1
𝑠 + 𝑗−1
𝑠
𝑠 (1 + 𝑠𝑇1 ) ⋯
𝑠 𝑗−1
= lim 𝑗
𝑠→0 𝑠 + 𝐾
2次以上の制御系では定常偏差0
𝑗 = 0 のとき 𝜀𝑣 → ∞
𝑗 = 1 のとき 𝜀𝑣 =
1
𝐾
𝑗 ≥ 2 のとき 𝜀𝑣 = 0
1次の制御系では定常偏差は0で
はないが，定数ゲイン 𝐾 を大きく
すれば偏差は減る
0次の制御系では制御量が発散
7
定常加速度偏差
加速度入力のときの定常偏差
1
1
𝜀𝑎 = lim 𝑠
𝑠→0 1 + 𝐺(𝑠) 𝑠 3
1
1
= lim
= lim
′
𝐾
𝑠→0
𝑠→0 2
𝐾(1 + 𝑠𝑇1 ) ⋯
2
𝑠 + 𝑗−2
𝑠 + 𝑗−2
𝑠
𝑠 (1 + 𝑠𝑇1 ) ⋯
𝑠 𝑗−2
= lim 𝑗
3次以上の制御系では定常偏差0
𝑠→0 𝑠 + 𝐾
2次の制御系では定常偏差は0で
𝑗 = 0,1 のとき 𝜀𝑎 → ∞ はないが，定数ゲイン 𝐾 を大きく
1
𝐾
𝑗 = 2 のとき 𝜀𝑎 =
𝑗 ≥ 3 のとき 𝜀𝑎 = 0
すれば偏差は減る
0次・1次の制御系では制御量が
発散
8
目標値の変化に対する定常偏差
まとめ
1. 定常偏差は目標値入力の形に依存する．
2. 開ループ伝達関数 𝐺(𝑠) の積分の次数 𝑗 が
大きい方が定常偏差は小さい．ただし，位相
遅れが大きくなるので安定性が悪くなる．
3. 開ループ伝達関数のゲイン定数が大きいほ
ど定常偏差は小さい．ただし，ゲイン定数を
大きくすると普通は安定度が悪くなる．
9
例題（１）
開ループ伝達関数が
𝐾
𝐺 𝑠 =
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
である直結フィードバック系を考える．ただし，
𝐾 > 0 とする．
1. 閉ループ系が安定となる 𝐾 の範囲を求めよ．
2. 閉ループ系が安定となる範囲において，ランプ
状の目標値に対する定常偏差を求めよ．
10
例題（２）
1. 閉ループ伝達関数
𝐾
𝐺(𝑠)
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
𝐺𝑜 𝑠 =
=
𝐾
1 + 𝐺(𝑠) 1 +
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
𝐾
𝐾
=
= 3
𝑠 𝑠 + 1 𝑠 + 2 + 𝐾 𝑠 + 3𝑠 2 + 2𝑠 + 𝐾
フルビッツの方法を使うと安定条件は
𝐷1 = 𝑎1 = 3 > 0
𝑎1 𝑎3
3 𝐾
𝐷2 = 𝑎 𝑎 =
=6−𝐾 >0
0
2
1 2
よって，𝐾 < 6 であれば閉ループ系は安定
11
例題（３）
2. ランプ状の目標に対する定常偏差（定常速
度偏差）は
1
1
𝜀𝑣 = lim 𝑠
𝑠→0 1 + 𝐺(𝑠) 𝑠 2
1
2
= lim
=
𝐾
𝑠→0
𝐾
𝑠+
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)
よって，𝐾 < 6 の範囲内では
2
𝜀𝑣 > ≅ 0.33
6
12
問
開ループ伝達関数が
𝐾
𝐺 𝑠 =
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 3)
である直結フィードバック系を考える（𝐾 > 0）．
閉ループ系が安定で，ランプ状の目標値に対
する定常偏差が0.1以下となる定数ゲイン 𝐾 の
範囲を求めよ．
13
外乱に対する定常偏差
𝐷(𝑠)
𝑅(𝑠)
𝐸(𝑠)
+
−
+
𝐺1 (𝑠)
+
𝐺2 (𝑠)
𝐶(𝑠)
外乱が存在する場合の誤差の式
1
𝐺2 𝑠
𝐸 𝑠 =
𝑅 𝑠 −
𝐷(𝑠)
1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠
1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠
外乱に対する定常偏差
−𝐺2 𝑠
𝜀𝑑 = lim 𝑠
𝐷(𝑠)
𝑠→0 1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠
14
外乱入力位置の影響（１）
𝐺1 (𝑠) の積分次数を 𝑗 ，𝐺2 (𝑠) の積分次数を 𝑘
とすると
−𝐺2 𝑠
𝜀𝑑 = lim 𝑠
𝐷(𝑠)
𝑠→0 1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠
𝐾2 (1 + 𝑠𝑇21 ′ ) ⋯
− 𝑘
𝑠 (1 + 𝑠𝑇21 ) ⋯
= lim
𝑠𝐷 𝑠
′
′
𝑠→0
𝐾1 (1 + 𝑠𝑇11 ) ⋯ 𝐾2 (1 + 𝑠𝑇21 ) ⋯
1+ 𝑗
𝑠 (1 + 𝑠𝑇11 ) ⋯ 𝑠 𝑘 (1 + 𝑠𝑇21 ) ⋯
−𝐾2 𝑠 𝑗
= lim 𝑗+𝑘
𝑠𝐷(𝑠)
𝑠→0 𝑠
+ 𝐾1 𝐾2
15
外乱入力位置の影響（２）
1
ステップ状の外乱（𝐷 𝑠 = ）の場合
𝑠
0,
𝑗 ≥ 1, 𝑘 ≥ 0
1
𝑗
−𝐾2 𝑠
− ,
𝑗 = 0, 𝑘 ≥ 1
𝐾1
𝜀𝑑 = lim 𝑗+𝑘
=
𝑠→0 𝑠
+ 𝐾1 𝐾2
−𝐾2
, 𝑗 = 0, 𝑘 = 0
1 + 𝐾1 𝐾2
1
ランプ状の外乱（𝐷 𝑠 = 2）の場合
𝑠
0,
𝑗 ≥ 2, 𝑘 ≥ 0
1
−𝐾2 𝑠 𝑗−1
𝜀𝑑 = lim 𝑗+𝑘
= − , 𝑗 = 1, 𝑘 ≥ 0
𝑠→0 𝑠
𝐾1
+ 𝐾1 𝐾2
−∞, 𝑗 = 0, 𝑘 ≥ 0
定常偏差が0 になるかどうかは前段の積
分次数 𝑗 の値で決まり，定常偏差の大き
さは前段の定数ゲイン 𝐾1 で決まる
16
例題
•
1
，𝐺2
𝑠(𝑠+1)
𝐺1 𝑠 =
𝑠 =
乱が加わった場合
1
𝑠+2
で単位ステップ状の外
1
−𝑠 + 2
1
−𝑠(𝑠 + 1)
𝜀𝑝 = lim 𝑠
= lim
=0
1
1 𝑠 𝑠→0 𝑠 𝑠 + 1 𝑠 + 2 + 1
𝑠→0
1+
𝑠(𝑠 + 1) 𝑠 + 2
• 𝐺1 𝑠 =
1
，𝐺2
𝑠+1
𝑠 =
乱が加わった場合
1
𝑠(𝑠+2)
で単位ステップ状の外
1
−
1
−(𝑠 + 1)
𝑠(𝑠 + 2)
𝜀𝑝 = lim 𝑠
= lim
1
1
𝑠→0
𝑠 𝑠→0 𝑠 𝑠 + 1 𝑠 + 2 + 1
1+
𝑠 + 1 𝑠(𝑠 + 2)
= −1
17
問
𝐺1 𝑠 =
𝐾
，𝐺2
𝑠+1
𝑠 =
1
𝑠(𝑠+4)
のとき，閉ループ
系が安定で，単位ステップ状の外乱に対する定
常偏差の大きさが0.1以下になるような定数ゲ
イン 𝐾 の範囲を求めよ．ただし，𝐾 > 0 とする．
18
（補足）内部モデル原理
𝑅(𝑠) と 𝐷(𝑠) が Re[𝑠] ≥ 0 に極を持つとき，誤
差𝑒(𝑡) が0に収束する必要十分条件は
• 閉ループ系が安定
• 開ループ伝達関数 𝐺1 (𝑠)𝐺2 (𝑠) の極が，
Re[𝑠] ≥ 0にある 𝑅(𝑠) の極をすべて含む
• 𝐺1 (𝑠) の極が， Re[𝑠] ≥ 0にある 𝐷(𝑠) の極を
すべて含む
目標値や外乱の変化に対応する要素が開ループ系
に含まれるときだけ定常偏差は0になるということ
（今まで述べてきたのは，𝑅 𝑠 , 𝐷(𝑠) の極が 𝑠 = 0
19
にある場合）
練習問題
𝐺1 𝑠 =
𝐾
，𝐺2
𝑠+1
𝑠 =
1
𝑠(𝑠+10)
である制御系に
おいて，以下の条件を満たす定数ゲイン 𝐾 の
範囲を求めよ．ただし，𝐾 > 0 とする．
• 閉ループ系が安定
• ランプ状の目標値に対する定常偏差の大き
さが0.1以下
• 単位ステップ状の外乱に対する定常偏差の
大きさが0.05以下
20

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